平面向量知识点总结(共6页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意:不能说向量就是有向线段,为什么? 提示:向量可以平移.举例1 已知,则把向量按向量平移后得到的向量是_. 结果:2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,规定:零向量的方向是任意的;3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:,规定:零向量和任何向量平行.注:相等向量
2、一定是共线向量,但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性!(因为有);三点共线共线.6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.举例2 如下列命题:(1)若,则.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.(3)若,则是平行四边形.(4)若是平行四边形,则.(5)若,则.(6)若,则.其中正确的是 . 结果:(4)(5)二、向量的表示方法1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如,等;3
3、.坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,叫做向量的坐标表示.结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设同一平面内的一组基底向量,是该平面内任一向量,则存在唯一实数对,使.(1)定理核心:;(2)从左向右看,是对向量的分解,且表达式唯一;反之,是对向量的合成.(3)向量的正交分解:当时,就说为对向量的正交分解举例3 (1)若,则 . 结果:.(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 BA., B., C., D.,(3)已知分别是的边,上的中线,且,,则可用
4、向量表示为 . 结果:.(4)已知中,点在边上,且,则的值是 . 结果:0.四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:(1)模:;(2)方向:当时,的方向与的方向相同,当时,的方向与的方向相反,当时,注意:.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角:对于非零向量,作,则把称为向量,的夹角.当时,同向;当时,反向;当时,垂直.2.平面向量的数量积:如果两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即.规定:零向量与任一向量的数量积是0.注:数量积是一个实数,不再是一个向量.举例4 (1)中,则_. 结果:.(2)已知,与的夹角为,则
5、_. 结果:1.(3)已知,则_. 结果:.(4)已知是两个非零向量,且,则与的夹角为_. 结果:.3.向量在向量上的投影:,它是一个实数,但不一定大于0.举例5 已知,且,则向量在向量上的投影为_. 结果:.4.的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积.5.向量数量积的性质:设两个非零向量,其夹角为,则:(1);(2)当、同向时,特别地,;是、同向的充要分条件;当、反向时,是、反向的充要分条件;当为锐角时,且、不同向,是为锐角的必要不充分条件;当为钝角时,且、不反向;是为钝角的必要不充分条件.(3)非零向量,夹角的计算公式:;.举例6 (1)已知,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是_. 结
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