高中数学竞赛模拟试题二(共4页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上2007年高中数学竞赛模拟试题二一、 选择题:1.设、为实数,则下列四个结论中正确的是 ( D )(A)(B)(C)且(D)且提示:若,则,则.若,则对于二次函数,由可得结论.2.在ABC中,若,则是ABC只有一解的 ( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件3.已知向量,定义函数.若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是 ( A )(A)(B)(C)(D)4.设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点,则二面角CFGE的大小是 ( D )(A)(B)(C)(D)5.把数列依次按一项、二项、三项、四项循
2、环分为(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27,),(29,31,33),(35,37,39,41),在第100个括号内各数之和为 ( A )(A)1992 (B)1990 (C)1873 (D)18916.设,满足,使,一定是的一个排列的最大数是 ( C )(A)4 (B)6 (C)8 (D)9二、 填空题:7. 若实数、满足条件,则的取值范围是_.【答案】.提示:令.8. 对于给定的正整数,等式成立,则所有的一定形如_.(用的组合数表示)【答案】().提示:由得,从而().9. 一个盒中有9个正品和3个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,
3、在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_.【答案】 提示: 取值为0,1,2,3,且有,. .10. 设点F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点,抛物线C以F1为顶点、以F2为焦点。设P点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E的离心率满足,则的值为_.【答案】11. 已知,关于的方程,则这个方程有相异实根的个数情况是_.【答案】0或2或3或4. 提示:令,利用数形结合知:当时,方程无实数根;当时,方程有2个实数根;当时,方程有3个实数根;当时,方程有4个实数根。12. 函数()的单调递增区间是_.【答案】. 提示:(),利用典型函数来分析;本题也可直接依函数的单调性定义来分析。三、 解答题:13.向量、满足条件,试判断P1P2P3的形状,并加以证明。解:,.又,在P2OP3中,由余弦定理可求得.同理可求得,.P1P2P3为正三角形.14.设数列满足(),求证:.证明:由题意知当时,命题成立;当时,由,得,从而有.15.设函数,其中(1)求的取值范围,使得函数在上是单调递减函数;(2)此单调性能否扩展到整个定义域上?(3)求解不等式解:(1)设,则设,则显然.,只需要,就能使在上是单调递减函数;(2)此单调性不能扩展到整个定义域上,这可由单调性定义说明之;(3)构造函数,由(1)知当时,是单调递增函数。,所求解集为.专心-专注-专业
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