近世代数复习(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、选择题(每题2分,共16分)1.若则下列说法正确的是2.假定是与间的一一映射,则和分别为3.若是群,则4.指出下列那些运算是二元运算5.设和都是非空集合,而是到的一个映射,那么6.设是正整数集合上的二元运算,其中,那么在中7.在群中,则方程和分别有唯一解为 8.设是群的子群,且有左陪集分类.如果,那么9.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ ）个元素。10.设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的11.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。12、G是12阶的有限群，H是

2、G的子群，则H的阶可能是 13、下面的集合与运算构成群的是 14、关于整环的叙述，下列正确的是 15、关于理想的叙述，下列不正确的是 16.整数环Z中，可逆元的个数是17. 设M2(R)= a,b,c,dR，R为实数域按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是18. 设Z是整数集，(a)= ，则是R的19、设A=所有实数x，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是( ).20、设是正整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）21.设=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则 中与元（1 2 3）

3、不能交换的元的个数是( )22、设为群，其中G是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）23、设是有限群的子群，且有左陪集分类。如果6,那么的阶16.整数环Z中，可逆元的个数是().24、设是环同态满射，那么下列错误的结论为（ ）25. 设A=所有非零实数x,A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( ).26. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ).27剩余类环Z6的子环有( ).28、设和都是群中的元素且，那么（ ）二、填空题(每题2分,共22分）1.设是集合,则可共定义 个从到的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射.

4、2.设群,若存在则 ,子群在中的指数是 .3.设且,则群的非平凡子群的个数为 .4.在模9的剩余类环中, , ,方程的所有根的集合为 .5.环的全部零因子为 .6.在5次对称群中, , , .7.整数加群是一个循环群,它的生成元为 .8.设集合,则 . 9.如果是与间的一一映射，是的一个元，则 .10.设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 .11.一个有限非交换群至少含有 个元素.12.如果是集合的元间的一个等价关系,是两个等价类,则的充要条件是 .11.设是阶循环群(是素数),则的生成元有 个.12.群的元的阶是,若是正整数和的最大公因子,则的阶是 .13.在无零因子环中,如果对有

5、,那么必有 . 14.某个非空集合上具有对称性、传递性和 的一个二元关系是等价关系15.设5-循环置换那么 .16.设群中元素的阶为,如果,那么与之间存在的关系为 . 17.设集合,则有 .18.设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么 .19.环的全部零因子为 .20.在模9的剩余类环中,方程的所有根的集合为 .21.一个有限非交换群至少含有 个元素.22.剩余类加群Z12有_个生成元.23、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是_.24. 6阶循环群有_个子群.25、设为群，若，则_。26. 模8的剩余类环Z8的子环有_个.27. 设A=a,b,c，则A到A的一一映射共有_个.28、n次

6、对称群Sn的阶是。29、9-置换分解为互不相交的循环之积是。30.剩余类环Z6的子环S=0,2,4，则S的单位元是_.31.中的所有可逆元是：_.32、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_同构。33. 设为循环群，那么（1）若的阶为无限，则同构于_，（2）若的阶为n，则同构于_。34. 在整数环中，=_； 35. 设为群的子群，则是群的子群的充分必要条件为_。36、除环的理想共有_个。37. 剩余类环Z5的零因子个数等于_.38、已知为上的元素，则_。31. 每一个有限群都与一个_群同构。39. 整数加群Z有_个生成元.40、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_.41. 设群G

7、=e，a1，a2，an-1，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =_.42. 剩余类环Zn是域n是_.43、设Z7 =0，1，2，3，4，5，6是整数模7的剩余类环，在Z7 x中, (5x-4)(3x+2)=_.三、判断题(每空2分,共12分)1.群中的元的阶都有限的群一定是有限群. 2.如果是群的一个非空子集,则是群的子群的充分必要条件是. 3.设是群的不变子群,则. 4.设是有限群的子群,则的左陪集个数与右陪集个数相等. 5.如果一个集合的代数运算同时适合结合律和交换律,那么在里,元的次序可以掉换. 6.域的每一个元素皆有逆元.7.任意集合与其真子集之间皆不能有一一映射存在. 8.若都是

8、群的子群,则也是群的子群. 9.整除关系是整环的元素间的一个等价关系.10. 是的子域.11.循环群有且仅有一个生成元.12.无限群中存在阶是有限的元素.13.如果非空集合的代数运算同时适合结合律和交换律,则在里,元的次序可以掉换. 14.设环的加群是循环群,那么环必是交换环. 15.设是有限群的子群,则的左陪集个数与右陪集个数相等.16、设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。17、除环中的每一个元都有逆元。18、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。19、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。20、域是交换的除环。21、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。22、设f：

9、是群到群的同态满射，a，则a与f (a)的阶相同。23、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。24、循环群的子群也是循环群。25、整数环是无零因子环，但它不是除环。26、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。27、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。28、如果环的阶，那么的单位元。29、指数为2的子群不是不变子群。（ ）30、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。31、对于环R,若是的左零因子,则必同时是的右零因子. 32、剩余类是无零因子环的充分必要条件是为素数. 四、证明题（共20分) 1.设,证明:(1)对普通乘法做成群.(2),但不是的正规子群. 2.3.4.5.证明关于通常的

10、数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.6在群 中, 对任意 , 方程 与 都有唯一解. 7全体可逆的 阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵.每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 . 8，。那么H是的一个子群。9一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是： 10 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群.11群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 12设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.13有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.1

11、4设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则(1) 如果 为 的单位元, 则 为 的单位元;(2) 任给 , 为 的逆元, 即 15如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 16 设 为群 的子群. 若 , 那么 .17 设 , , 则 . 18群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.19设为环. 证明 的中心是 的子环.20设与是群, 是 到 的满同态.如果是 的正规子群, 则是 的正规子群.21设，的阶为，证明的阶是，其中。22设是循环群，G与同态，证明是循环群。23证明循环群的子群也是循环群。24假定和是一个群G的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，证明：的阶是。25假定H

12、是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。26设是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作. 27、设为实数集，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。28全体偶数 关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.29、设群G的每个元素x都适合方程x2= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。30 证明数集 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.31在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 , , 如果 , 或 , 则 .32、群G的两个子群的交集还是G的子群。33 证明 为域.34、设R是阶大于1的交换环

13、。证明：当R不含零因子时，Rx亦然。 35在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。36、若R环的特征为素数,且R可交换,则有 .37如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。38、求证：若a生成一个n阶循环群G，k与n互素，则ak也生成G。39 设 为 的非空子集. 证明: 为 的子环的充分必要条件时, 存在非负整数 , 使得40、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。 五、计算题(共20分) 1.2设按顺序排列的13张红心纸牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K经一次洗牌后牌的顺序变为3,K,8,A,4,10,Q,J,7,5,

14、6,2,9问:再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?3设 为整数加群, ,求 4、找出，的所有子群。5试举例说明，环中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式.6 将 表为对换的乘积.7.设是实数集,规定的元间的一个关系如下:.问是的元间的等价关系？8.设是模6的剩余类环,且.如果,计算以及它们的次数.9 在 中, 计算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .10 试求中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素.11、举例说明，非零因子的象可能会是零因子.。12 在 中, 解下列线性方程组: 13求 的所有子环.14、在 中, 求 的全部根.15、指出中哪些元素是给定的环的零因子.16. 含有为某个大于1的正整数)个元数集关于普通加法和乘法是否作成一个环？17、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.六 简答题（10分）1、等价关系2、运算律3、数环与环4、数域与域5、群的判定6、环的判定7、正规子群的判定8、除环的判定9、特殊映射的判定专心-专注-专业