二重积分的换元.ppt

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1、六、二重积分的换元（变换）六、二重积分的换元（变换） 计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二重积分计算中也有相应的换元法则。重积分计算中也有相应的换元法则。定理定理3 3 若若(x,y)(x,y)在有界闭区域在有界闭区域R R连续，函数组连续，函数组 x=x(u,v),y =y(x,yx=x(u,v),y =y(x,y）将）将uvuv坐标面上的区域坐标面上的区域R R一一对一变换

2、成对一变换成xyxy坐标面上的区域坐标面上的区域R R且且x=x( u,vx=x( u,v），）， y=yy=y（u,vu,v）在）在 RR上存在连续偏导数。（上存在连续偏导数。（u,v u,v ） R,R,有有 则：则： 0 vyuyvxuxy,xy,xJdudvJvuyvuxfdxdyyxfRR ),(),(),(证证：因为因为f(x,y)在在R 连续。所以可积。用任意分法连续。所以可积。用任意分法T将将 R分成分成n个小区域：个小区域：R1,R2 ，Rn。又由于复合函又由于复合函数的连续性知数的连续性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在在R 连续，所以可连续，所以可积积 。设其面积

3、为。设其面积为。， 21于是在于是在R上有对应的分法上有对应的分法T，将，将R分成分成n个小区个小区域域 R1,R ,设其面积为设其面积为 则根据函数行列式的几何性质，则根据函数行列式的几何性质， 。， ），（ 又由已知得又由已知得 ，（）， ），！（，），（ ），（），（ 于是积分和于是积分和 knkkkkkkkkknkkJyxff 11），（），（），（），（ 再根据隐函数组确定的反函数组存在定理再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 知函数组知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)x=x(u,v), y=y(u,v)在在R R上存在有连上存在有连续偏导数。反函数组续偏导数。反函数组u

4、=u(x,y)u=u(x,y)， v=v(x,y) v=v(x,y) 由由连续知必一致连续。连续知必一致连续。 因此当分法因此当分法T T的细度的细度|T| 0|T| 0时，分法时，分法TT的细度的细度|T|T|也趋于也趋于0 0。 dudvJvuvuxfR ),(),( 对（对（*）式两边取极限）式两边取极限|T|-0时，有时，有|T|-0。故故有：有：dudvJvuyvuxfJxfdxdyyxffRknkkkkkTRnkkkkT 1010),(),(),(),(lim),(),(lim 例求两条抛物线例求两条抛物线与两条直线与两条直线y= x，y= x 所围成的区域的所围成的区域的面积。其

5、中，面积。其中， 矩形域矩形域：nxmxyy 22， y=xy=xy=xy=xy2=nxy2=nxy2=mxy2=mxxyoR Rmn Rnum vuv0 xyxyxyxyxvuyxJxy121122 ），（），（），（），（ Rdxdxy解：根据二重积分的性质知：解：根据二重积分的性质知： 作变换：作变换： v=y/x则此函数组将做表面上变换成平面上的则此函数组将做表面上变换成平面上的矩形域矩形域：；：； xy2 根据定理根据定理3： 11)()(duufdxdyyxfR 3333223322633112）（）（）（ mnmn例例2 ： 证明证明 4RRdudvudxdySVvvyxyyxx

6、yxyuux4442233232121 ）（，（其中其中R：|x|+|Y|=1证明：如图所示，证明：如图所示，R R是由直线是由直线X+Y=1X+Y=1。X+Y=-1X+Y=-1，X-Y=1X-Y=1，X-Y=-1X-Y=-1所组成。作变换得：所组成。作变换得：u=x+yu=x+y，v=x-yv=x-y。则此函数组将。则此函数组将xyxy面上的正方形面上的正方形R R：|x|+|y|=1|x|+|y|=1，变换成，变换成uvuv面上的正方形面上的正方形RR：-1=u=1-1=u=1，-1=v=1-1=v=1。且。且1 yx1 yx1 xy1 xyRxy-11-11xyoo 11111111)()()11(*212121)()(duufduufdudvdudvufdxdyyxfRR021111111 /yxyxyxyxJ），（），（），（），（2、事实上，若、事实上，若 P（u0，v0） R。使。使J(u0,v0)=0。 而在其他点上而在其他点上J=0。则在。则在R上作面积为上作面积为 的的 小邻域小邻域U（P, ）。则根据变换）。则根据变换T，在，在XY面上面上 也得到面积为也得到面积为 的小邻域的小邻域U（p， ）。）。 1、若变换、若变换T：X=X（u，v），），Y=Y（u，v）。在）。在R 的个别点上有的个别点上有J=0。则结论依然成立。则结论依然成立。