线性代数期末考试题答案(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上线性代数B期末试题解答05一、判断题(正确填，错误填。每小题2分，共10分 1A是n阶方阵，且A0，则n元方程组AXb有唯一解。 ）2A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。 4若A为n阶方阵，其秩r 5从A中划去一行得到矩阵B，则A的秩B的秩。 ）二、单项选择题 E (C A* (D 不能乘2设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABCE，则必有 C ）。A）ACB =E B）CBA =E C）BCA = E D）BAC =E3设A为n阶方阵，且A5，则3A1）T (B (C3n (D 35n4设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r n，则方程组 C ）。A）其基础解

2、系可由r个解组成；B）有r个解向量线性无关；C）有n r个解向量线性无关；D）无解。5n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角阵相似的 B ） A）充分必要条件 B）充分而非必要 C）必要而非充分条件 D）既非充分也非必要三、填空题(pg-ef。2为3阶矩阵，且满足6,则=_1/6_，3362=972 。3设齐次线性方程组的系数矩阵A此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是不可能，齐次方程组总有解 ，当取值为-5时方程组有无穷多解。PtCfXhBjKQ4已知是四元方程组AXb的三个解，其中的秩=3，则方程组AXb的通解为 。5设，则A -54，A的秩R(A是3。四、计算下列各题 = 3； 是一最

3、大无关组；3. 设P1AP，求A11。解：五、解方程组T+C1(1 2 1 0 0T+C2(1 2 0 1 0T+C3(5 6 0 0 1TPtCfXhBjKQC1,C2,C3位任意常数。六、本题8分）已知二次型求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。解：非正定。七证明题+R(Bn 。证明：由题设，B的各列属于AX = 0的解空间,于是 R(Bn-R(A,因此：R(A+R(Bn。2. 设A为n阶非零矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当AAT时，证明A0。证明: 设A=(aij,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij,则B不是零矩阵，其对角元:若A= 0，则有：AAT

4、=AA*=AA = 0, 矛盾。线性代数试题解答(04一、1F）2T） 3F）。如反例：，。4T）相似矩阵行列式值相同）5。4选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。PtCfXhBjKQ5选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。三、1 按第一列展开）2 ；=）3 相关因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。4 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。PtCfXhBjKQ5四、1解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求

5、。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，PtCfXhBjKQ当时增广矩阵，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵，因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。再将，正交化

6、为，。最后将，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。5 解：1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。PtCfXhBjKQ2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。PtCfXhBjKQ3）的特征值为2，5，1，1。故=10。五、1为对称矩阵。 证明： =，所以为对称矩阵。2为正定矩阵。证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。专心-专注-专业