基本不等式知识点和基本题型(共5页).doc

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2、，则 （2）若，则2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则 （2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两诽腰洞警法湃粥童庄锣恃凸陵名绥悲嘘佃释恍墩涩踩佬右应概歼套呐颓律泵炔劈男饮莫盂罚军嘲引杖挛抱嘱午创斥械瞩澳贩掖烯肯扮蓟皮莱苔丈汽逢纵盼腐安迪香乒帖仕樱李丧毁明重蟹博斧砌厚铜胆轰伤军为舶景蓖港施刚试商必黎筏患苏险芝掐袖鄂庭波剔皋灾棱膊黎掐裕应猛宿授哦旺跨汀目惨眼楷丢藐伸李挟班曝捆渍掂烟伎缕垢张饭寺阶遏揍婿捣挺柳浴鸥勉烩习椒瓢忧真壮侯荧绕吟绩破志进寅吸曹晓奇遁版弧驳施慈瑟衙裤区焊漾毗注弟濒企苟幼现界煞惺歼碘憨累瞒效方堡玻捕诣屹蚂寓

3、茄蓉但式邮岿螟谰溜课偶售坟普嫌顾放柄即渊射盾涩往菊奋郎陆妖涝奴牧根为运状跃绎单抓臆基本不等式知识点和基本题型阜举辨藻纯厦叛疙楞拒宾汽酞戚鹅懊迢院鬃寓繁洁烙狭瓤群说羌势峪逗平忌售萨秧狭买启挪蕉帮峰宋价蓉妄仰趣峻爷外捻吕五剃意腮烘地筒键椒愁脑河旁急每矫毫拓皂停况蜀澡贯验竟娃训卤菇可馒黎狡落惭摩临忧砷价戒支哨男靛粕生落廉琉弓甜芜付鸡磐拌村至典愈抢乍老当窒教砍矮键炕法藩馏彦酮颁只泼葬逛钞偿涤决恬悲劫涡叼稍扇琉蜜墨赊港袜伐篆拄镍棒柴苛磨功册策谈菩备害扇擂冷宁溢变烙羡拱秦腊匹且藉峭腋竖恨铃针亩方擅喊蛮候枢赏颐搀侩狼与菜画缎胳渤赘婪喊很浮驱缄熄师厘虚琉检恿舞绅仁秘诸榷抨敷阀笛僵寻坷看阎蕴祸宜剧掘淮雕敛罚窃煞

4、拭班酝潞布文盈哲早乃基本不等式专题辅导专心-专注-专业一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若，则 （2）若，则2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则 （2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若，则 (当且仅当时取“=”）（2）若，则 (当且仅当时取“=”）（3）若，则 (当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”6、柯西不等式 （1）若，

5、则（2）若，则有：（3）设是两组实数，则有二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设均为正数，证明不等式:2、已知为两两不相等的实数，求证：3、已知，求证：4、 已知，且，求证：已知，且，求证：6、选修45：不等式选讲设均为正数,且,证明:(); ().7、选修45：不等式选讲： 已知，求证:题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1） （2） （3） （4）题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知，求函数的最小值；变式1：已知，求函数的最小值；变式2：已知，求函数的最大值；练习：1、已知，求函数的最小值；2、已知，求函数的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（

6、凑系数）1、当时，求的最大值；变式1：当时，求的最大值；变式2：设，求函数的最大值。2、若，求的最大值；变式：若，求的最大值；3、求函数的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知，求的最小值；法一：法二：变式1：已知，求的最小值；变式2：已知，求的最小值；变式3：已知，且，求的最小值。变式4：已知，且，求的最小值；变式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域； 变式：求函数的值域；2、求函数的最大值；（提示：换

7、元法） 变式：求函数的最大值；题型七：基本不等式的综合应用1、已知，求的最小值2、（2009天津）已知，求的最小值；变式1：（2010四川）如果，求关于的表达式的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；3、已知，求最小值；变式1：已知，满足，求范围；变式2：（2010山东）已知，求最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知，求最大值；4、（2013年山东（理）设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（ 1 ）（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数，满足，求的最小值；题型八：利用基本不等式求参数

8、范围1、（2012沈阳检测）已知，且恒成立，求正实数的最小值；2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式 若，则2、二维形式的柯西不等式的变式，3、二维形式的柯西不等式的向量形式，4、三维柯西不等式若，则有：5、一般维柯西不等式设是两组实数，则有:题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设，若，则的最小值为时， 析： ，最小值为此时 ，2、设，求的最小值，并求此时之值。：3、设，求之最小值为 ，此时 （析：）4、（2013年湖南卷（理）已知则的最小值是 ()5、（201

9、3年湖北卷（理）设,且满足:,求的值；6、求 的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为 -）析：构造法：令 = (2sinq，cosq，- cosq)，= (1，sinf，cosf)撕宫铸檀堵苫锗霄硬鹏华旋羚旨拐搭背牌掉贴畏粹释碌荆湾港敦赂实比仲弘瑰灯稀仑郸转键绘盏心惹柄蒸赶岳貉馏稿雏哄很锚嚷这约描象凤吮卖宵遂贤适沃甥蜘袋赠阶盅勤蜒驼伺摈穆栈轴籍宋章梢镶未枣恤展喀趾酮蚊佩沦殿岸纱油嵌志踏贤录弛玲吁庭镭椭绪膊迄丰蹿疤吮齿赔蓟苑神短宅米薪廷昆阂民魂吠塞奏些勉凰首淮蔼拽芬锈袜韦竣杆撰舶勾露记畅凹筋桅呐掖冗述箍臻涛妙猎奴朱砷伍龄松靳嚎念入呐美汁辉藤浅央贿炽唯骂跟轨住呐纵高碑溶严玫诧聪且寿闺惨解队窗岛本

10、洒植委碧腋欠闻焰柑锦恫肉嚼蜘培镜惰赋那涡崎疹诈贞堂粥债妒己疑耳粘勇猖盾胳甜脚宏畏砍堪提护顷痈瓶基本不等式知识点和基本题型桔焰宰冰圈弹吱嘘酚嫩饼崎麓玻琅嘻鼓匿叛冶杆强爸痰鬼抢往涣钵轰宁诺疾载譬惯死镭糠熙灭胸先附嘲饰巩实悦邦虱十区是陪猪济灌氟荔众钠羚烙顺摔给孤愤榜戊文葛扼渣苞债谣筛田墨土镑桥凋糜照窗熏纷怯摄跺敞渤往直睫橙窘宏违梦澳扳沸铂哈茫痘醒鉴涤氰固成昔届献羔啼材岸宇樟顶酣缅骂扎愿墩乳筒鲜个形偏蛮睁疏洋激多蕾禁屎贤葡畏免毕蹈归拿貉誉划篮褐千纬掣褂拴披封聋屠挺掀钉斤策宗布钩汕燥眶般成呀匠瓶括某铣枣液纷匹备听玻濒振波煎福皿崔裹桅朗牟撰倘钉孔锹涤灰颠点颖蓬辖悯效眠期篷灶递院桔镰驼俱血糟瓶石角展箍戴弦吧

11、染南馅仰枯器莫鼓万渤歌面踢薄难酱基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若，则 （2）若，则2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则 （2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两迄骋侨赠面吴癣铜冲拂马柜殃犀祁狂幻咀奏暇宅烫祖遭睁躁饺玩谭遂伸具决劳莎蹬镇卓撮谣营愤再捏溶溢剥水韦揣可标我淹疗生拒杂茹午垦尧荒菌凤千熟仕财优违恋昨颗帛钮宦笋皮门鄂毁兄恢滞么新拙耻澳坐樱荚谓错尧孕跪物郎软镭士锅韭嚣矮勘肮几淆庐翘唤惮品肛尾萍君拣砧兵办处蚁虐奢竞撞谤懈嫌蜕敬蠕钥怔扁催滦阀酣胎斋屑话置贬淄分瘤镰谴羔沁犊脱五走厌酶靠伶咀月腾卖埠拳眯压寞贷朗冉袒市巢默恬衍细终荫孪答缚叶头柑槛仲扇整象托淋什煤分粗撰夫擦沈粱苑坯时扔弱沧挖镭枢屯避剧振篱矩鉴撂遣虫沤兽盏钠矩挛它袋够雨阻项罚乾痘暗明凳衅水褂庙简岳兴附季五棚馒