2022年初二数学专项训练因式分解.pdf

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1、新 智 康 教 育初二数学因式分解专项训练因式分解提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。因式分解的概念是把一个多项式化成n 个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。 知识要点 1了解因式分解的意义和要求2理解公因式

2、的概念3掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例 1下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）1.(x+1)(x-2)=x2-x-2 2.ax-ay-a=a(x-y)-a 3.6x2y3=2x2 3y34.x2-4=(x+2)(x-2) 5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a) A、0个B、1 个C、2 个D、3 个分析：从左到右，式1 是整式乘法；式2 右端不是积的形式；式3 中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n 个整式的乘积形式；式5 的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4 是正确的。解： B 例 2把 -3a2

3、b3+6a3b2c+3a2b 分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“- ”号，使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b. 解： -3a2b3+6a3b2c+3a2b =-(3a2b3-6a3b2c-3a2b) =-3a2b(b2-2abc-1) 评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1 或-1 ，而不是零。1 作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

4、- - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 算的逆过程的原理来检查。例如， 观察 -3a2b(b2-2abc-1) 是否等于 -3a2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。例 3分解因式3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) 分析：因为 y-2x=-(2x-y), 就是说 y-2x 与 2x-y 实质上是相同因式， 因此本题的公因式是3ab(2x-y). 解： 3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) =3a2b(2x-y)+6ab2(2x-y) =3ab(2x-y)(a+2b) 评注：本题的公因式是多项式

5、，此类型题只要把(2x-y) 看作一个整体即可。另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。例 4分解因式： 2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2分析：要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=-(a-b)2=(a-b)2，因此 (a-b)2就是公因式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。解： 2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2=2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(a-b)2 =a(a-b)22(a-b)-a+b =a(a-b)2(a-b) =a(a-b)3. 评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不

6、能生搬硬套。记住下面结论是有益的。当 n 为奇数时， (x-y)n=-(y-x)n; 当 n 为偶数时， (x-y)n=(y-x)n. 例 5不解方程组求 7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。分析：先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3进行因式分解，再将2x+y=6 和 x-3y=1 整体代入。解： 7y(x-3y)2-2(3y-x)3 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3 =(x-3y)27y+2(x-3y) =(x-3y)2(2x+y) 原式 =126=6 评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。例 6求证： 32000-4 31999+1031998能被 7

7、整除。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 分析：先把32000-4 31999+1031998因式分解证明： 32000-4 31999+1031998 =31998(32-4 3+10) =7 31998 32000-4 31999+1031998能被 7 整除。（三）、练习一、选择题：（1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（） A、-5x2y3=-5xy(xy2) B、x2-4-3x=(x+2)(x-2)-

8、3x C、ab2-2ab=ab(b-2) D 、(x-3)(x+3)=x2-9 （2）49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（） A、7abc2 B、7ab2c2 C、7a2b2c2 D、7a3bc3（3）把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是（） A、(x-y)(3m-2x-2y) B、(x-y)(3m-2x+2y) C 、 (x-y)(3m+2x-2y) D、(y-x)(2x-2y+3m) （ 4） 在下列各式中： a-b=b-a; (a-b)2=(b-a)2; (a-b)2=-(b-a)2; (a-b)3=(b-a)3;(a-b)3

9、=-(b-a)3;(a+b)(a-b)=(-a+b)(-a-b) 正确的等式有（） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个（5）在分解 -5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b)2后，另一个因式是（） A、5x3 B、5x3+1 C、5x3-1 D、 -5x3（6）下列各组代数式中没有公因式的是（） A、5m(a-b) 与 b-a B、(a+b)2与-a-b C、mx+y与 x+y D、-a2+ab 与 a2b-ab2（7）下列各题因式分解正确的是（） A、3x2-5xy+x=x(3x-5y) B、4x3y2-6xy3z=-2xy2(2x2-yz+3) C

10、、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a) D、-56x3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz(8x2-2xy+3yz) （8）把 (-2)1999+(-2)2000分解因式后是（） A、21999 B、-2 C、-21999 D、-1 （9）把 3an+2+15an-1-45an分解因式是（）A、3(an+2+5an-1-15an) B、3an(a2+5a-1-15) C、3an-1(a3+5-15a-1) D、3an-1(a3+5-15a) 答案 : 1.C 2.A 3. B 4. C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D 二、填空题：1单项式 -4a2b

11、2c3，12ab2c, 8ab3的公因式是 _。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 2多项式 9x3y-36xy3+3xy 提取公因式 _后，另一个因式是_。3多项式 8x2n-4xn提取公因式后，括号内的代数式是_。4分解因式： x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_. 5分解因式： x(x+y)(x-y)-x(y+x)2=_. 62y(x-2)-x+2 分解因式 _。 答案 ： 1. 4ab2 2. 3xy, 3x2

12、-12y2+1 3. 2xn-1 4. (m-n)(a-b)(x-y) 5. -2xy(x+y) 6. (x-2)(2y-1) 三、解答题：1把下列各多项式分解因式(1) a5b-a2b3+a2b (2) -7x2y-14xy2+49x2y2(3) (x+y)(a2+a+1)-(x-y)(a2+a+1) (4) 18x2(x-2y)2-24xy(2y-x)2-12x(2y-x)3(5) x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y) (6) y(2x-y)2-2x(y-2x)22计算下列各式(1) 7.6200.1+4.3 200.1-1.9200.1 (2) 1011-51093先化简

13、，再求值。(1) 已知 2x-y=, xy=2, 求 2x4y3-x3y4的值。(2) 已知 4x2+7x+2=4, 求-12x2-21x 的值。4求证下列各题(1) 证明 72000-71999-71998能被 41 整除(2) 求证：奇数的平方减去1 能被 8 整除(3) 求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。 答案 ：1(1)a2b(a3-b2+1) (2)-7xy(x+2y-7xy) (3)2y(a2+a+1) (4)6x(2y-x)2(5x-8y) (5)(x+y-z)2(6) 原式 =y(2x-y)2-2x(2x-y)2=(2x-y)2(y-2x) =-(

14、2x-y)3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 2(1) 原式 =200.1 (7.6+4.3-1.9) =200.1 10 =2001 (2) 原式 =109(102-5) =10995 =9.5 10103(1) 解： 2x-y=, xy=2, 2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=23=. (2) 解： 4x2+7x+2=4 4x2+7x=2 -12x2-21x=-3(4x2+7x)=-3 2=-6. 4(1) 证明：

15、72000-71999-71998=71998(72-7-1)=41 7199872000-71999-71998能被 41 整除。(2) 证明：设奇数为2n+1, 则(2n+1)2-1=(2n+1-1)(2n+1+1) =2n(2n+2) =4n(n+1) 又相邻两个整数的积一定是偶数n(n+1) 是偶数即 n(n+1) 是 2 的倍数，4n(n+1) 是 8的倍数，故原命题成立。(3) 证明：设 n为整数，则n, n+1是两个连续整数，n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)2, 故原命题成立。因式分解 ( 二)一、学习指导1代数中常用的乘法公式有：平方差公式： (a+b

16、)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a b)2=a22ab+b22因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a22ab+b2=(ab)23应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。明确公式中字母可以表示任何数，单项式

17、或多项式。同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。二、因式分解公式的结构特征。1. 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)的结构特征1) 公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。2) 公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a 是完全相同的，即为左边式子中被减数a2的底数，另一项b 和-b 是互为相反数，即b 是左边式子中减数b2的底数。3) 要熟记 1 20 的数的平方。2、完全平方公式：a22ab+b2=(a b)2的结构特征 . 1) 公式的左边是一个

18、三项式, 首末两项总是平方和的形式, 中间项的符号有正有负, 当为正号 ( 负号 ) 时右边的两项式中间符号为正( 为负 ),2ab 中的“ 2”是一个固定的常数。2) 公式的右边是两数和或差的平方形式。3) 要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a 和 b 在这里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab 或-2ab ，如果是的， 才可以分解为两数和或差的平方形式。初学时中间的过渡性步骤不要省掉。三、例题分析：例 1分解因式： (1)4a2-9b2 (2)-25a2y4+16b16分析： 4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a 和 3b 看作平方差

19、公式中的a 和 b 即可。将两项交换后，这两项式是平方差的形式。解： (1)4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b) 注：为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式。分析：这是个两项式，且两项符号相反 16b16=(4b8)2 25a2y4=(5ay2)2那么可将4b8和 5ay2看作平方差公式中的a和 b 即可。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 解： (2)-25a2

20、y4+16b16=16b16-25a2y4=(4b8)2-(5ay2)2=(4b8+5ay2)(4b8-5ay2) 注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b8)2-(5ay2)2例 2分解因式： (1)36b4x8-9c6y10 (2)(x+2y)2-(x-2y)2(3)81x8-y8 (4)(3a+2b)2-(2a+3b)2分析： (1) 题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。(2) 题的两项式符合平方差公式，x+2y 和 x-2y 分别为公式中的a 和 b。(3) 题也是两项式，9x4和 y4是公式中的a和 b。(4) 题也是两项式，3a+2b 和

21、2a+3b 是平方差公式中的a 和 b。解： (1)36b4x8-9c6y10=9(4b4x8-c6y10) =9(2b2x4)2-(c3y5)2 =9(2b2x4+c3y5)(2b2x4-c3y5) 注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。(2)(x+2y)2-(x-2y)2=(x+2y)+(x-2y)(x+2y)-(x-2y) =(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y) =(2x)(4y)=8xy 注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。(3)81=(9x4)2-(y4)2=(9x4+y4)

22、(9x4-y4) =(9x4+y4)(3x2)2-(y2)2 =(9x4+y4)(3x2+y2)(3x2-y2) =(9x4+y4)(3x2+y2)(3x2-y2) 注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x4-y4还可以再用平方差公式分解3x2-y2在有理数范围内不能分解了，因为3 不能化成有理数平方的形式。(4)(3a+2b)2-(2a+3b)2=(3a+2b)+(2a+3b)(3a+2b)-(2a+3b) =(3a+2b+2a+3b)(3a+2b-2a-3b) =(5a+5b)(a-b) =5(a+b)(a-b) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

23、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 注： (5a+5b) 这个因式里还有5 可以再提取，应该再提取出来。例 3分解因式：(2m-n)2-121(m+n)2 -4(m+n)2+25(m-2n)2分析：(1) 题的第二项应写成11(m+n)2就可以用平方差公式分解，2m-n和 11(m+n)为公式中的a 和 b，(2) 题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a 和 b 分别为5(m-2n) 和2(m+n) ，再应用平方差公式分解。解： (1)(2m-n)2-121(m+n)2=(2

24、m-n)2-11(m+n)2=(2m-n)+11(m+n)(2m-n)-11(m+n) =(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n) =(13m+10n)(-9m-12n) =-3(13m+10n)(3m+4n) 注： (-9m-12n) 这项应提取公因式-3 (2)-4(m+n)2+25(m-2n)2=25(m-2n)2-4(m+n)2=5(m-2n)2-2(m+n)2=5(m-2n)+2(m+n)5(m-2n)-2(m+n) =(5m-10n+2m+2n)(5m-10n-2m-2n) =(7m-8n)(3m-12n) =3(7m-8n)(m-4n) 注：利用平方差分解后的两个

25、因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如 : -2(m+n)=-2m-2n -2m+2n 例 4. 分解因式 : (1)b-ab (2)a4(m+n)-b4(m+n) (3)-分析：这三道题都有公因式, 应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分解为止。解： (1)a5b-ab =ab(a4-1) =ab(a2+1)(a2-1) =ab(a2+1)(a+1)(a-1) 注： a2+1 在有理数范围不能分解，a2-1 可以分解。(2)a4(m+n)-b4(m+n) =(m+n)(a4-b4) =(m+n)(a2+b2)(a2-b2) =(m+n)(a2+b2)(a+

26、b)(a-b) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - (3)-=-(a2-16) =-(a+4)(a-4) 注：提取分数公因式-便于后面用公式法分解。例 5计算 1.222229-1.333324 分析 : 这是数字的计算问题, 若按运算顺序一步步做很繁, 我们认真观察, 寻求简便算法, 发现题中的两项, 每一项都可以写成一个数的完全平方, 再可以用平方差公式进行因式分解, 这样可以使计算简化。解： 1.222229-1.333324

27、 =(1.2222 3)2-(1.33332)2=(1.2222 3+1.3333 2)(1.22223-1.3333 2) =(3.6666+2.6666)(3.6666-2.6666) =6.3332 1=6.3332 例 6分解因式： (1)x(x2-1)-x2+1 (2)(x2+x+2)(x2+x+7)-6 分析：(1) 可看成二项式： 将-x2+1变形为 -(x2-1) 则可提取公因式(x2-1) 再将公因式用平方差公式分解。解： (1)x(x2-1)-x2+1 =x(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2分析：

28、(2) 题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2 与 x2+x+7 的平均数为x2+x+，故可用换元法解：解：设 y=x2+x+则(x2+x+2)(x2+x+7)-6 =(y-)(y+)-6=y2-6 =y2-=(y+)(y-) =(x2+x+)(x2+x+-)=(x2+x+8)(x2+x+1) 注：此题也可以展开式子(x2+x)2+9(x2+x)+8 再应用十字相乘法进行。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 例 7若 (248-

29、1) 可以被 60 和 70 之间的两个数整除，求这两个数。分析：首先应分析248-1 的特殊形式为平方差，由题意248-1 能被两个数整除说明248-1 能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248-1 进行因式分解。并注意这两个整数的取值范围是大于60 且小于 70。解： 248-1 =(224)2-12=(224+1)(224-1) =(224+1)(212+1)(212-1) =(224+1)(212+1)(26+1)(26-1) 26+1=65 为整数， 26-1=63 为整数， 224+1和 212+1 都为整数=(224+1)(212+1)(26-1) 为整数。=(224+1)(2

30、12+1)(26+1)也为整数。248-1 被 60 和 70 之间的两个数整除，这两个数为65 和 63。说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1 是因式分解的平方差公式的基本形式。将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1 的因式， 26+1=65，及出现26-1=63 。因为 23+1=9，23-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。例 8求证：任意两个连续整数之积是2 的倍数，证明：设这两个连续整数分别为n 和 n+1 则这两个连续整数之积为：n(n+1) (1) 如果 n 为偶数，可设n=2k(k 为整数 ) 则 n(n+1)=2k(2k+1) =k(2

31、k+1) k 为整数， k(2k+1) 为整数n(n+1) 是 2 的倍数(2) 如果 n 为奇数，可设n=2k+1(k 为整数 ) 则 n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1) =(2k+1)(k+1) k 为整数， (2k+1)(k+1)也为整数n(n+1) 是 2 的倍数任意两个连续整数之积是2 的倍数。注：本题的证明，主要是明确以下几点：(1) 连续整数的表示法，注意数之间差为1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 1

32、7 页 - - - - - - - - - - (2)2 的倍数是什么意思；即被2 整除，也就是说除以2 所得的商是一个整数。(3) 要进行分类讨论，将n 分为偶数和奇数来进行讨论。例 9、分解因式： (1)x2+6ax+9a2 (2)-x2-4y2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1 分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。(1) 题的 x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和。这样x 和 3a 就为公式中的a 和 b了。另外6ax 正好是 2(x)(3a)即公式中的2ab 项，这样这题就可用和的完全平方公式

33、分解。解： (1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即 x 和 3a 写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。分析： (2) 题中的 -x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-x2+(2y)2 ， 4xy正好是 2(x)(2y)是公式中的2ab 项，此题可用完全平方公式。注意提取负号时4xy 要变号为 -4xy 。解： (2)-x2-4y2+4xy =-(x2-4xy+4y2) =-x2-2(x)(2y)+(2

34、y)2 =-(x-2y)2分析： (3) 题 9(a-b)2+1 可写成平方和 3(a-b)2+12，就找到公式中的a 和 b 项为 3(a-b) 和 1，6(a-b)正好是 23(a-b) 1 为公式中的2ab 项，符合完全平方公式。解： (3)9(a-b)2+6(a-b)+1 =3(a-b)2+23(a-b) 1+12=3(a-b)+12=(3a-3b+1)2例 10、分解因式： (1)a4x2-4a2x2y+4x2y2(2)(x+y)2-12(x+y)z+36z2 (3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16 (4)(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4分析： (1) 题有

35、公因式x2应先提取出来，剩余因式(a4-4a2y+4y2) 正好是 (a2-2y)2解： (1)a4x2-4a2x2y+4x2y2=x2(a4-4a2y+4y2) =x2(a2)2-2(a2)(2y)+(2y)2 =x2(a2-2y)2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 分析： (2) 中可将 (x+y) 看作一个整体，那么这个多项式就相当于(x+y) 的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和 b 分别为 (x+y) 和(6z)

36、，中间项 -2ab 为-2(x+y)(6z)，正好适合完全平方公式。解： (x+y)2-12(x+y)z+36z2=(x+y)2-2(x+y)(6z)+(6z)2=(x+y-6z)2注：此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项( 或一部分 ) 作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。如此题中将(x+y) 代换完全平方公式中的a，6z 换公式中的b。分析：(3) 的题型与 (2) 题相同，只不过公式中的a 和 b 为 x2+4x 和 4， 分解为 (x2+4x+4)2后再将 x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不

37、能分解为止。解： (x2+4x)2+8(x2+4x)+16 =(x2+4x)2+2(x2+4x) 4+42=(x2+4x+4)2=(x+2)22=(x+2)4分析： (4) 题把 x2-2y2和 y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和 y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。注意分解到不能分解为止。解：(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4=(x2-2y2)2-4(x2-2y2)y2+4y4 =(x2-2y2)2-2(x2-2y2)(2y2)+(2y2)2 =(

38、x2-2y2-2y2)2=(x2-4y2)2=(x+2y)(x-2y)2=(x+2y)2(x-2y)2例 11、分解因式： (1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(2)3a4-6a2+3 ( )an+1+an-1-2an (4)(m2+n2-1)2-4m2n2分析： (1) 题中的 9(a-b)2=3(a-b)2，4(a+b)2=2(a+b)2而中间项12(a2-b2)=12(a+b)(a-b)=23(a-b) 2(a+b) 正好是公式中的2ab 项。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

39、 - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 解： (1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+ )23(a-b)2+12(a+b)(a-b)+2(a+b)2=3(a-b)2+23(a-b) 2(a+b)+2(a+b)2=3(a-b)+2(a+b)2=(3a-3b+2a+2b)2=(5a-b)2分析： (2) 此题的三项式可看作a2的二次三项式 , 且应先提取公因式3，再用公式进行分解。解： (2)3a4-6a2+3 =3(a4-2a2+1) =3(a2-1)2=3(a+1)(a-1)2=3(a+1)2(a-1)2注：应用完全平方公式后注意再将因式a2-1

40、再用平方差公式分解。注意用积的乘方法则。分析： (3) 题有公因式an-1，先提取公因式再用公式。注意先按降幂排列好顺序。解： (3)an+1+an-1-2an=an+1-2an+an-1=an-1(a2-2a+1) =an-1(a-1)2分析： (4) 题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。解： (4)(m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn) =(m2+2mn+n2)-1(m2-2mn+n2)-1 =(m+n)2-12(m-n)2-12 =(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)

41、例 12：分解因式：(m2-1)(n2-1)+4mn. 分析：将 (m2-1)(n2-1) 展开得 m2n2-m2-n2+1=(m2n2+1)-(n2+m2) 可将 m2n2+1 与 n2+m2均配成完全平方则可用平方差公式分解。解： (m2-1)(n2-1)+4mn =(m2n2-m2-n2+1)+4mn =(m2n2+1)-(n2+m2)+4mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2=(mn+1+m-n)(mn+1-m+n) 因式分解分组分解法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

42、 - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。二、 学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以

43、应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的， 至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考， 减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。三、例题分析例 1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1 分析：首先注意到前两项的公因式2x 和后两项的

44、公因式-3 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y 的项分在一组。如下面法（二）解法。解( 一)2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y) (2x-3) 解( 二)2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y) 说明：解法1 和解法 2 虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1： 1和 2：（ -3 ）。这也是分组中必须遵循的规律之一。(2) 分析：若将

45、此题按上题中法（二）方法分组将含有a 的项分在一组即a2+4a=a(a+4) ，含有 b 的项一组即 -b2-4b=-b(b+4)，那 a(a+4) 与-b(b+4) 再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。解： a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b) (a+b+4) (3) 若将此题

46、应用 （ 2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将 4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解： 4x2-9y2-24yz-16z2=4x2-(9y2+24yz+16z2) =(2x)2-(3y+4z)2=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z) (4) 分析：此题按照系数比为1 或者为 -1 ，可以有不同的分组方法。法（一） x3-x2-x+1 =(x3-x2)-(x-1) =x2(x-1)-(x-1) =(x-1)(x2-1) =(x-1)(x+1)(x-

47、1) =(x+1)(x-1)2法（二）原式=(x3-x)-(x2-1) =x(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。说明：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例1（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例1 的（2）题、（4）题

48、。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例1 中的（ 3）题。例 2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m 分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n) 之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。解： m2+n2-2mn+n-m =(m2-2mn+n2)-(m-n) =(m-n)2-(m-n) =(m-n)(m-n-1) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - -

49、- - - - - - - - 例 3分解因式 :(1)x2-y2-z2-2yz+1-2x (2)x2-6xy+9y2-10 x+30y+25 (3)a2-a2b+ab2-a+b-b2分析：此题是一个六项式，经过分析可采用三项，三项分组，x2-2x+1 一组， -y2-2yz-z2一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。解： x2-y2-z2-2yz+1-2x =(x2-2x+1)-(y2+2yz+z2) =(x-1)2-(y+z)2=(x-1+y+z)(x-1-y-z) 分析 (2) ：此题也是六项式，前三项是 (x-3y)2，而最后一项是52，中间两项恰巧能分解成-2 5(x-3y)

50、，所以可以用完全平方公式来分解。解： x2-6xy+9y2-10 x+30y+25 =(x2-6xy+9y2)-10 x+30y+52=(x-3y)2-2 (x-3y) 5+52=(x-3y-5)2（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。解： a2-a2b+ab2-a+b-b2=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b) =(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b) =(a-b)(a+b-ab-1) =(a-b)(b-1)-a(b-1) =(a-b)(b-1)(1-a) 说明：此题分解到(a-b)