专题23二次函数的应用(实际问题)(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题23：二次函数的应用（实际问题）一、 选择题1.（山东济南3分）竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为ht2t，其图象如图所示若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第A3s B3.5s C4.2s D6.5s【答案】C。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，小球在发射后第4s时的高度最高。看所给时刻中小球的高度最高的只要看那个时刻离4s最近，而4.2s离4s最近，故4.2s是所给时刻中小球的高度最高的。故选C。2（河北省3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米

2、）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=5（t1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 A、1米B、5米 C、6米D、7米【答案】C。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=5（t1）2+6，当t=1时，小球距离地面高度最大，h=6米。故选C。3.（广西梧州3分）2011年5月22日29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（A）y=x2+x+1 （B）y=x2

3、+x1 （C）y=x2x+1 （D）y=x2x1【答案】A。【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线y=x2+bx+c可求出b，c1。因此这条抛物线的解析式是y=x2+x+1。故选A。4.（湖南株洲3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是A米 B米C米 D米【答案】A。【考点】二次函数的应用。【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的

4、抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：，抛物线顶点坐标为：（2，4），喷水的最大高度为4米。故选A。5.（山东聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为A50m B100m C160m D200m【答案】C。【考点】二次函数的应用。【分析】建立如图所示的直角坐标系，由于抛物线的顶点为（0，0.5），所以可设抛物线函数表达式为。则由于点（1，0）在抛物线上，代入后得，从而抛物线函数表达式为。当时，；当时

5、，。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为：1002（0.480.32）160（m）。故选C。6.（青海西宁3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是Ay(x)23By3(x)23Cy12(x)23Dy12(x)23【答案】C。【考点】二次函数的应用。【分析】一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，顶点坐标为（，3）。设抛物线的解析式为y=a（x ）23，而抛物线还经过（0，0），0=a（）23，a=12。抛物线的解析式为y12(x)23。故选C。二、填空题1.（湖南怀化

6、3分）出售某种手工艺品，若每个获利元，一天可售出个，则当= 元，一天出售该种手工艺品的总利润最大 【答案】4。【考点】二次函数的最值【分析】依题意得与的函数关系式=（8）=28，化为顶点式为=（4）216， 当=4时，取得最大值。三、解答题1. （天津8分） 注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可 某商品现在的售价为每件35元每天可卖出50件市场调查反映：如果调整价格每降价1元，每天可多卖出2件请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品

7、降价元每天的销售额为元(I) 分析：根据问题中的数量关系用含的式子填表： () (由以上分析，用含的式子表示，并求出问题的解) 【答案】解：（） （）根据题意，每天的销售额 整理配方，得。 当=5时，取得最大值1800。 答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。【考点】列函数关系式，二次函数的应用。【分析】（）根据题意，可分析出结果。 （）列函数关系式是找出等量关系： 每天的销售额=每件售价每天销量 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式的形式即可求出。 （）列函数关系式是找出等量关系： 每天的销售额=每件售价每

8、天销量 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式的形式即可求出。2.（黑龙江哈尔滨3分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长 (单位：cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当是多少时，菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? 【答案】解：（1）。（2）把化为顶点式：0，当时，S有最大值，最大值为450。当为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm 2。【考点】二次函数的应用，菱形的性质

9、，二次函数的最值。【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出S与之间的函数关系式。（2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的最值原理，即可求出。3.（黑龙江大庆7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件将销售价定为多少时，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元，则 将销售定价定为14元时，每天所获利润最大，且最大利润是360元。【考点】二次函数的应用。【分析】根据题意列出二次函数，将函数化为顶点式，便可知当=14时，所获得

10、的利润最大。4.（江苏徐州8分）某网店以每件60元的价格进一批商品, 若以单价80元销售,每月可售出300件, 调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件。（1）请写出每月销售该商品的利润（元）与单价上涨（元）间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？【答案】解：（1）每月销售该商品的利润（元）与单价上涨（元）间的函数关系式为。 （2） 当时，即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元。【考点】列二次函数关系式，二次函数的顶点式，求二次函数的最大（小）值。【分析】（1）关键是找出等量关系：利润=收入成本，即 （2）根据

11、二次函数的最大（小）值的概念，二次函数故只要通过配方法把化为即可。5.（江苏常州、镇江7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第天的总销量（千克）与的关系为；乙级干果从开始销售至销售的第天的总销量（千克）与的关系为，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：123214469求、的值；若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？问从第几天起乙级干果每

12、天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）【答案】解：选取表中任两组数据，代入，得 ， 解得，。 设甲级干果与乙级干果天销完这批货。 则有， 当 毛利润3998741611406798（元） 第天甲级干果的销售量为 ， 第天乙级干果的销售量为 。 依题意有。答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。【分析】用待定系数法得二元一次方程组直接求解。 列方程解应用题。关键是找出等量关系： 天甲级干果销量天乙级干果销量总销量 关

13、键在表示第天干果的销售量，然后列不等式求解。6（山东泰安10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【答案】解：（1）获利：（3020）1055（3025）=800。（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，由题意，得=（20）1055（25）=523304600=5（33）2845。50，当=33时，的最大值为845。故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元。【考点】二次函数

14、的应用（销售问题）。【分析】（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件可计算出一个月可获利多少元。（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，得到与的二次函数关系式求出函数的最大值即可。5.（湖北黄冈、鄂州12分随州14分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入万元，可获得利润P=（万元）当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条

15、公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入万元，可获利润Q=（万元）（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？【答案】解：（1）每投入万元，可获得利润P=（万元），当=60时，所获利润最大，最大值为41万元。若不进行开发，5年所获利润的最大值是：415=205（万元）。（2）前两年：050，此时因为P随的增大而增大，所以=50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2 =80（万元）。后三年：设

16、每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100，=P+Q=+=2+60+165=（30）2+1065。当=30时，y最大且为1065。这三年的获利最大为10653=3195（万元）。5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495502=3175（万元）。（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值。【考点】二次函数的应用（销售问题）。【分析】（1）由可获得利润P=（万元），即可知当=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：050，此时因为P随的增大而增大，所以=50时，P值最大；

17、然后后三年：设每年获利y，设每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100，即可得函数=P+Q=+，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值。（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值。6.（湖北荆门10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. 型号金额型设备型设备投资金额（万元）524补贴金额（万元）22.43.2（1）分别求和的函数解析式；（2）有一农户同时对型、型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最

18、大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.【答案】解：（1）由题意得：5=2，=， 。， . 。 （2）设购型设备投资t万元，购型设备投资（10t）万元，共获补贴Q万元。 ， 。0，Q有最大值，即当时，Q最大。 (万元) 。即投资7万元购型设备， 3万元购型设备，共获最大补贴5.8万元。【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。（2）根据得出关于的二次函数，求出二次函数最值即可。7.（湖北咸宁9分）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元为了支援我市抗旱救灾

19、，农机服务站决定采取降价措施经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶（1）假设每桶柴油降价元，每天销售这种柴油所获利润为元，求与之间的函数关系式；（2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？【答案】解：（1）。 （2）当时，有最大值1250因此，每桶柴油降价15元后出售，可获得最大利润。，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利450元。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）根据每桶柴油的利润乘以销售量等于销售利润，可以得到与的函数关系式。（2）根据二次函数的性质，用顶点式表示二次函数，

20、可以求出最大利用和降价数。8.（云南曲靖9分）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，铅球运行路线如图。（1）求铅球推出的水平距离；（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m。【答案】解：（1）由0，得，解之，得 （不合题意，舍去）。 铅球推出的水平距离是10m。 （2）， 函数的最大值为3m。 铅球行进高度不能达到4m。【考点】二次函数点的坐标和性质。【分析】（1）根据点A在轴上，0即可求。 （2）根据二次函数最大值的求法，比较4m和函数的最大值的关系即可得出结论。9. （山东滨州12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点

21、O落在水平面上，对称轴是水平线OC点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC4米，点B到水平面距离为2米，OC8米（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【答案】解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数

22、解析式为。 由题意知点A的坐标为（4，8），点A在抛物线上，。解得。所求抛物线的函数解析式为：。（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称。连接BD交OC于点P，则点P即为所求。（3）由题意知点B的横坐标为2，点B在抛物线上，点B的坐标为（2，2）。又点A的坐标为（4，8），点D的坐标为（4，8）。设直线BD的函数解析式为，则有，解得。直线BD的函数解析式为。把0代入，得点P的坐标为（0，4）。两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系，三角形两边之和大于第三边，待定系数法。【分析】（1）以点O为原点、射线OC为y

23、轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为，又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式。（2）延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接BD交OC于点P，则点P即为所求。因为对于OC上其它任何一点，它与点D，B所连线段之和都大于BD。所以BDDFFB最短，由于DFAF，从而得到AF+BF最短。（3）首先根据题意求得点B与D的坐标，设直线BD的函数解析式为，利用待定系数法即可求得直线BD的函数解析式，把0代入，即可求得点P的坐标。 沁园春雪北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试比高。须晴日， 看红装素裹，分外妖娆。江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。俱往矣，数风流人物， 还看今朝。 克专心-专注-专业