代数方程复习(教师版讲义)(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上基本内容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。二项方程：一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为 Axn+b=0(其中a0, b0,n为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax4+bx2+c=0(a0)无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程

2、的解法（1）二项方程的解法二项方程的定义：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。关于x的一元n次二项方程的一般形式是二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程可变形为可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。二项方程的根的情况：对于二项方程，当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。当n为偶数时，如果，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果，那么方程没有实数根。（2）双二次方程的解法双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。关于x的双二次方程的一般形

3、式是双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如的双二次方程。就是用y代替方程中的x2，同时用y2代替x4，将方程转化为关于y的一元二次方程ay2+by+c=0。解这个关于y的一元二次方程即可。（3）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。三、可化为一元二次方程的分式方程的解1适宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。解分式方程要注意验根！2.适宜用“换元法”的分式方程适宜用换元法的分式

4、方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法四、无理方程的解法解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。1.只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。2.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次

5、根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。3.适宜用换元法解的无理方程如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。一、巩固训练：已知下列关于的方程： 其中无理方程是_，分式方程的是_整式方程的是_。二、热身练习解下列方程： （4）x4-9x2+14=0 （6） （7） （8） （9） 三、列方程解应用题1、小杰与小丽分别从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇.，相遇后两人按原来的速度继续前进， 小杰到达B地比小丽到达A地早 1小时21分，求两人的行进速度分别是多少？解：小杰的速度为千米/小时，小丽的速度为千米/

6、小时 解得精解名题例题1. 解下列关于x的方程（1）(3a-2)x=2（3-x） （2）bx2-1=1-x2（b-1）解（1）去括号，得 3ax-2x=6-2x 移项，得 3ax-2x+2x=6 合并同类项，得 3ax=6 当a0时，方程是一元一次方程，解得 ；当a=0时，方程变成 0x=6，这时不论x取什么值，等式0x=6都不成立，因此方程无解。所以，当a0时，原方程的根是；当a=0时，原方程无解。（2）移项，得 bx2+x2=1+1合并同类项，得（b+1）x2=2因为b-1，所以b+10两边同除以b+1，得 当b+10时，由方程解得 ；当b+10时，方程中，这时方程没有实数根。所以，当b+

7、10时，原方程的根是，； 当b+10时，原方程没有实数根。例题2. 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。（1）x3-64=0 （2）x4+x=0（3）x5= -9 （4）x3+x=1解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。下面解方程（1）、（3）：（1）移项，得 x3=64 开方，得 即 x=4（3）开方，得 即 例题3. 解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0 （2）x3-2x2+x-2=0解：（1）方程左边因式分解，得 x(2x2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0 得x=0或x+4=0或2x-1=0原方程的根是 x=0，x=-4，x=注

8、意：不要漏掉x=0这个根!（2）方程左边因式分解，得 (x3-2x2) +(x-2)=0 x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0 即 x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得 x=2方程x2+1=0没有实数根所以，原方程的根是 x=2例4解方程：解：解：设，则原方程化为 解得当时，得 当时，得 ,经检验，是原方程的解。例5、 解方程 解：（）例题6 解下列方程：（1） （2）（1）原方程可变形为 两边平方，得 x2-2=2x+1整理，得 x2-2x-3=0解得 x1=-1,x2=3经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是 x=3例题7 解方程 解

9、：设=y，则3x2-6x+12=3y2 ，则3x2-6x=3y2-12原方程化为 2y=3y2-12+4整理，得 3y2-2y-8=0解得 y1=2，y2=当y=2时，=2，=4，解得x=0或x=2；y=时，=，次方程无解。经检验，x=0，x=2都是原方程的根。所以，原方程的根是 x1=0，x2=2例8、求满足条件的x，y的值解：根据题意，可得方程组得例9 列方程解应用题两地盛产柑桔，地有柑桔200吨，地有柑桔300吨现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元

10、设从地运往仓库的柑桔重量为吨，A、B两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元（1）请填写下表后分别求出与之间的函数关系式，并写出定义域；仓库产地总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨（2）试讨论两地中，哪个运费较少；解：26仓（1）解：地产库总计吨吨200吨吨吨300吨总计240吨260吨500吨，（2）当时，； 当时，； 当时， 当时，即两地运费相等； 当时，即地运费较少； 当时，即地费用较少例10. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地 怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?解：设所围矩形ABC

11、D的长AB为x米，则宽AD为米依题意，得即，解此方程，得 墙的长度不超过45m，不合题意，应舍去当时，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m 不能因为由得 又(80)2411620=800，上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2巩固练习1. 解方程： 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得 2. 解方程 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两

12、边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得 经检验：原方程的根是3. 解方程： 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为： 约分，得 方程两边都乘以 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。4若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。5. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活

13、动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值

14、，两次航行提供了两个等量关系。 解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。7. m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 解：方程两边都乘以，得 整理，得 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根8. 某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务求改进操作方法后，每天生产多少件产品？解：设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品依题意有 整理得解得或 时，舍去答：改进操作方法后每天生产60件产品自我测试1. 甲、乙两地相距S千米，某

15、人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程 A. B. C. D. 33. 解方程：4. 求x为何值时，代数式的值等于2？5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？参考答案1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为 2. 把方程两边都乘以 若方程有增根，则 3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为 （2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 解： 因为其中的 经检验：是原方程的根。 4. 解：由已知得 的值等于2。 5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需天。 由题意，得 经检验 答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。专心-专注-专业