湖南大学高等数学A2试题及答案(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南大学期中考试试卷课程名称：高等数学A（2）；课程编码： 10015 试卷编号： ；考试时间：120分钟题 号一二三四五六七八九十总分应得分1515401614100实得分签 名 一. 填空题（每小题3分，共15分）1.方程所表示的二次曲面是 .2. 若向量则= .3. 曲线在点的切线的参数方程为 .4. 设，则在点处方向导数的最大值为 .5. 函数展开成幂级数，则展开式中的系数是 .二. 选择题（每小题3分，共15分）1. 设有以下命题：若收敛，则收敛.若收敛，则收敛. 若，则发散.若收敛，则都收敛.则以上命题中正确的是（ ）(A

2、) (B) (C) (D) 2. 直线与之间的关系是( )(A) 重合 (B) 相交 (C) 异面 (D) 平行3. 直线绕轴旋转而产生的旋转曲面方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 4. 设幂级数与的收敛半经分别为，则幂级数的收敛半经为（ ）(A) (B) (C) (D) 5. 设由方程确定, 其中可微, 且,则=( )(A) (B) (C) (D) 三、解答下列各题（每小题8分，共40分）1. (8分) 设 讨论在处（1）偏导数是否存在;（2）偏导数是否连续; (3)是否可微. 专心-专注-专业 2. (8分) 判断两直线L1：；L2：是否在同一平面内?若在同一平面内, 则求两直线的

3、交点; 若不是在同一平面内, 则求两直线之间的距离.3. (8分) 设，试判别级数敛散性. 4. (8分) 设具有二阶连续偏导数，试适当选取的值, 使方程经过变换后化为方程. 5. (8分) 求函数在约束条件下的最大值和最小值. 四、证明下列各题（每小题8分，共16分）1. 从椭球面外的一点作椭球面的一切可能的切线, 证明全部切点在同一平面上.2. 已知为两个非零且不共线的向量.令,是实数, 试证: 使得最小的向量垂直于.五、（14分)设，（1）证明在内连续; （2）计算.一. 填空题（每小题3分，共15分）: 1.椭圆柱面 2. 3. 4. 5. 二. 选择题（每小题3分，共15分）: 1.

4、 B 2. D 3. B 4. A 5. C三、解答下列各题（每小题8分，共40分）1. 解：(1) 同理可得，因此，在处偏导数存在. 2分（2）当沿直线趋向时，有，不存在，故在处不连续. 同理可得, 在处不连续. 5分(3) 因为. 因此,函数在处可微8分 2. 解1: 直线L1与L2的方向向量分别为, 且分别过 1分从而所以, 3分故直线L1与L2为异面直线. 4分过L1作平行于直线L2的平面, 其法向量可取为所以平面的方程为, 即. 6分又因点在直线L2上,故两直线L1与L2之间的距离即为点到平面的距离,故所求的距离为: 8分解2: 直线L1与L2的方向向量分别为, 且分别过 1分从而所

5、以, 3分故直线L1与L2为异面直线. 4分过L1作平行于直线L2的平面, 其法向量可取所以平面的方程为, 即. 6分又因点和点分别在直线L1与L2上, 故所求两直线的距离为: 8分3. 解：令, 则, 从而,于是. 4分 由比值判别法得级数收敛 8分4.解：， 2分， 5分于是，原方程化为： 6分令, 7分解得当或时，原方程化为： 8分5. 解：引入拉格朗日函数， 1分为求的驻点，解如下方程组 3分从前三个式中消去可得驻点应满足 代入第四个式子即可求得四个驻点 6分代入计算得从而知在与两点处取得最小值，在与两点处取得最大值.即函数在约束条件下的最大值是，最小值是. 8分四、证明下列各题（每小题8分，共16分）1. 证明：设椭球面的的方程为. 1分椭球面外一点设为，由向作切平面，设切点为，因曲面过点的切平面方程为. 4分令代入上式得 6分这表明切点位于同一平面（*）上.因切点和的连线就是从向椭球面所作的切线，因此所有切点位于同一平面（*）上. 8分2.证明: 因为 2分故当时, 最小, 此时, , 5分因为, 7分所以最小的向量垂直于. 8分五. 证明（1）, 级数收敛半径 2分又时，级数显然发散, 故幂级数收敛域为 4分幂级数的和函数在内连续. 6分（2）又由 9分那么 即求得 11分. 14分