南昌大学线性代数答案第三节最新版(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上练习三 向量组的线性相关性一、选择题1、设向量,若可以由，线性表示，则（ C ）。（A）2 （B）-2 （C）5 （D）-5可以由，线性表示线性相关2、向量组a1,a2,as（s2）线性无关的充分必要条件是（ D ）（A）都不是零向量 必要非充分 （B）任意两个向量的分量不成比例 必要非充分（C）至少有一个向量不可由其余向量线性表示 只要有就必定线性相关（D）每一个向量均不可由其余向量线性表示 3、设向量组a1,a2,a3线性相关，则（D）（）a1,a2,a3中必有零向量 不一定（）a1,a2必线性无关 不一定（）a1,a2必线性相关 不一定（）a1,a2,a3,a4

2、（a4与a1,a2,a3的维数相同）必线性相关 部分相关则整体相关4、下列命题正确的是（ C ）（A）若b可由a1,a2,as线性表示，则存在一组不全为零的数，使等式成立。只需存在一组数即可（B）若b不能由a1,a2,as线性表示，则a1,a2,as,b 线性无关 不一定（C）若a1,a2,as线性相关，且as不能由a1,a2,as-1线性表示，则a1,a2,as-1线性相关 线性相关存在不全为零的使 as不能由a1,a2,as-1线性表示故存在不全为零的使因此a1,a2,as-1线性相关（D）若a1,a2,as线性相关，则该向量组中任一向量均可由其余向量线性表示 至少5、下列说法不正确的是（

3、 A ）（A）如果r个向量a1,a2,ar线性无关，则加入k个向量b1,b2,bk后，仍然线性无关 整体无关部分无关（B）如果r个向量a1,a2,ar线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关 无关组添加分量仍无关（C）如果r个向量a1,a2,ar线性相关，则加入k个向量b1,b2,bk后，仍然线性相关 部分相关整体相关（D）如果r个向量a1,a2,ar线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关 相关组减少分量仍相关二、解下列各题：1、已知a1=(3,2,1), a2=(1,-1,2), a3=(2, C,3), 试问（1）当C为何值时，a1,a2,a3线性

4、无关？（2）当C为何值时，a1,a2,a3线性相关？并把a3表示为a1,a2的线性组合。解：（1）线性无关（2）c=-1时，线性相关设2、设a1,a2,a3线性无关，b1=2a1-a2+a3，b2=2a2-a3，b3=a1+2a2+a3，试判别b1, b2, b3线性相关性？解：设存在一组数，使由无关得由于系数行列式不等于0，所以方程有只有零解线性无关3、试证：任一四维向量B=(b1,b2,b3,b4)都可由向量组a1=(1,0,0,0), a2=(2,1,0,0), a3=(3,2,1,0), a4=(4,3,2,1)线性表示并且表示方法只有一种，写出这种表示方式。证：=10a1,a2,a3

5、,a4线性无关a1,a2,a3,a4,B线性相关 B可由a1,a2,a3,a4线性表示设B=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4，B=l1a1+l2a2+l3a3+l4a4，(k1-l1)a1+(k2-l2)a2+(k3-l3)a3+(k4-l4)a4=0a1,a2,a3,a4线性无关ki=li (i=1,2,3,4)，即表示方法唯一令B=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4B=(b1-2b2+b3)a1+(b2-2b3+b4)a2+(b3-2b4)a3+b4a4三、证明题1、设是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量均可由它们线性表示。证明：必要性：若线性无关，则对于任一n维向量a，向量组，a线性相关，于是a可由线性表示；充分性：若任一n维向量均可由线性表示，则单位向量组能由它们线性表示，又能由线性表示，于是与等价，它们的秩相等，所以线性无关.2、若a可由向量组a1,a2,as线性表示，即，问：此种表示是否唯一？并给出证明。证：设还有一种表示方式为，两式相减，则有0=，若线性无关，则所有，表示法唯一；若线性相关，则存在，表示法不唯一。专心-专注-专业