近世代数复习(共8页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系;集合A元间的一个等价关系决定A的一个分类。第二章群的定义a. 设G是一个非空集合,“”是其上一个二元运算,若满足1. “”满足结合律;2.G,中有单位元;3.G,每个元都与逆元则称G,是一个群,简称G是一个群。b. 若G是 一个有乘法的有限非空集合,且满足消去律。群的性质1. 单位元唯一; 2.逆元唯一;3.若G是群,则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群,则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注:可以推广到无限:5.单位元是群中唯一的等幂元素(满足x2
2、= x的元叫等幂元)证:令x是等幂元,x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。6. 群满足左右消去律。推论:若G是有限群,则其运算表中的每一行(列)都是G中元的一个排列,而且不同行(列)的排列不同。7.若群G的元a的阶是n(有限),则ak = e n|k。8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶,且阶数至多为|G|。交换群:若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。元素的阶:G的一个元素a,能够使am = e 的最小正整数m叫做a的阶,记为o(a)。若是这样的m不存在,则称a是无限阶的。有限群:若一个群
3、的元的个数是一个有限整数,则称这个群为有限群,否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。定理:一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律,那么,对于G的任意两个元a,b来说,方程ax = b 和 ya = b5变换群定理1:假定G是集合A的若干个变换所作成的集合,并且G包含恒等变换。若是对于上述乘法来说G做成一个群,那么G只包含A的一一变换。定理2:一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。定理3:任何一个群都同一个变换群同构。(凯莱定理)6置换群置换:一个有限集合的一个一一变换;置换群:一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群;n次对称群:一个包含n个元的集合的全
4、体置换做成的群。定理1 :n次对称群Sn的阶是n!k-阶循环置换可用符号(i1i2ik)表示。定理2:每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的(不相连的)循环置换的乘积。定理3:每一个有限群都与一个置换群同构。7循环群定义:若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;也说,G是由元a所生成的,并且用符号G=(a)表示,a叫做生成元。 定理:假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构完全可以由a的阶来决定:1.a的阶若是无限,那么G与整数加群同构;2.a的阶若是一个有限整数n,那么G与模n的剩余类加群同构。8子群定义:一个群G的一个子集H叫做G的一个子群,
5、假如H对于G的乘法来说做成一个群。定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集; a-1推论:eh = eg, ah-1= ag-1定理2:一个群G的不空子集H做成G的一个子群ab-1定理3:一个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是: 生成子群: p649子群的陪集定义:设G为一个群,H是G的一个子群。而那么 形如Ha = ha | h H的子集,叫做子群H的一个右陪集,a称为Ha的代表元。 形如aH= ah | h H的子集,叫做子群H的一个左陪集,a称为aH的代表元。指数:一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数,记为G:H.定理1:一个子群H的左右陪集
6、个数相同,或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。定理2(Lagrange定理):假定H是一个有限群G的一个子群,那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,且N = nj;注:子群H的陪集Ha(aH)所含元素个数与H的元素个数相同推论:G是有限群,那么m必是|G|的因子定理3:一个有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。陪集的性质 定理1:设H是G的一个子群,于是有-1推论:设H是G的一个子群, 于是有-1 -1定理1设H是G的一个子群,:i.- 1;ii.-1定理2:设H是G的一个子群,设,那么群的陪集分解定理3:设H是G的子群,在G中定义关系“”:-1,那么“”必是等价关系证:1) -1
7、2) 若-1-1-1)-13) 若-1-1-1由(1)、(2)、(3)知关系“”是一个等价关系由aba-1bH定义的关系决定的G中的分类,每个子类就是左陪集.G表示这些左陪集的并aH叫做G的一个左陪集分解。-1-1注:若Ha = Hb ,那么代表两个集合相等,但并不代表hia = hib(i = 1, 2, 3)10不变子群、商群不变子群:不变子群的中心:,则称N为G的中心商群:一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群,记为:G/N。 定理:一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是: 1.-1 2.-111同态和不变子群同态核:假定是一个群G到另一个群G的同态满射。G的单位元e在之下的所
8、有的逆象所作成G的子集叫做同态满射的核,记为。 即:定理1:一个群G同它的每一个商群|G/N|同态(自然同态)。定理2:设,并 且 定理3:假定G和G是两个群,并且G与G同态。那么在这个同态满射之下的:1.G的一个子群H的象H是G的一个子群 2.G的一个不变子群N的象是G的一个不变子群定理4:假定G和G是两个群,并且G与G同态。那么在这个同态满射之下的:1.G的一个其群H的逆象H是G的一个子群2.G的一个不变子群N的象是G的一个不变子群第三章1加群、环的定义加群:封闭、结合律环:1.R是一个加群,换一句话说,R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。2.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说
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- 近世 代数 复习
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