高级宏观经济学-第四版-中文-罗默课后题答案(共49页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第 2 章无限期模型与世代交叠模型2.1考 虑考 虑 N 个 厂 商 ， 每 个 厂 商 均 有 规 模 报 酬 不 变 的 生 产 函个 厂 商 ， 每 个 厂 商 均 有 规 模 报 酬 不 变 的 生 产 函 数数? 腊 语 ? ,YF KAL，或者采用紧凑形式，或者采用紧凑形式 ? 腊 ? ? 。假设。假设? ?。假设所有厂商都能以工资。假设所有厂商都能以工资 wA 雇用劳动，以成本雇用劳动，以成本 r 租赁资本，并租赁资本，并且所有厂商的且所有厂商的 A 值都相同。值都相同。（a）考虑厂商生产）考虑

2、厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k值唯一确定并独立于值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。值。（b）考虑某单个厂商考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入并且其劳动和资本的投入是上述是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。个厂商成本最小化的总产出。证明：（a） 题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本?，同时厂商受到生产函数 ? 腊 ? ? 的约束

3、。这是一个典型的最优化问题。min? ?s.t. ? 腊 ? ?构造拉格朗日函数：? ? 腊 ? ? ? ? ? ? ?求一阶导数：?腊 ? ? ? ? ? ?腊 ?腊 ? ? ? ? ? ? ? ? ?腊 ?得到：? 腊 ? ? ? ?腊 ? 腊 ? ? ? ? ? ? ?腊 ? ? ? ? ?腊? ? ? ?精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。（b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：?腊?腊?

4、腊? ?腊 ? ?腊?腊 ? ?为 N 个厂商总的雇佣人数， 单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有?的劳动人数，则它也会生产 ? 腊 ? ? 的产量。这恰好是 N 个厂商成本最小化的总产量。2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。 设想某个人只活两期设想某个人只活两期，其效用函数由方程其效用函数由方程（2.43）给定给定。令令?和和?分别表示消费品在这两期中的价格分别表示消费品在这两期中的价格，W 表示此人终生收入的价值表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：，因此其预算约束是：?

5、 ?腊 ?（a）已知）已知?和和?和和 W，则此人效用最大化的，则此人效用最大化的?和和?是多少是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为）两期消费之间的替代弹性为? ? ?，或，或? ?t ?t ?。证明，若效用函数为（证明，若效用函数为（2.43）式）式，是则，是则?与与?之间的替代弹性为之间的替代弹性为? ?。答： （a）这是一个效用最大化的优化问题。?th? 腊?（1）?.h. ? ?腊 ?（2）求解约束条件：?腊 ? ? ?（3）将方程（3）代入（1）中，可得：? 腊? ?（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对?求一阶条件可得：? ?腊 ? ? ?腊

6、 ?解得：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业?腊 ? ? ? ?（5）将方程（5）代入（3） ，则有：?腊 ? ? ? ? ? ?解得：?腊? ? ? ?（6）将方程（6）代入（5）中，则有：?腊? ? ? ? ? ?（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：?腊 ? ? ? ?（8）对方程（8）两边取对数可得：? ?腊 ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）则消费的跨期替代弹性为：? ? ?腊? ? ?腊?因此，?越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。2.3（a）假设事先知道在某一时刻假设事先知道在某一时刻?，政府会没收每个家庭当时所拥有财政府会没收每个家庭当时所拥

7、有财富的一半。那么，消费是否会在时刻富的一半。那么，消费是否会在时刻?发生突然变化？为什么？（如果会的话发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻请说明时刻?前后消费之间的关系前后消费之间的关系。 ）（b）假设事先知道，在某一时刻）假设事先知道，在某一时刻?，政府会没收每个家庭当时所拥有的部，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻时刻?发生突然变化？为什么？发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻如果会，请说明时刻?前后消费之间的关系。前后消费之间的关系。

8、)答： （a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期h 内，从 h? ?到 h? ? 。考虑家庭在 h? ? 时期减少每单位有效劳动的消费为?。然后他在 h? 投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。这一变化有一效用成本?前?，在 h? ? 会有一收益? h ?h?，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业财富的回报率为 ? h ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为? ? ?后? h ?h?。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：?前? 腊?后? h ?h?在? ? ? 时，有下式：?前腊?后因此，当政府对

9、财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。2.4设方程（设方程（2.1）中的瞬时效用函数）中的瞬时效用函数 ? ? 为为 ?t? ? 。考虑家庭在（。考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（的约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的）的问题。请把每一时刻的 C 表示为初始财富加上劳表示为初始财富加上劳动收入现值、动收入现值、? ? 以及效

10、用函数各参数的函数。以及效用函数各参数的函数。答：? 腊h腊?h? ? h?th?h2.1h腊?t h? h?th?h ? ?h腊?t h? h?th?h2.6本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。?th? 腊h腊?h? h? h?h（1）?.h.h腊?t h? h?th?h 腊? ?h腊?t h? h ? h?th?h（2）令 ? 腊? ?h腊?t h? h ? h?th?h建立拉格朗日方程：? 腊h腊?h? h? h?h ? ? ?h腊?t h? h?th?h求一阶条件：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业? h腊 ?h? h?th? ?t h? h?腊 ?抵消? h?项得：?

11、h? h?腊 ?t h（3）可以推出：? h 腊 ?h?t h（4）将其代入预算约束方程，得：h腊?t h?h?t h?th?h 腊 ?（5）将 ? h 腊 ?h? ? 代入上式，得：?t?h腊? ? h?h 腊 ?（6）只要? ? ? ? ?，则积分项收敛，为? ，则：?腊?t? ? ? ?（7）将方程（7）代入（4） ：? h 腊 ?tth?h?t? ? ? ?（8）因此，初始消费为：? ? 腊?t? ? ? ?（9）个人的初始财富为?t? ?， 方程 （9） 说明消费是初始财富的一个不变的比例。? ? ? 为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利

12、率的。对于折现率?而言，?越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。2.5设想某家庭的效用函数由设想某家庭的效用函数由（2.1）（2.2）式式给定给定。假设实际利率不变假设实际利率不变，令令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值现值(2.6)的右端的右端。已知已知 r、W 和和效用函数中的各参数效用函数中的各参数，求，求 C 的效用最大化路径的效用最大化路径。? 腊h腊?h? ? h?th?h2.1? ? h腊? h?2.2答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业?th? 腊h腊?h? ? h?th?

13、h（1）?.h.h腊?h? h?th?h 腊 ?（2）W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。建立拉格朗日方程如下：? 腊h腊?h? h? ? ?th?h ? ? ?h腊?h? h?th?h求一阶条件，可得：? h腊 ?h? h?th? ?h? h?腊 ?抵消 ?th?件?，得：?h? h?腊 ?h（3）两边对时间 t 求导，可得：?h? ? h? h? ?h? h? ?h腊 ?得到下面的方程：? ? h? h?h? h? ?h? h? ?h腊 ?（4）将方程（3）代入（4） ，可得：? ? h? h?h? ? ?h ?h腊 ?抵消?h然后求消费的增长率? h? h

14、，可得：? h? h腊?（5）由于利率 r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果 ? ? ?，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果 ? ? ?，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果 ? ? ?，则?决定了消费增长的幅度。?值越低，也就是替代弹性越高，? ?越高，即消费增长的越快。重写方程（5） ，得：? h?h腊?（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间=0 到时间=t，可得：? h ? ? ? 腊?腊?腊h精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业上式可以简化为：? h? ? 腊t? ?件?h（7）对方程（7）两边取指数，可得：? h? ? 腊?t?件? h，整理得：? h 腊

15、 ? ? ?t?件? h（8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（2） ，可得：h腊?h? ? ?t?件? h?th?h 腊 ?将 ? h 腊 ?h? ? 代入上式，可得：? ? ?t?h腊? ? ? h件?h 腊 ?（9）只要 ? ? ? ? ? ? ? 件? ? ?，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：h腊? ? ? h件?h 腊? ?（10）将方程（10）代入（9）中，求解 ? ? ：? ? 腊? ? ? ? ?（11）将方程（11）代入（8） ，求解 ? h ：? h 腊 ?t?件? h? ? ? ? ?（12）上式便是 C 的效用最大化路径。2.6生产力增长减速与储蓄。设想一个正

16、处于平衡增长路径上的拉姆塞生产力增长减速与储蓄。设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞卡斯卡斯库普曼期模型，假设库普曼期模型，假设 g 永久性下降。永久性下降。（a）?腊 ? 曲线会如何变化（如果有影响）？曲线会如何变化（如果有影响）？（b）? 腊 ? 曲线会如何变化（如果有影响）？曲线会如何变化（如果有影响）？（c）当）当 g 下降时，下降时，c 如何变化？如何变化？（d）用一个式子表示用一个式子表示 g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能否能否判断此表达式的正负？判断此表达式的正负？（e）设生产函数是柯布设生产函数是柯布道格拉斯函数道格拉斯函数

17、? ? 腊 ?，请用请用?、n、g、和和重新表示（重新表示（d）中的结果）中的结果。 （提示：利用等式（提示：利用等式?腊 ? ?。 ）答： （a）关于资本的欧拉方程为：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业?h 腊 ? ? h? ? h ? ? ? ? h（1）该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。图 2-1拉姆塞模型在平衡增长路径上，?腊 ?，由此可以推出：? 腊 ? ? ? ? ? ?。在该方程中，当 g 永久性地下降时，会导致消费 c 上升以保持方程的均衡。因而在图

18、形上?腊 ? 曲线向上移动。同时，保持 k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资 ? ? 下降的幅度更大，因而在更高的 k 水平上，?腊 ? 向上移动得更大。图 2-1 是该模型的图示。（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：? h? h腊? h?（2）该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。在平衡增长路径上，要求? 腊 ?，即? 腊 ? ?，在 g 永久性地下降时，为保持? 腊 ?，? 必须下降。由于? ? ?，因而? 下降必然导致

19、 k 上升。因此，? 腊 ? 必须上升，在图形上表现为? 腊 ? 向右移动，如图 2-1 所示。（c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径?处。与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着 g 永久性地下降而迅速变化。为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径， 每单位有效劳动的消费 c 必将发生变化。不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费 c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的

20、均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 c甚至可能保持不变。因此，c 和 k 逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：? ? ? ?因为 k 保持不变，即?腊 ?，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：? ? ?腊 ? ? ?由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：? 腊? ? ?（3）对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：?腊? ? ? ? ? ? ? ? ?可以再简化为：?腊? ? ? ? ? ?（4）由于?由? 腊 ? ? 决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：? 腊 ?，从而求出?为：

21、? 腊 ? ? ?（5）将方程（5）代入（4）中，可得：?腊? ? ? ? ?（6）在方程（6）中，分母 ? ?为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在平衡增长路径上 g 永久性地下降会使 s 上升还是下降。（e） 将柯布道格拉斯生产函数 ? ? 腊 ?， ? 腊 ?和? 腊 ? ? ?精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业? ?代入方程（6）中，可得：?腊? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?简化为：?腊? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从上式可以推出：?腊? ? ? ? ? ? ? ?最终有下面的结果：?腊? ? ?

22、 ? ?腊 ? ? ? ?2.7说明下列变化如何影响图说明下列变化如何影响图 2.5 中的中的? 腊 ? 线线和和?腊 ? 线，线，并在此基础上并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的说明其如何影响平衡增长路径上的 c 值和值和 k 值值。（a）?上升上升（b）生产函数向下移动。）生产函数向下移动。（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。图 2-2鞍点路径答： （a）关于 c 与 k 的欧拉方程为：? h? h腊? h?（1）?h 腊 ? ? h? ? h ? ? ? ? h（2）?的上升即消费的跨期替代弹性 ?件?下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨精

23、选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。由于?没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受?的上升的影响。在消费的动态方程中，在平衡增长路径上? 腊 ?，从而? 腊 ? ? ?，由于?的上升，因而? 必须上升，又因为? ? ?，所以为使? 腊 ?，k 必须下降。此时? 腊 ? 向左移动， 消费移动到新的鞍点路径 A 点上， 此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点?，此时?和?低于原先的值。如图 2-3 所示。图 2-3?上升的影响（b）由于生产函数的向下移动，因而 ? ? 和? 都变小了，

24、如图 2-4 所示。图 2-4生产函数向下移动根据资本的欧拉方程：?h 腊 ? ? h? ? h ? ? ? ? h ，在平衡增长路径上?腊 ?，因而有 ? 腊 ? ? ?。由于 ? ? 变小，因此?腊 ? 这条曲线会向下移动，如图 2-5 所示。根据消费的欧拉方程：? h? h腊? h?，在平衡增长路径上? 腊 ?，从而? 腊 ? ?，由于? 变小，为保持? 腊 ?，必须使 k 下降，从而使? 保持精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业不变。因此? 腊 ? 向左移动，如图 2-5 所示。经济最终将收敛到新的均衡点?点，此刻?和?低于原先的值。图 2-5生产函数向下移动的影响（c）由于折旧

25、率由 0 变为正数，因而资本的欧拉方程变为：?h 腊 ? ? h? ? h ? ? ? ? ? h（3）由于折旧率由 0 变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图 2-6 所示。图 2-6持平投资线向左移动这便要求增加储蓄或者投资， 从而降低消费。 由于持平投资变大， 因此?腊 ?会向下移动，如图 2-7 所示。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业图 2-7折旧率由 0 变为正数的影响资本的回报也下降为：?，从而消费的欧拉方程变为：? h? h腊? h?（4）在平衡增长路径上，? 腊 ? 要求? 腊 ? ? ?。与折旧率?由 0 变为正数之前相比较， ? 必须变大， 从而

26、k 必须变小。 由于 k 必须变小， 这便要求? 腊 ?曲线向左移动，如图 2-7 所示。经济最终将收敛到新的均衡点?点，此刻?和?低于原先的值。2.8请在折旧率为正的情形下推导类似于（请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式。）的表达式。答：教材中方程（2.39）中折旧率为 0 的情形为：?腊? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当考虑到折旧率? ? ? 的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：? h? h腊? h?（1）?h 腊 ? ? h? ? h ? ? ? ? ? h（2）对方程（1）和（2）分别在 ? 腊 ?和 ? 腊 ?处进行一阶泰勒展开，可得：? 腊? ?

27、? ? ?（3）?腊? ? ? ? ?（4）定义? ? 腊 ? ? ?和?腊 ? ? ?，因为?和?为常数，所以? 腊 ? ?且?腊 ?，将（3）和（4）重写为：? ?腊? ?（5）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业?腊? ?（6）对方程（1）和（2）计算偏导数：?h腊?（7）?h腊?（8）?h腊 ? ? ? ?（9）?h腊? ?（10）将方程（7）和（8）代入（5） ，将方程（9）和（10）代入（6） ，可得：? ?腊?（11）?腊 ? ? ? ? ? ? ?腊? ? ? ? ? ? ? ? ? ?腊 ? ? ?（12）方程 （12） 的第二步用到了?腊 ? ? ? ， 第三步用到了

28、定义? 腊 ? ? ? ? ? ? ?。对方程（11）除以? ?以求? ?的增长率，对方程（12）除以?以求?的增长率：? ? ?腊? ?（13）?腊 ? ?（14）可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样， 也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。因此， 经济在向平衡增长路径移动时的? ?和?的不变增长率与教材中的结果应该一致。令? 腊? ? ?方程（13）可以推出：? ?腊?（15）由方程（15） ，令（13）和（14）相等，可得：? 腊 ? ?，求解可得：? 腊? ? ?如果?为正，则经济会偏离稳定点，所以?必为负：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业?腊? ? ? ? ?现在

29、考虑柯布道格拉斯生产函数 ? ? 腊 ?，分别求其一阶导和二阶导：?腊 ?腊 ? ?（16）?腊 ?腊 ? ? ? ? ?（17）将方程（16）两边同时平方： ? ?腊 ?，将其代入（17）式：?腊? ? ? ?腊? ? ? ? ?定义平衡增长路径上的储蓄率为?，则平衡增长路径上的消费为：?腊 ? ? ? ?（18）将方程（17）和（18）代入（15） ：?腊? ? ? ? ? ? ?化简为：?腊? ?（19）在平衡增长路径上，? 腊 ? 意味着?腊 ? ?，即：? ? 腊 ? ? ?（20）另外，实际投资等于持平投资：? ?腊 ? ? ? ?，可以推出：?腊? ? ?腊? ?（21）上步用到

30、了? ? 腊 ?，由（21）可以推出：? ? ?腊? ?（22）将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：?腊? ? ? ?上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将? 腊? ?，? 腊 ?，? 腊 ?，? 腊 ?，? 腊 ?，? 腊 ?代入上式，得到?腊?.?）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业要快于不存在折旧时的调整速度。2.9拉姆塞模型的解析解拉姆塞模型的解析解来自于史密斯来自于史密斯(Smith,2006)。考虑生产函数柯布考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型，道格拉斯函数的拉姆塞模型，? ? 腊 ?t?的情形的情形，假设相对风险规避系数，

31、假设相对风险规避系数?与与资本份额资本份额?相等。相等。（a）平衡增长路径上的平衡增长路径上的 k 值值（即（即? ）为多少）为多少？（b）平衡增长路径上的平衡增长路径上的 c 值值（即（即? ）为多少）为多少？（c）令令 ?t?表示资本产出比表示资本产出比?t? ?t?，?t?表示消费资本比表示消费资本比?t? ?t?。请请用用 z、x 和模型参数表示和模型参数表示? ? 和和? ?t?。（d）暂且猜测暂且猜测 x 在在鞍点鞍点路径上是常数，根据这一猜想路径上是常数，根据这一猜想：（i）给定初始值给定初始值 ?t?，求求 z 的路径的路径。（ii）给定初始值给定初始值 ?t?,求求 y 的路

32、径的路径。经济沿鞍点路径向平衡增长路径收。经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度是否是常数？敛的速度是否是常数？（e）上述猜测的解是否满足上述猜测的解是否满足 c 与与 k 的运动方程的运动方程(2.24)与与(2.25)？答： （a）已知? h 腊 ?th?（1）从正文可知，在? 腊 ? 时，存在? 腊 ? ?。利用方程（1）计算得到?腊?（2）（b）与(a)题类似，根据正文可知，在?腊 ? 时，存在?腊 ? ? ? ? ? ?。利用方程（1）计算得到：?腊? ? ?（3）（c）设 ? h 腊 ?th? ?th?和 x h 腊 ?th? ?th?。将方程（1）代入 ? h 的定义得到：? 腊

33、 ?腊 ?（4）将方程（4）代入 x h 的定义，得到：?腊 h?（5）使用方程（4） ，考虑 ? h 腊 ?th? ?th?的时间导数，得到：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业? 腊 ? ? ? ?（6）从正文的方程（2.25）知道，?腊 ? ? ? ? ? ?，方程（6）可表示成：? 腊 ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：? 腊 ? ? ? ? ? h? ? ? ?（8）现在，对数化 x h 腊 ?th? ?th?，考虑其时间导数，得到:h?h腊?（9）根据正文的方程（2.24）和方程（2.25） ，上式可表示成：h?h腊?

34、 ? ?（10）将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用? 腊 ?得到：h?h腊 h ? ? ? ?（11）（d） （i）根据 x 为常量的假设，方程（8）可表示成? 腊 ? ? ? ? ? ? ? h?（12）为确定 z 的变化路径，考虑方程（12）方程（12）为线性非齐次常微分方程。该方程的解包括通解?和?h。简单地设? 腊 ? ? ? ? h?。为求通解，考虑相应的齐次方程? ? 腊 ?，?是积分常数，求解?的微分方程得到通解:?腊 ?h（13）为求特解，考虑非齐次方程? ? 腊 ? ? ?，?是积分常数，利用积分因子得到特解：?h腊 ? ?h（14）因此，方程（12）的?解表示成? 腊

35、 ? ?h腊 ? ? ?h（15）利用初始条件，? ? 替换? ?，得到：? 腊 ? ? ? ? ? ?h（16）为简化 ?，使用方程（2）和（3）消去h?，利用方程（4）得到：? 腊 ? ?h? ? ? ?（17）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(ii) 可将方程（4）代入方程（1） ，求解 y 的路径。由于已经得到 ? 的路径，将 ? 的路径代入方程（17） ，得到：? 腊 ? ?h? ? ? ?（18）使用 k 表示 z 的方程（4） ，上式可表示成：? 腊 ? ?h? ? ?（19）现在，分析经济趋向平衡增长路径的收敛速度是否不变。方程（19）两端同减方程（2）确定的平衡增长

36、路径?腊 ?腊?，再取对数求导：? ? ? ?腊 ? ?（20）考虑上式的时间导数，得到：? ?h腊?（21）上式显然不是常数，收敛速度也不是常数。（e） 需要知道正文的方程 （2.24） 和方程 （2.25） ,或? ? 腊 ? ?和?腊 ? ? ? t? ?是否成立。 使用方程 （2.24） 和方程 （2.25） 求解? 件?，? 件?成立的充要条件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。已经方程（2.25）成立，以前使用该方程求解?。因此h?h腊 ? 的充分必要条件是? ? 腊 ?。假设h?h腊 ?，根据方程（11）可得：h腊 ? ? ? ?（22）根据（a）题和（b）题，在平衡增长路

37、径上，h等于 ? ? t? ?，方程（22）可表示成：h腊 ? ? ? ?（23）上式等同于方程（11） ，方程（2.24）和方程（2.25）得以成立。2.10 拉姆塞拉姆塞-卡斯卡斯-库普曼斯模型中的资本税库普曼斯模型中的资本税。考虑处于平衡增长路径上的拉考虑处于平衡增长路径上的拉姆塞姆塞-卡斯卡斯-库普曼斯经济。假设在某一时刻（我们称作库普曼斯经济。假设在某一时刻（我们称作 0 时时） ，政府采取了一项，政府采取了一项对投资所得按税率征税的政策，因此家庭面临的实际利率变为对投资所得按税率征税的政策，因此家庭面临的实际利率变为 ? ? 腊 ? ? ? ?。假设政府将税收收入以一次性转移支付的

38、形式返还给家庭。最后，。假设政府将税收收入以一次性转移支付的形式返还给家庭。最后，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业假设税收政策是意料之外的。假设税收政策是意料之外的。（a）该税收政策如何影响该税收政策如何影响? 腊 ? 和和?腊 ? 线线?（b）经济在经济在 0 时会对该税收政策作出何种反应？时会对该税收政策作出何种反应？0 时之后的动态学又是如时之后的动态学又是如何？何？（c）c 和和 k 在新旧两种平衡增长路径上的值有何不同？在新旧两种平衡增长路径上的值有何不同？（ d ） 本 小 题 基 于 巴 罗 、 曼 昆 和 萨 拉 伊 马 丁本 小 题 基 于 巴 罗 、 曼 昆 和

39、萨 拉 伊 马 丁 Barro, Mankiv, andSala-i-Martin,1995假设存在许多与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同，假设存在许多与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同，但各国间的投资收入税率可以不同。假设各国都处于其平衡增长路径。但各国间的投资收入税率可以不同。假设各国都处于其平衡增长路径。(i)证明平衡增长路径上的储蓄率证明平衡增长路径上的储蓄率 ?关于关于是递减的。是递减的。(ii)低低、 高高? 、 高储蓄率国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？高储蓄率国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？为什么？为什么？（e）(c)小题中的答案是否说明补贴投资小题中的答

40、案是否说明补贴投资（即让即让0)单位产品。单位产品。最后。假设在最初的第最后。假设在最初的第 0 期，除期，除?个个拥有拥有 A 单位产品的年轻人之外单位产品的年轻人之外，还有，还有?t ?个只生活在个只生活在第第 0 期期的老年人的老年人，每个老年人拥有每个老年人拥有 Z 单位的产品单位的产品, 其效其效用就是在起始期的消费用就是在起始期的消费?。（a）说明该经济的分散化均衡）说明该经济的分散化均衡。 （提示：给定上述世代交叠的结构，某一（提示：给定上述世代交叠的结构，某一代的成员是否会与另一代的成员进行交易？）代的成员是否会与另一代的成员进行交易？）（b）假设经济人的禀赋中用于储蓄的份额）

41、假设经济人的禀赋中用于储蓄的份额?是不随时间变化的常数，在这是不随时间变化的常数，在这样的路径上请把人均总消费（总消费指所有年轻人与所有老年人的消费总和）样的路径上请把人均总消费（总消费指所有年轻人与所有老年人的消费总和）表示为表示为 ? 的函数形式的函数形式。 如果如果 ? ? ? ?,满足满足 0?1 且最大化人均消费的且最大化人均消费的 ? 值是值是多少多少？分散均衡在这种情况下是否是帕累托有效的？如果不是，社会计划者怎？分散均衡在这种情况下是否是帕累托有效的？如果不是，社会计划者怎样才能提高福利？样才能提高福利？答： （a）首先，该模型不存在任何一代的成员将会同另一代的成员交易的可能性

42、。原因是即使年轻人愿意交换，但他们的交易对象只能是老人，而老人则因为下一期已去世而不可能同年轻人进行交换。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业个人的效用函数为：?h腊 ? ?h ? ?h?（1）预算约束为：?h ?h腊 ?（2）?h?腊 h?（3）其中?h是个人在第一期的储蓄。将方程（3）代入（2） ，求个人的跨期预算约束：?h ?h?h 腊 ?（4）用拉格朗日方法联立方程（1）和（4）以求解个人终生效用的最大化，如下：? 腊 ? ?h ? ?h? ? ? ? ?h ?h?h求一阶条件：?h腊 ? ?h? ? 腊 ? ? ? ?h腊 ?（5）?h?腊 ? ?h? ? h 腊 ? ? ?

43、?h?腊 ? h（6）将方程（5）代入（6） ，可得：?h?腊 h?h（7）将方程（7）代入跨期预算约束式（4）中，可得：?h h?h腊 ?，上式可简化为：?h腊 ? ?（8）求第二期的消费，将方程（8）代入（7）中，可得：?h?腊 h? ?（9）当年轻人将他的财富一半储蓄时，下一期他可以消费h? ?。由于是对数效用函数，因此，个人将其禀赋储蓄的比例并不依赖于储蓄的回报率。（b）在 t 时刻的总消费为：?h腊 ?h?h 腊 ?h?h?其中，?h是年轻人的数量，?h?是老年人的数量。每个年轻人消费他的禀赋的一部分 ? ? ? ?，每个老年人消费他的禀赋的总回报 ?h?。由式?h腊 ? ? ? ?

44、h ?h?h?，对其两边除以 ?h以转化为每单位有效劳动的形式，即：?h?h腊 ? ? ? ? h件 ? ?精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因此，每单位有效劳动的消费为一加权和。因为 h ? ? ?，所以，当权数为 1 时，每单位有效劳动的消费为一加权和达到最大化。因此，分散化均衡（即权数为1/2）不是帕累托有效的。因为跨代交易是不可能的，因此个人储蓄为年老时提供消费，即使储蓄的回报率非常低，他们也必须这样做。但是在一个集权经济中，社会计划者则可以从年轻人手中取走一单位物品而给每个老年人 ? ? 的物品。由于 h ? ? ?，所以得到了一个更高的回报率。 因此，社会计划者可以从年轻人

45、手中取走他们一半的财富交给老年人去消费，从而提高社会的总体福利。社会计划者可以每期都这么做，即允许个人在年轻时消费? ?，而在年老时消费 ? ? ? ?，高于在分散经济的情况下每个人在年老时消费的h? ?。2.19 萨缪尔森世代交叠模型中的稳态货币均衡萨缪尔森世代交叠模型中的稳态货币均衡 （本题来源于萨缪尔森本题来源于萨缪尔森， 1958） 。考虑习题考虑习题 2.18 中的设定中的设定，假设假设 ? ? ? ?，并且老年人在第并且老年人在第 0 时期除了拥有时期除了拥有 ? 单单位产品之外还拥有位产品之外还拥有 ? 单位的可储存、可分割的商品，我们称之为货币。货币不单位的可储存、可分割的商品

46、，我们称之为货币。货币不能产生效用。能产生效用。（a）考虑出生于第）考虑出生于第 ? 期的某个人。假设在期的某个人。假设在 t 期货币计量的产品价格是期货币计量的产品价格是?，而而 ? ? 期为期为?。因此因此，这个人可以按价格这个人可以按价格?出售其禀赋出售其禀赋，并在下一期用所得并在下一期用所得的货币购买的货币购买?单位下一期的禀赋单位下一期的禀赋。请把此人的行为表示为请把此人的行为表示为?的函数的函数。（b）证明存在均衡对任意）证明存在均衡对任意 ? 满足满足?腊 ?t ，并且没有储存，因此，并且没有储存，因此“货币货币”的出现使得经济可以达到储蓄的黄金律水平。的出现使得经济可以达到储蓄

47、的黄金律水平。（c）证明存在均衡对任意）证明存在均衡对任意 ? 满足满足?腊 ?。（d）最后最后，解释为什么对于任意解释为什么对于任意 ? 满足满足?腊（即货币无价值即货币无价值）也是一种也是一种均衡。解释为什么当经济会在某一时期终结时均衡。解释为什么当经济会在某一时期终结时如习题如习题 2.20（b），这将是唯一，这将是唯一的均衡的均衡。 （提示：从最后一期反推（提示：从最后一期反推。 ）答： （a）个人的效用函数为：?h ?h?（1）预算约束为：?h?h腊 ?h? ? ?h?h? ?h?（2）?h?h?腊 ?h?h?h ?h?（3）?h?是名义的货币需求，?h是存储的数量。精选优质文档-倾

48、情为你奉上专心-专注-专业个人要作出两项决策，一是将他的禀赋的多少用于储蓄，多少用于消费；二是通过何种方式储蓄：存储还是持有货币或者两者结合。由于对数效用函数，可以分离两项决策，因为储蓄的回报率不影响存储的比例。在上题中，有一半的禀赋用于储蓄，即：?h腊 ? ?（4）处理存储的禀赋的方式依赖于储蓄的回报率x和货币的总回报率?h?h?。一个人可以在 t 期卖掉一单位的物品得到?h的货币，在 t+1 期再花费?h?的代价来购买物品。情况 1：h ? ?h?h?他将消费一半的禀赋，存储剩余的一半而不持有任何货币，因为货币的回报率低于储蓄的回报率。因此有：?h腊 ? ? ?h腊 ? ? ?h?h腊 ?

49、 ?h?腊 h? ?情况 2：h ? ?h?h?他将用货币持有一半的禀赋，即他将消费一半的财富而卖掉另一半的禀赋。因此有：?h腊 ? ? ?h腊 ? ?h?h腊 ? ? ?h?腊 ?h?h? ?情况 3：h 腊 ?h?h?由于货币和存储带来同样的回报，因此他将消费一半的禀赋，对于另一半，则在货币和存储两者之间无差异。 令 ? 为以货币形式持有的比例。 因此有：?h腊 ? ? ?h腊 ? ? ? ? ? ?h?h腊 ? ? ?h?腊 ?h?h? ?（b）均衡要求总的实际货币需求等于总的实际货币供给。总实际货币需求=?h? ?总实际货币供给= ? ?h腊 ?h?h? ?h在上式中，在 0 时刻，每

50、个老人拥有 ? 单位货币，共有 ? 个老人。最后一步用了?h腊 ? ?h?，从而有?腊 ?h?h。联立总实际货币需求和总实际货币供给两个公式，可得：?h? ? 腊 ?h?h? ?h? ?h腊 ? ?h（5）因此有：总实际货币需求=?h? ? 腊 ? ? ?h? ?总实际货币供给= ?h?h? ?h?下面使用均衡条件求?h?，即：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业? ? ? ? 腊 ?h? ?h? ?h?h?腊 ? ?h?（6）用方程（6）除以（5） ，有：?h?h腊 ? ?h?腊 ?h? ?上面的分析对任何的 t ? 成立，因此?h?腊 ?h? 是一个均衡。这表明如果货币被引入到一个动