2022年动点问题--圆初三数学.pdf

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1、2. 如图 7，梯形中， ，, ， ，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；( 全等 )（2）试用表示，并写出的取值范围；（相似）（3）当的外接圆与相切时，求的值（垂径定理 +中线 +等面积 +相似）【答案】解： （1）如图 1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（ 2）如图 2，交于点，与关于对称，则有： ，又又与关于对称，（3）如图 3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去） 3. 已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P

2、（1，1）为圆心的P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，连接PF，过点PEPF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t 0）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF； （全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b； （全等 +分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F，经过M、E和F三点的抛物

3、线的对称轴交x轴于点Q，连接QE在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值； 若不存在， 请说明理由（讨论对称轴 +全等 +相似）【分析】： （1）连接PM，PN，运用PMFPNE证明，（2）分两种情况当t1 时，点E在y轴的负半轴上，0t1 时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1t2 时，当t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t【解答】：证明： （1）如图，连接PM，PN，P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，PMMF，PNON且PM=PN，PMF=PNE

4、=90且NPM=90，PEPF，NPE=MPF=90MPE，在PMF和PNE中， ，PMFPNE（ASA） ，PE=PF，（2）解：当t1 时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（ 1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t 1，ba=1+t（t1）=2，b=2+a，0t1 时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t，b+a=1+t+1t=2，b=2a，（3）如图 3， （）当1t2 时，F（1+t，0） ，F和F关于点M对称，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

5、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - F（ 1t，0）经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q（1t， 0）OQ=1t，由（ 1）得PMFPNE 来源 : 学 , 科, 网NE=MF=t，OE=t1当OEQMPF=，解得，t=，当OEQMFP时， =，=，解得，t=，（）如图4，当t2 时，F（1+t，0） ，F和F关于点M对称，F（ 1t，0）经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q（1t， 0）OQ=t1，由（ 1）得PMFPNENE=MF=t，OE=t1当

6、OEQMPF=，无解，当OEQMFP时， =， =，解得，t=2，所以当t=，t=，t=2时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系3. 木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆； （圆心距 +勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似 +设半径）方案

7、四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0 x1） ，圆的半径为y （分类讨论）求y关于x的函数解析式；当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超

8、过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1（2）方案二、 方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用AOMOFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值（3）类似（ 1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度则选择最小跨度，取其，即为半径由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为2

9、+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论已有关系表达式， 则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径另与前三方案比较，即得最终结论【解答】：解： （1）方案一中的最大半径为1分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为 1（2）如图 1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1EAB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 与AB，BF

10、的切点方案二：设半径为r，在RtO1O2E中，O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=ABAO1CO2=3 2r，（ 2r）2=22+（32r）2，解得r=方案三：设半径为r，在AOM和OFN中，AOMOFN，解得r=比较知，方案三半径较大（3）方案四：EC=x，新拼图形水平方向跨度为3x，竖直方向跨度为2+x类似（ 1） ，所截出圆的直径最大为3x或 2+x较小的1当 3x2+x时，即当x时，r=（ 3x） ；2当 3x=2+x时，即当x=时，r=（3） =；3当 3x2+x时，即当x时，r=（ 2+x） 当x时，r=（ 3x）（ 3） =；当x=时，r=（3） =；当x时，r=（2+x）

11、（ 2+）=，方案四，当x=时，r最大为1，方案四时可取的圆桌面积最大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习4. 如图，已知l1l2，O与l1，l2都相切，O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合

12、，AB=4cm，AD=4cm，若O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图，连接OA、AC，则OAC的度数为105 ；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O到达O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）； （相似）（3） 在移动过程中， 圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm） ，当d2 时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图） （相似 +切线）（数形结合 +分类讨论）【考点】：圆的综合

13、题【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出OAD=45，DAC=60，进而得出答案；（2）首先得出，C1A1D1=60，再利用A1E=AA1OO12=t2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可【解答】：解： （1）l1l2，O与l1，l2都相切，OAD=45，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，AD=4cm，tanDAC=，DAC=60， 来源 : 学科网 ZXXKOAC的度数为：OAD+DAC=105，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

14、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 故答案为： 105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，C1A1D1=60，在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60，A1E=，A1E=AA1OO12=t2，t2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时O移动到O2的位置，矩

15、形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2G2，由（ 2）得，C2A2D2=60，GA2F=120，O2A2F=60，在RtA2O2F中，O2F=2，A2F=，OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+ 3t1=2，t1=2，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二， 第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2（ 2） =t2（ +2） ，解得：t2=2+2，综上所述，当d2 时，

16、t的取值范围是：2t2+2【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 数形结合t的值是解题关键5. 如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b（b为常数，b0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为 4的O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方（1）若直线AB与有两个交点F、G求CFE的度数；用含b的代数式表示FG2，并直接写出b

17、的取值范围； （垂径定理 +直线方程）（2）设b5，在线段AB上是否存在点P，使CPE=45？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由 （相切 +圆周角）【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45，（2）作OMAB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使CPE=45，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解： （1）连接CD，EA，DE是直径，DCE=90，CODE，且DO=EO，ODC=OEC=45，CF

18、E=ODC=45，（2）如图，作OMAB点M，连接OF，OMAB，直线的函数式为：y=x+b，OM所在的直线函数式为：y=x，交点M（b，b）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - OM2=（b）2+（b）2，OF=4，FM2=OF2OM2=42（b）2（b）2，FM=FG，FG2=4FM2=442（b）2（b）2=64 b2=64（ 1b2） ，直线AB与有两个交点F、G4b5，（3）如图，当b=5 时，直线与圆相切，DE是直径， 来

19、源 : 学科网 DCE=90，CODE，且DO=EO，ODC=OEC=45，CFE=ODC=45，存在点P，使CPE=45，连接OP，P是切点，OPAB，OP所在的直线为：y=x，又AB所在的直线为：y=x+5，P（， ） 【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系6. 如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EGEF，EG与圆O相交于点G，连接CG（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在

20、点E移动的过程中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点G移动路线的长【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【分析】：（1）只要证到三个内角等于90即可（2）易证点D在O上，根据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFEDAB，根据相似三角形的性质可得到

21、S矩形 ABCD=2SCFE= 然后只需求出CF的范围就可求出S矩形 ABCD的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可【解答】：解： （1）证明：如图1，CE为O的直径， 来源 : 学。科。网Z。X。 X 。KCFE=CGE=90EGEF，FEG=90CFE=CGE=FEG=90四边形EFCG是矩形（2）存在连接OD，如图 2，四边形ABCD是矩形，A=ADC=90点O是CE的中点，OD=OC点D在O上FCE=FDE，A=CFE=90，CFEDAB=（）2AD=4，AB=3，BD=5，精品资料 -

22、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - SCFE=（）2?SDAB=34=S矩形ABCD=2SCFE=四边形EFCG是矩形，FCEGFCE=CEGGDC=CEG，FCE=FDE，GDC=FDEFDE+CDB=90，GDC+CDB=90GDB=90当点E在点A（E）处时，点F在点B（F）处，点G在点D（G处，如图 2所示 此时，CF=CB=4当点F在点D（F）处时，直径FGBD，如图 2所示，此时O与射线BD相切，CF=CD=3当CFBD时，CF最

23、小，此时点F到达F，如图 2所示SBCD=BC?CD=BD?CF43=5CFCF=CF4S矩形ABCD=，（）2S矩形 ABCD42S矩形 ABCD12矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为GDC=FDE=定值，点G的起点为D，终点为G，点G的移动路线是线段DG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - GDC=FDE，DCG=A=90，DCGDAB=DG=点G移动路线的长为【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强而发现CDG=ADB及FCE=ADB是解决本题的关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -