分类计数原理与分步计数原理(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法 ，在第二类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的办法。分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法。特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有类办法，这类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都

2、能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。二、例题例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？dcab解：（1）不同涂色方法数是：（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d记这四块,a与c可同色,也可不同色,先考虑给a,c两块涂色,分两类(1) 给a,c涂同种颜色共种涂法,再给b涂色有4种涂法,最后给d涂色

3、也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有种涂法(2) 给a,c涂不同颜色共有种涂法,再给b涂色有3种方法,最后给d涂色也有3种，此时共有种涂法故由分类计数原理知，共有+=260种涂法。例2、甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项工程，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有_种承包方式？解：由分步计数原理有：种。思维点拔【思维点拔】 解决这类题首先要明确：“完成一件事”指什么？如何完成这件事（即分步还是分类）？进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理。 分步计数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可。 分类计数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏。“类

4、”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。 例3 电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?解: (1) 幸运之星在甲箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有302920=1740种结果;(3) 幸运之星在乙箱中抽,同理有201930=11400种结果。由分类计数原理,共有 17400+11400=28800 种不同结果。【评述】在综合运用两个原理时，一般先

5、分类再分步。例4 从集合1，2，3， ，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个？解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数，而每个数的取法有2种，所以子集个数为22222=25=32【评述】本题的关键是先找出和为11的5组数，然后利用分步计数原理求出结果。练习题：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案？解：考虑A、C、E种同一种植物，此时共有种

6、方法。考虑A、C、E种二种植物，此时共有种方法。考虑A、C、E种同三种植物，此时共有种方法。故总计有108+432+192=732种方法。三、小结：1分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理 。2元素能重复的问题往往用计数原理。3注意：“类”间相互独立，“步”间相互联系。 排列一、内容归纳1知识精讲：（1）排列:从n个不同的元素中取出m个(mn)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数: 从n个不同的元素中取出m个(mn)元素的所有排列的个数.（3）排列数公式

7、:.规定 0！=12重点难点: 正确区分排列与组合,熟练应用公式计算排列数3思维方式: 分类讨论的思想.4特别注意：排列数公式的连乘形式常用于计算，公式的阶乘形式常用于化简与证明.二、例题：例1、有7 名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法。（1）甲、乙必须排在一起;（2）若甲不在排头，乙不在排尾;（3）甲、乙、丙互不相邻;（4）甲、乙之间须隔一个人;（5）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？（6）若将7人分成两排，前四后三，有多少种站法？解：（1）(捆绑法)； (2)；(3)(插空法); (4);(5); (6)【思维点拨】对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相

8、邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，（特殊元素先考虑）。例2、用09这十个数字组成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数?（2）末位数字是4的三位数有多少？（3）求所有三位数的和;（4）四位偶数有多少？（5）比5231大的四位数有多少？解：(1) 百位不能为 “0”,因此共有个;（2）末位为4,百位不能为 “0”,因此共有=64个（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。种；（5）千位上为9,8,7,6的四位数各有个;千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有个; 千

9、位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有个; 千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有2392种。【思维点拨】注意区分分类计数原理与分步计数原理的运用。练习:由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数,问其中小于50万又不是5的倍数的数共有几个?解:先将0和5放到中间4个数位上,然后再排其他数字,故共有个数符合要求.例3：一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有几种不同的排课方法？解法一:（从数学课入手）（第一类）数学排在第一节，班会课排在下

10、午，其余四科任排，得（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三节中的一节，其余三科任排，得共有排法（种）解法二（从体育课入手）（第一类）体育课在上午 （第二类）体育课在下午 共有排法（种）【思维点拨】注意特殊的位置和特殊的元素先考虑。三、小结1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；2基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元

11、素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径。 组合一、 内容归纳1、知识精讲(1)组合 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。(2)组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符合C表示。组合数公式为C=这里，m，nN*，并且mn，组合数公式还可以写成C= 规定C=1 (3) 组合

12、数的性质C=C C=C+C2、重点难点：组合概念的理解及应用3、思维方式：与排列问题进行类比思考4、特别注意：分类时标准应统一，否则易出现遗漏和重复二、例题例1、某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语与日语的各1人,有多少种不同的选法？解：由于73=109，所以9人中必有1人既会英语又会日语 从只会英语的6人中选1人，只会日语的2人中选1人，有N1=62=12 既会英语又会日语的那位选定，其余8人中选1人，有N2=18=8由分类记数原理得N= N1+ N2=20例2、从1，2，30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数

13、的取法有多少种？解：令A1，4，7，10，28，B2，5，8，11，29，C3，6，9，30组成四位数的方式有以下四类符合题意：A，B，C中各取一个数，有种；仅在A中取3个数，有种；仅在B中取3个数，有种；仅在C中取3个数，有种，故由加法原理得：1360种【评述】按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类例3、马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？解：问题等价于在七

14、只亮着的路灯产生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此，所求的方法种数为C=20【思维点拔】 注意插空法的应用。解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。三、小结：1、组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式。前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，注意公式的倒用。即由写出C。2、解受条件限制的组合问题，通常有分组法和排除法。3、排列问题类似，除注意两个计数原理的运用外，还要恰当地选择直接法或间接法。排列组合综合题 ：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得：（）576。专心-专注-专业