高等数学证明题(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1. 证明：函数在区间内至少存在一点，使。证明：在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，至少存在一点，使，同理，至少存在一点，使得；在上连续，在内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点，使得。2. 设为上的二阶可导函数，, 并存在一点，使得. 证明至少存在一点，使得. (10分)证明：考虑区间，则在满足Lagrange中值定理的条件，则存在，使得. (3分)同理可证存在, 使得. (5分)再考虑区间, 由条件可知导函数在上满足Lagrange中值定理的条件，则存在，使得. 得证.3. 设在 上连续,在 上可导,且 证明在 内有 证明在 内有 (2分)= (2分)= (2分

2、)4. 证明:当时,令当时,所以 在 上单调增 (3分) 又( 即当时,(3分)5. 证明：当时，。答案：证：令，则，因为在连续，并且在内，因此在上单调增加，从而当时，。这就得到。6. 应用函数的单调性证明不等式： (8分)证明: 令(2分)则在上连续，在上可导，且所以在严格单调递增，故(7分). 即 (8分)7. 证明： 设，证明函数f（x）=在（0，1）内至少有一个零点。（6分）证明：法一利用定积分： 假设函数f（x）=在（0，1）上没有零点 则因f（x）在0，1上连续，姑f（x）恒为正或负 （1分）从而由定积分性质得： = （4分）为正或为负，这与假设矛盾。所以函数f（x）在（0，1）上

3、至少有一个零点。# （1分） 法二利用罗尔定理设F（x）=，则f（x）= （2分）显然F（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0 故由罗尔定理知，在（0，1）内至少存在一点，使 （3分）即。因此，函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。# （1分）8. 证明：已知，且，证明证明：=-4分 =2-3分 =-3分9. 若， 求证：存在，使得证：因为在上连续，在(a,b)内可导，且（2分）, （3分）所以，由Rolle中值定理得到:f(x)在内至少有一个零点（4分），即至少存在一点c, 使得10. 证明:证：由微分中值定理得到：, 在与之间（3分）所以（5分）（6分）11. 设函数在上是连续函数, 且令.求证：（1）；（2）在内有且仅有一个零点证：由微积分学基本定理得到：（1分）（2分）。因为，=；（3分）则由根的存在性定理得到：在内至少有一个零点（4分），由（1）知在上是单调上升，所以在内有且仅有一个零点（5分）12. 设在0，1上可导，且。试证明在（0，1）内至少有一点，使。证明：设，则在0，1上可导，又由积分中值定理 = （在（0，）内，从而由罗尔定理在（0，）内有使 证毕。13.专心-专注-专业