分数阶积分算子的谱半径及其应用(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上分数阶积分算子的谱半径及其应用基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（003）；国家自然科学基金（F）；湖北省自然科学基金重点项目（2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（z）作者简介：冯育强（1975-），男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与应用. E-mail: yqfeng6冯育强，朱兴，王蔚敏（武汉科技大学理学院，武汉 ）摘要：本文利用Gelfand公式和Stirling公式，计算了两种情形下分数阶积分算子谱半径。随后讨论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式中的应用。关键词：二级学科；分数阶积分

2、算子；谱半径；Gelfand公式；Stirling公式中图分类号：O175.08 文献标识码：A 文章编号：Spectral radius of fractional integral operators and its applicationsFENG Yuqiang, ZHU Xing, WANG Weimin(College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan , China)Abstract: In this paper, Gelfand formula and Stirling formula a

3、re used to calculate the fractional integral spectral radius in two cases. Then the conclusion is applied to discuss the solvability of fractional differential equations and fractional Gronwall Inequality.Key words: fractional integral operators; spectral radius; Gelfand formula; Stirling formula 0

4、引言分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的，由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛应用于自然科学的各个领域，尤其是控制理论、粘弹性理论、电子化学、分形理论等领域1。大量研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义。分数阶积分算子本质上是一类带奇异积分核的线性积分算子，对于其谱半径的计算，有助于进行分数阶微分方程的定性研究。在以往的文献中，不论是证明分数积分方程可解性，有解性，解的渐近性质，还是推广Gronwall不等式，

5、其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出1,3,6。本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所得结论用于分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式。1 预备知识本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论。定义1 2 设是Banach空间，是的线性子空间到中的线性算子，又设是一复数，若是正则算子，即是到上的一对一的线性算子，且它的逆算子是到中的有界线性算子时，称是的正则点，并称为的豫解算子，记为. 不是正则点的复数，称为的谱点。复平面上正则点全体称为的正则集或豫解集，记为，谱点全体称为的谱集，记为.定义22 设是Banach空间，是到的有界线性算

6、子，则称为算子的谱半径。引理12 设为复的Banach空间，则1）极限存在且有（Gelfand公式）；2）当时，是的正则点，则是可逆的，并且.引理2（Stirling公式3） 当时，.引理33 设为一常数，则分数阶积分在上几乎处处存在。进一步，该变上限积分在上是可积的。定义34 设为一Banach空间，为中一个非空凸集，满足条件1） 2） (0表示的零元)，则称为中的锥。如果为中的锥，则可定义中的半序“”为 定义44 设为中的锥，1）如果存在常数，满足，则称是正规的；2）如果，则称是再生的。2 主要结论本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程，分为两种情况进行讨论。定理1 假设为一常数，定

7、义从到的分数阶积分算子为 ，则. 证明：由引理3可知，易见为线性算子。以下分两个步骤证明.第一步：利用数学归纳法证明有下式成立： . （*）事实上，1）当时，由题设知（*）式显然成立；2）假设当时，（*）式仍然成立；3）当时， .这里令，并且利用Beta函数的性质可得下式成立： 因此，当时，（*）式依然成立， （*）式得证.第二步，证明.因为 ，所以 .由Stirling公式可知.于是，利用Gelfand公式可得 .因此，.定理2 设为一常数，定义从到的分数阶积分算子为 ，则.证明：分两个步骤来证明结论。第一步，证明.事实上，对于任意取定的，设. 当时，有.对于，有如下估计：1）如果，则有.2

8、）如果，那么.综合1），2）可知.同理，可以证明时，也有.于是知.第二步，证明.由定理1的证明过程可知 ， 所以 .类似定理1可知，此时也有.3 应用利用第2节所获结果，可以得到一些有意义的结论，为此，首先介绍文献5中定理3.2的一个推论。引理4 设为一Banach空间，为中的正规、再生锥，“”是由锥导出的半序，如果是到的增映射，且存在非负线性算子，使得，则在中存在唯一不动点，且对任意，均有.例1（分数阶微分方程求解）考察如下分数阶微分方程的初值问题：其中，连续，且存在常数，当时，；表示Caputo导数；为常数。注意到方程的解满足积分方程：，定义上的算子为，则映到，且为增算子。定义上的锥，则为

9、中的正规、再生锥。由于，其中，.由定理2知，因此，在中有唯一不动点，即原方程有唯一解。例2（一个新的分数阶积分的Gronwall不等式）考察积分不等式，其中，为上的非负局部可积；为上的非负连续函数，为常数对于任意的，定义上的映射如下：.由引理3，则映到，且为增算子。定义上的锥，则为中的正规、再生锥。由于，其中，.这里. 由定理1知，因此，在中有唯一不动点，记为，且有.由于，注意到为增算子， 因此，.取为迭代的初始值，可以计算得到 其中.这一结果推广了文献6的定理1. 特别地，当时，.这就是文献6推论1.利用这些结论，可以进一步探讨分数阶微分方程解的有界性、稳定性及Heyers-Ulam稳定性。

10、参考文献 (References)1 Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and ApplicationsM. Switzerland; Philadelphia, Pa., USA: Gordon and Breach Science Publishers, 1993.2 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义（第一版，上册）M.北京：北京大学出版社，2003.Zhang G Q, Lin Y Q. Functional Analysis(First Edition,V

11、olume1)M. Beijing: Beijing University Press,2003.3 Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo TypeM,Springer-Verlag,2010.4 郭大钧.非线性分析中的半序方法,济南:山东科学技术出版社，1999.Guo D J. Partial Order Method in Nonlinear Analy

12、sis M.,JiNan: Shandong Science and Technology Press,1999.5 Feng Y., Wang H., Characterizations of reproducing cones and uniqueness of fixed points, Nonlinear Anal.74(2011)5759-5765.6 Ye H., Gao J., Ding Y., A generalized Gronwall inquality and its applications to a fractional differential equation, J Math Anal. Appl 328(2007)1075-1081.专心-专注-专业