初三三角形复习(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上知识点梳理第一部分： 点 、线 、角一 、 线 1、直线 2、射线 3、线段二、角1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。2角的平分线 3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。4. 角的分类：（1）锐角 （2）直角 （3）钝角 （4）平角 （5）周角5. 相关的角： （1）对顶角 （2）互为补角 （3）互为余角 6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。 注意

2、：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。 7、角的性质 （1）对顶角相等 （2）同角或等角的余角相等 （3）同角或等角的补角相等。三、相交线 1、斜线 2、两条直线互相垂直 3、垂线，垂足 4、垂线的性质 （l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。 （2）垂线段最短。 四、距离 1、两点的距离 2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。平行线： 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 说明：

3、也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 2、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角互补两直线平行。 3、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。 4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_. 5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_. 第二部分：三角形知识点一、三角形的概念及其性质1三角形的概念由不在同一直线上的三条

4、线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2三角形的分类(1)按边分类： (2)按角分类： 3三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180.(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6三角形具有稳定性. 知识点二、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. 1内心： 三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到

5、各边的距离相等.2外心：三角形三边垂直平分线交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3重心： 三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4垂心： 三角形三条高线的交点.5三角形的中位线： 连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线. 中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.知识点三、全等三角形1定义： 能完全重合的两个三角形叫做全等三角

6、形.2性质： (1)对应边相等 (2)对应角相等 (3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等(4)周长、面积相等3判定： (1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS)(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.知识点四、等腰三角形1定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2性质： (1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于603判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所

7、对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点五、直角三角形1定义： 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质： (1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则这个三角

8、形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；(7)SRtABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.3判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边斜边.知识点六、线段垂直平分线和角平分线1线段垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，是这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的定理：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段

9、的垂直平分线上.线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.2角平分线的性质： (1)角的平分线上的点到角的两边的距离等；(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合.四、规律方法指导1数形结合思想本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题.2分类讨论思想在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角

10、形.3. 化归与转化思想在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化.4注意观察、分析、总结应将三角形的判定及性质作为重点，对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养，淡化纯粹的几何证明.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想.例题讲解考点一、三角形的概念及其性质1（1）（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为234

11、，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 思路点拨：三角形的内角和为180，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40、60、80，是锐角三角形.答案：B（2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( )A-6a-3 B-5a-2 C2a5 Da-5或a-2思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.解析：根据三角形三边关系得：8-31-2a8+3，解得-5a-2，应选B.举一反三：【变式1】已知a，b，c为ABC的三条边，化简得_.【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3

12、cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( )A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_.2（1）（2010宁波市）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 （ ）A5个 B4个 C3个 D2个考点：等腰三角形答案：A（2）如图在ABC中，ABC=90，A=50，BDAC，则CBD的度数是_.考点：直角三角形两锐角互余.解析：ABC 中，C=ABC-A =90-50=40又BDAC，CBD=C=40.3已知ABC的三个内角A、B、C满足关系

13、式B+C=3A，则此三角形中( ) A.一定有一个内角为45 B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形考点：三角形内角和180.思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180这一定理，即B+C=180-A.解析：ABC中，A+B+C=180，B+C=180-AB+C=3A，180-A=3A， A=45，选A，其它三个答案不能确定.举一反三：【变式1】下图能说明12的是( )【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等

14、于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90，其中错误的个数是( )A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个考点二、三角形的“四心”和中位线4（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( ) A.二条中线的交点 B. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边中垂线的交点考点：线段垂直平分线的定理.思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.（）（2010四川眉山）如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图）；再将第

15、二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形考点：三角形中位线找规律思路点拨：图有个正三角形；图有（）个正三角形；图有（）个正三角形；图有（）个正三角形；图有（）个正三角形；答案：175一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形考点：三角形角平分线定理.思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.举一反三：【变式1

16、】如图，已知ABC中，A=58，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求BOC的度数.【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( )A.锐角三角形 B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形或直角三角形【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的( )A.中线 B.高线 C.边的中垂线D.角平分线6（1）（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（ ）A、15米 B、20米 C、25

17、米 D、30米考点：三角形中位线定理.思路点拨：= ，答案：C （2）已知ABC中，ABBCCA=324，AB=12厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DEF的周长是_.考点：三角形中位线定理.思路点拨：本题考查三角形的中位线，先求出ABC各边的边长，由三条中位线构成的DEF是原三角形周长的一半.解析：由已知求出ABC另两边长为BC=8厘米，AC=16厘米D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，DE、EF、DF是ABC的中位线DE=AC=8 EF=AB=6 DF=BC=4，DEF的周长等于8+6+4=18厘米.举一反三：【变式1】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.【

18、变式2】已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?考点三、全等三角形7对于下列各组条件，不能判定的一组是( ) A.A=A，B=B，AB=AB B.A=A，AB=AB，AC=ACC.A=A，AB=AB，BC=BC D.AB=AB，AC=AC，BC=BC思路点拨：判定三角形全等的条件中，已知两边及一角必须是两边及其夹角，而已知两角一边和三边都可以判定三角形全等.解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是两边和一边对角对应相等，不能判定三角形全等.故选C.举一反三：【变式1】两个三角形有以下三

19、对元素对应相等，则不能判定全等的是( )A.一边和任意两个角 B.两边和它们的夹角C.两个角和它们一角的对边 D.三角对应相等8（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED （1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED=120时，求EFD的度数 第8题图考点：三角形全等的判定及性质.思路点拨：（1）利用ASA判定;(2) 利用 BECDEC答案：（1）证明：四边形ABCD是正方形 BCCD，ECBECD45 又ECEC ABEADE （2）ABEADE BECDECBED BED120BEC60AEF EFD60+45105 举一反三：【

20、变式1】如图，已知:AC =DB，要使，只需增加一个条件是_.【变式2】如图，已知，ABC中，C=90，AM平分CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是_.考点四、等腰三角形与直角三角形9（1）（2010湖北黄石） 如图，等腰三角形ABC中，已知ABAC，A30，AB的垂直平分线交AC于D，则CBD的度数为_. 思路点拨：等腰三角形的性质答案：45（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半思路点拨：本题适用于任何一种等腰三角形.总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.解析：如图，ABC中，AB=AC，

21、BDAC于D，所以ABC=C，BDC=90，所以DBC=90-C=90-(180-A)= A，答案：B.10ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论. 思路点拨：本题是先猜想再验证的探索性题型，关键是掌握等边三角形及三线合一的性质.答案：如：DB=DE；BDAC；DBC=DEC=30；ABDCBD； CDE=30；BD平分ABC等.总结升华：等腰三角形是特殊的三角形，具有对称性，边、角之间的联系较多；三线合一的性质在解题时应用广泛，但经常被忽略，应注意灵活运用.举一反三：【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50、80，则这个三角形是_三角

22、形.【变式2】已知等腰ABC中，ABC=ACB=2A，且BDAC，垂足为D，求DBC的度数.【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_.11如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13考点：考查勾股定理的逆定理.思路点拨：常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌握.解析：D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D.12（1）（2010年江苏无锡）如图1，

23、在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE （下面请你完成余下的证明过程）若将中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由 若将中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN

24、=_时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.解：（1）AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135 在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立 在边AB上截取AE=MC，连接ME ABC是等边三角形， AB=BC，B=ACB=60， ACP=120 AE=MC，BE=BM BEM=EMB=60 AEM=120 CN平分ACP，PCN=60， AEM=MCN=120 CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAM AEMMCN，AM=MN（3）（

25、2）将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，则折痕的长为( )A. B. C. D. 考点：勾股定理和直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半.思路点拨：考查学生了解折叠前后图形的变化，找出对应相等的量，运用勾股定理解答.解析：由折叠可知，CED=CED =30，因为在矩形ABCD中，C等于90，CD=AB=2，所以在RtDCE中，DE=2CD=4.故选C.总结升华：直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理.举一反三：【变式1】下列条件能确定ABC是直角三角形的条件有( )(1)A+B=C；(2)A:B:C=1:2:

26、3；(3)A=90-B；(4)A=B=C.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )A. B. C. D.5【变式3】已知：在直角ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D.(1)若BAC=30，求证: AD=BD；(2)若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度数. 图1 图2练习1(2011宿迁)如图，已知12，则不一定能使ABDACD的条件是( )AABAC BBDCDCBC DBDACDA2(2011绵阳)如图，ABCD，CP交AB于O，AOPO，若C50

27、，则A_.3(2011无锡)如图，在ABC中，AB5 cm，AC3 cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则ACD的周长为_cm.4(2011东莞)已知：如图，E、F在AC上，ADCB且ADCB，DB.求证：AECF.作业题1（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知、是两格点， 如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）A6 B7 C8 D92(沈阳市)(3分)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A. B. C.或 D.或3.(太原市)(3分)在中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC=10，则DE的长为(

28、 )A.3 B.4 C.5 D.64.(太原市)(3分)如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是( )A.15 B.16 C.8 D.75.(湛江市)(3分)已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )A. B. C. D.6.(成都市)(3分)如图,在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( )A.B=E，BC=EF B.BC=EF，AC=DFC.A=D，B=E D.A=D，BC=EF7.(湖南省邵阳市)(3分)如图，点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出.从下列条件

29、中补充一个条件，不一定能推出的是( ) A.B.C.D.8.(广东省)(4分)已知等边三角形ABC的边长为，则ABC的周长是_.9.（2010江苏无锡）如图,ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,A=30,ACB=80,则BCE=_. 10. （2010湖南郴州）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_度11. （2010贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是_.12(江苏省宿迁市)(4分)等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为_.13(江苏徐州巿)(3分)边长为a的正三角形的面积等于_.14(沈阳市)(3分)已知中，的平分线交于点，则的度数为_.15(海

30、南省)(3分)已知在ABC和A1B1C1中，AB=A1B1，A=A1，要使ABCA1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_.16(湖北省黄冈市)(3分)如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_.17(湖南省邵阳市)(3分)如图，已知中，平分,点为的中点,请你写出一个正确的结论：_.18(佳木斯市)(3分)如图，请你添加一个条件：_，使(只添一个即可).19. （2010四川凉山）已知三角形两边长是方程的两个跟,则三角形的第三边的取值范围是_。20(山东省日照市)(4分)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CD

31、E，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60.恒成立的有_(把你认为正确的序号都填上).21(新疆)(8分)如图，在ABC中，C=2B，AD是ABC的角平分线，1=B. 求证：AB=AC+CD.22(新疆乌鲁木齐市)(7分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：，.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.(写出一种即可)已知：求证：是等腰三角形.证明：23(陕西省)(6分)已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，ACDE，AC=CE，ACD=B.求证：ABCCDE24(上海市)(12分，每小题满分各6分) 如图，在ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点.(1)求证：EF=AB；(2)过点A作AGEF，交BE的延长线于点G，求证：ABEAGE.25(湖南省湘西自治州)(本题6分)已知：如图，在ABCD中，BE=DF.求证：.26. （2010四川内江）如图，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACDBCE90，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由. 专心-专注-专业