二次函数与幂函数-高考数学知识点总结-高考数学真题复习(共19页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2.4二次函数与幂函数2014高考会这样考1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用；3利用幂函数的图象、性质解决有关问题复习备考要这样做1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质1 二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x

2、)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形3. 幂函数形如yx (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数4 幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较难点正本疑点清源1 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x

3、轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(2)函数yx，yx2，yx3，yx，yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表1 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_答案(，2解析f(x)的图象的对称轴为x1a且开口向上，1a3，即a2.2已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m2时，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，无解1m2

4、.3 若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_答案1或2解析由，解得m1或2.经检验m1或2都适合4 (人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为_答案2，2解析可以根据函数图象是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值5 函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是 ()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函数f(x)x2mx1的图象的对称轴为x，且只有一条对称轴，所以1，即m2.题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，

5、且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用解方法一设f(x)ax2bxc (a0)，依题意有解之，得所求二次函数解析式为f(x)4x24x7.方法二设f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解之，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依题意知，f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函数解析式为f(x)4

6、x24x7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果 已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式解依条件，设f(x)a(x1)215 (a2xm恒成立，求实数m的取值范围思维启迪：对于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式对于(2)，可利用函数思想求得解(1)由f(0)1得，c1.f(x)ax2bx1.又f(x1

7、)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究

8、方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点 (2012苏州模拟)已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数的取值范围解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的图象过点(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，

9、又yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当10时，F(x)的对称轴为x，又F(x)在(1,1上是增函数或.1或10.当10，即1时，F(x)4x显然在(1,1上是增函数综上所述，的取值范围为(，0题型四幂函数的图象和性质例4已知幂函数f(x)xm22m3 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m

10、1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或af(a1)的实数a的取值范围解(1)m2mm(m1)，mN*，而m与m1中必有一个为偶数，m(m1)为偶数函数f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.由f(2a)f(a1)得解得1a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范围为(，13分(2)记f(

11、x)的最小值为g(a)，则有f(x)2x2(xa)|xa|5分()当a0时，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此时g(a)2a2.7分()当aa，则由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2a2.此时g(a)a2，综上，得g(a).10分(3)()当a时，解集为(a，)；()当a时，解集为；()当a时，解集为.14分温馨提醒分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一本题充分体现了分类讨论的思想方法在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论除此外，解决函数问题时，以下几点

12、容易造成失分：1含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小；3解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解2 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是.(2)ax2bxc0时，f()

13、24，得2.4或2.2 已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于 ()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由已知条件即解得b2.3 设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是 ()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，ab0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误4 设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是 ()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x

14、1)0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.二、填空题(每小题5分，共15分)5 二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_答案y(x2)216 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_答案(，2解析f(x)的图象的对称轴为x1a且开口向上，1a3，即a2.7 当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限答案二、四解析当1、1、3时，yx的图象经过第一、三象限；当时，yx的图象经过第一象限三、解答题(共25分)8 (12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x

15、)2x的解集为x|1x3，方程f(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式解设f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，则f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20,16a216a436a20，20a216a40,5a24a10，(5a1)(a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)9 (13分)(2012玉林调研)是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由解f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，a1(舍去)；当1a0

16、时，a1；当01时，f(x)在1,1上为减函数，a不存在综上可得a1.B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012合肥调研)已知幂函数f(x)x的图象经过点，则f(4)的值等于()A16 B.C2 D.答案D解析将点代入得：2，所以，故f(4).2 (2012温州十校联考)已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 ()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析当m0时，显然不合题意；当m0时，f(0)10，若对称轴0，即0m4，结论显然成立；若对称轴4，只要4(4m

17、)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8，综上，0m8，选B.3 已知二次函数yx22ax1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()Aa2或a3 B2a3Ca3或a2 D3a2答案A解析由函数图象知，(2,3)在对称轴xa的左侧或右侧，a3或a2.二、填空题(每小题4分，共12分)4 已知二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_答案f(x)4x212x40解析设二次函数的解析式为f(x)a249 (a0)，方程a(x)2490的两个根分别为x1，x2，则|x1x2|27，a4，故f(x)4x212x40.5 若方程x211x

18、30a0的两根均大于5，则实数a的取值范围是_答案0a解析令yx211x30a，结合图象有0a.6 已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域为_答案解析f(x)ax2bx3ab是偶函数，其定义域a1,2a关于原点对称，即a12a，a，f(x)ax2bx3ab是偶函数，即f(x)f(x)，b0，f(x)x21，x，其值域为.三、解答题(13分)7 已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解f(x)(xa)2a2a1，当a1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件：或或解得a2或a1.专心-专注-专业