数值分析实验报告(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数值分析实验报告1实验1.1 病态问题1.1 程序代码% 对应于实验1.1 的程序clear;prompt = 请输入扰动项n: 020 间的整数,请输入扰动系数ess:01间的小数;def=19,0.00001;dlgTitle=实验1.1 病态问题;lineNo=1;result = inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,def);NE = str2num(char(result);%转换结果if (NE(1,1)20) | (NE(1,1)0), error(请输入合适的项数！);endess = NE(2,1);VE = zeros(

2、1,21);VE(21 - NE(1,1) = ess; %将扰动项变成向量模式，以便相加ROOT = roots(poly(1:20) + VE); %求p(x) + ess*x = 0;的解1.2 结果记录1.2.1在第19项加扰动ess后，方程 (1)，的根如表1所示：阶数ess1.00E-011.00E-031.00E-051.00E-071.00E-09136.4232+13.18i 27.0817+5.03812i 22.5961+2.3083i 20.422+0.i 19.952+0i 236.4232-13.18i 27.0817-5.03812i 22.5961-2.3083

3、i 20.422-0.i 19.2293+0i 318.2486+16.1526i 19.5337+9.1664i 18.8972+5.00563i 18.1572+2.4702i 17.6573+0.i 418.2486-16.1526i 19.5337-9.1664i 18.8972-5.00563i 18.1572-2.4702i 17.6573-0.i 511.3192+10.81i 13.8235+7.77167i 14.9123+4.95848i 15.3149+2.69865i 15.4524+0.i 611.3192-10.81i 13.8235-7.77167i 14.912

4、3-4.95848i 15.3149-2.69865i 15.4524-0.i 78.773+6.95838i 10.7211+5.4609i 12.0289+3.73551i 12.8466+2.06246i 13.3527+0.i 88.773-6.95838i 10.7211-5.4609i 12.0289-3.73551i 12.8466-2.06246i 13.3527-0.i 97.47593+4.38779i 8.91282+3.47317i 10.059+2.33021i 10.9216+1.10366i 11.8578+0i 107.47593-4.38779i 8.9128

5、2-3.47317i 10.059-2.33021i 10.9216-1.10366i 11.0427+0i 116.60562+2.56677i 7.69268+1.89884i 8.63828+1.0564i 9.56629+0i 9.9916+0i 126.60562-2.56677i 7.69268-1.89884i 8.63828-1.0564i 9.11508+0i 9.00201+0i 135.90709+1.20368i 6.75761+0.i 7.70896+0i 7.99387+0i 7.99952+0i 145.90709-1.20368i 6.75761-0.i 7.0

6、28+0i 7.00027+0i 7.00009+0i 155.291225.95208+0i 5.99942+0i 66165.103695.00061+0i 5.00001+0i 55173.999784444183333319222222011111 表11.2.2在第18项加扰动ess后，方程 (2)，的根如表2所示：阶数ess1.00E-011.00E-031.00E-051.00E-071.00E-09129.1493+5.98286i 23.724+2.8203i 20.994+1.34421i 19.7656+0.i 19.9983229.1493-5.98286i 23.72

7、4-2.8203i 20.994-1.34421i 19.7656-0.i 19.0115320.2125+11.071i 19.4236+6.14475i 18.4909+3.24042i 17.8435+1.30236i 17.9649420.2125-11.071i 19.4236-6.14475i 18.4909-3.24042i 17.8435-1.30236i 17.0524513.4752+9.28466i 14.8344+6.09209i 15.3107+3.55896i 15.4553+1.5856i 15.9662613.4752-9.28466i 14.8344-6.09

8、209i 15.3107-3.55896i 15.4553-1.5856i 14.9771710.1007+6.44431i 11.6561+4.62319i 12.6114+2.82705i 13.1902+1.20025i 14.0752810.1007-6.44431i 11.6561-4.62319i 12.6114-2.82705i 13.1902-1.20025i 12.904798.29727+4.13106i 9.60113+2.99431i 10.579+1.73097i 11.275+0.i 12.0762108.29727-4.13106i 9.60113-2.99431

9、i 10.579-1.73097i 11.275-0.i 10.961117.14293+2.37702i 8.18209+1.56759i 9.04344+0.i 9.93183+0i 10.0166127.14293-2.37702i 8.18209-1.56759i 9.04344-0.i 9.00952+0i 8.99504136.27379+1.02957i 7.0834+0.i 7.93758+0i 7.99935+0i 8.00115146.27379-1.02957i 7.0834-0.i 7.00355+0i 7+0i 6.9998155.68402+0i 6.000026.

10、000026.000026.00002165.0129455551744444183333319222222011111表21.3 结果分析多项式 展开后，从高到低，其各次项的系数依次如下：1 -210 20615 -1.2569e+006 5.3328e+007 -1.6723e94.0172e10 -7.5611e11 1.131e13-1.3559e+014 1.3075e15 -1.0142e166.3031e16 -3.1133e+0171.2066e+018-3.6e+0188.0378e+018-1.2871e+0191.3804e+019-8.7529e182.4329e181

11、.3.1 对于方程 （3），其方程左边的多项式的第19次项的系数为-210，在其上加上ess （1e-9 0.1）的扰动，扰动的程度不大于0.05，但是却给方程(3)的解带来了很大的颠覆性变化！详细分析发现，在第19次项的系数上的加ess后，对第20、19、18、17次的对应解无影响；但是对其后各次的解，影响却是愈来愈大，直至完全颠覆。如x1原来的解为20，加入ess=0.1后，变为29.1493+5.98286i。1.3.2 对于方程(3)，其左边多项式的第18次项的系数为20615，在其上加上ess （1e-9 0.1）的扰动。分析发现，对第20、19、18、17、16次的对应解无影响；但

12、是对其后各次的解，影响却是颠覆性的。这与在第19项加ess的结果是一致的。只是程度没有前者大。1.3.3 问题的根源 求解实系数高次多项式方程，并没有通用的代数解法，而只能通过迭代法求解。这就为上述的不稳定现象奠定了伏笔。同时，对方程（1）或（2）两边对ess求导（认定x是关于ess的函数）发现，由于越低次项的系数越大，故越低次项对应的解对dx/dess 的波动就越敏感！这也就解释了为什么无论是扰动项在18还是19，前5个高次项对应的解基本不变，而后面的却大受其害的现象。2实验2.1 多项式插值的振荡现象2.1程序代码% 对应于实验2.1 的程序clear;prompt = 请输入实验函数:f

13、(x)或和h(x)的代号，前者为f，后者是h;def=f;dlgTitle = 实验2.1 多项式插值的振荡现象;lineNo=1;result = inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,def);fun = char(result);%转换结果if (fun = f) & (fun = h) ), error(请选择合适的函数！); break; endif( fun = f) a = -1; b= 1; f = inline(1./(1+25*x.2);else a = -5; b= 5; f = inline(x./(1+4*x.4);endfplot(f, a

14、 b,m); for i=2:2:10 hold on; x0 = linspace(a, b, i+1 ); y0 = feval(f,x0); x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x); if(i=2) plot(x, y, gp); plot(x, y, g:); elseif (i=4) plot(x, y, r+); plot(x, y, r-.); elseif (i=6) plot(x, y, kd); plot(x, y, k-); elseif (i=8) plot(x, y, co); plot(x, y, c-); else plot(x,

15、 y, b*); plot(x, y, b:); end ; end;2.2结果记录 函数f(x) = 1/(1+25*x2)及其2、4、6、8、10点插值函数在-1,1上的图象： 图21函数h(x) = x/(1+4*x4)及其2、4、6、8、10点插值函数在-1,1上的图象： 图222.3结果分析从上述图21 和图22 不难发现插值点数从2点增到4点，插值函数对原函数的近似程度要加大。但是，继续增多插值点后，如6、8、10点，插值函数对原函数的逼近效果并没有相应提高，反而出现了振荡现象！3实验3.1 编制多项式最小二乘拟合函数3.1程序代码clear;prompt = 请输入进行最小二乘拟

16、合的多项式的次数n：,请输入Xi,请输入Yi;def=3,-1:0.5 : 2,-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.522;dlgTitle = 实验3.1 编制插值函数，并进行曲线拟合;lineNo=1;result = inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,def);n = str2num( char(result(1,1) );%转换结果x0 = str2num( char(result(2,1) );y0 = str2num( char(result(3,1) );if ( (n 9) ), error(请选择合适

17、的次数！); break; end;if ( length(x0) = length(y0) ) error(Xi序列和Yi序列的个数必须一致！); break;end;plot(x0, y0,rp); %输出原数据grid on;alph = polyfit(x0,y0,n);%利用库函数计算进行最小二乘拟合的n次多项式的各项系数。x = -1:0.01:2;y = polyval(alph,x);%利用库函数求取拟合函数值hold on;plot(x, y); y = polyval(alph,x0);%利用库函数求取拟合函数值err2 = (y0 - y)*(y0 - y); % 计算平方误差和 xlabel(x);ylabel(y 和 y0);end;3.2 运行结果图3 图3中的拟合曲线的参数依次为：各项权系数：w = 1；三次多项式的各项系数：a = 1.9924-2.99480.0.5484；平方误差err2 = 4.1762e-5。 2008年5月13日星期二专心-专注-专业