2022年勾股定理知识点及典型例题.pdf

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1、勾股定理知识点回顾各位同学下午好，今天我将带领大家回顾下勾股定理方面的知识点。一、首先请看黑板，例 1 试通过 等积法得出啊 a，b，c 三者的关系。没错，这个过程就是我们勾股定理的证明过程。那么勾股定理具体是怎样表述的呢？我们拿出例1 中的三角形 ADE来研究，我们可以总结出勾股定理的定义。首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a2b2c2。即勾股定理可以表述为：二、 勾股定理的定义：如果直角三角形 的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。其中较短的直角边我们叫

2、它：勾；较长长边我们叫它：股；斜边叫它：弦。ABCabc弦股勾既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆：锐角三角形就通过边长为1 的等边三角形来特殊化，显然a2b2c2 对于钝角三角形，可以通过底角为30 度，腰为2 的等腰三角形来记忆，计算可知 a2b2c2大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。bccaabDCAEB精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

3、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：A、若已知边长：（1）确定最大边（不妨设为c） ；（2）若 c2a2b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）B、若未知边长，则直接进行第二步。例2：在ABC中，若2a=（b+c） （b-c） ，则ABC是三角形，且90三、 对于勾股定理， 还有个很重要的概念：勾股数 ：满足

4、 a2b2c2的三个 正整数 叫做勾股数（ 注意： 若 a，b， c、为勾股数，那么ka，kb，kc 同样也是勾股数组。 ） * 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 四、 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。例 3：在直角三角形中两直角边分别为3、2，求斜边长 ; 例 4：在直角三角形中两边长分别为3、2，求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。: （3）用于证明线段平方关系的问题。例 5： 如图所示，在ABC中，PACAB,5为 BC 边上任意一点求证： AB2AP2=BP PC （先直接因式分解不行，再间接分解）（

5、4）利用勾股定理，作出长为n的线段。例 6：请在数轴上表示出13（5）解决实际应用问题例 7、 梯子滑动问题：（1）一架长 2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动0.8 米13精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 例 8、 爬行距离最短问题：如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点B，则它走过的路程最短为（D ）A. a3B. a21C.

6、a3D.a5BAQNMP例 9、折叠问题：如图，在长方形ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置， CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明： AF=FC ； （2）如果 AB=3 ，BC=4 ，求 AF 的长有 两 角 及 其 一 角 的 对 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 (AAS或 “ 角 角 边 ”)五、 例 10： 如图，直角 ABC的主要性质是：C=90， （用几何语言表示）两 锐角之间的关系：；若 D为斜边中点，则斜边中线；若 B=30，则 B的对边和斜边：；三边之间的关系：。归纳下当题目提到直角三角形的时候应该立刻在脑子里想到：（1）角度关系。（

7、2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACBD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - （3）在直角三角形中， 如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。（5）勾股定理。练习1. 在ABC 中， AB=13 ，AC=15 ，高 AD=12 ，则 BC 的长为（ 5+9=14）2.已知2512yxx与25102zz互为相反数， 试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。4.已知,0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是5.直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（D）A. 2babB. 2222hbaC. hba111D. 222111hba回顾下。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -