高中数学必修五《等差数列前n项和》优秀教学设计(共6页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上必修五 2.3等差数列前n项和（第一课时）教学目标1通过实例，探索等差数列的前项和公式，了解倒序相加法；2掌握等差数列的前项和公式，并能用其解决一些简单问题；3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，发展学生的思维水平；4通过现实问题和数学小故事，让学生体会数学问题与现实生活紧密联系，培养学生的数学文化素养，激发学生探究的兴趣，增强学生学好数学的心理体验。教学重点：探索并掌握等差数列前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题。教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。教学准备：多媒体课件教学过程：一、创设问题，导入新课出示图片

2、印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？生：只要计算出1+2+3+100的结果就是这些宝石的总数.师：对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？(学生自主探究，请学生说出自己的计算方法。很多学生都能采用高斯算法）师：同学们采用了什么方法计算出来的呢？生：首尾配对相加的方法，就是

3、：1+100=2+99=3+98=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+100=50101=5 050.师：对，同学们想到的这个方法和小高斯想的不谋而合.高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5 050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答的方法就是刚才大家说的方法.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.希望大家也能像高斯

4、一样善于观察，敢于思考.师：数列1，2，3，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+100相当于什么？生：这个数列是等差数列，1+2+3+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.二、合作探究，推进新课师：我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第49层，得到右图，则图中第1层到第49层一共有多少颗宝石呢?生：这是求“1+2+3+49”奇数个项的和的问题，我们刚才的方法就不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师：嗯.“首尾配对”的算法分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们有没有

5、简单的方法来解决这个问题呢?生：有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为50个，共49行.则三角形中的宝石个数就是1+2+3+49.师：妙!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我们将他的几何法写成式子就是：1+2+3+49，49+48+47+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1) 求1到n的正整数之和，即求1+2+3+(n-1)+n.(这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2) ?生1：对于问题(2)，我用倒序

6、相加法求的，因为，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若，则，所以.()生2：对于问题(2)，我是这样来求的：即.()【归纳小结】师：两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.两个公式是可以互相转化的，把 代入公式（）中，便可以得到公式（）。而且我们可以发现，公式（）与梯形面积公式(上底+下底)高2相似，这里的上底是等差数列的首项，下底是第n项，高是项数n,有利于我们的记忆.【方法引导】师：如果已知等差数列的首项，项数为

7、n，第n项为，则求这数列的前n项和用公式()来进行，若已知首项，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式()来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生：每个公式中都是5个量.师：如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生：已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).三、知识应用【例1】(直接代公式)计算：(1)1+3+5+(2n-1)；(2)2+4+6+2n；(3)1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)(2)，并请同学回答）生：(1)1+3+5+(2n-1)= =n2；(2

8、)2+4+6+2n= =n(n+1).师：第(3)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生1：(3)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= 1+3+5+(2n-1)-(2+4+6+2n)=n2-n(n+1)=-n.生2：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-n.师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】（课

9、本例1）2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【分析】让学生读题、审题并找出有用的信息。生：由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了

10、.师：这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.解：根据题意，从年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中 ， =50.那么，到2010年（=10），投入的资金总额为 （万元）答：从年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.【方法总结】师：本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：从年，每年投入的经费都比上一年增加50万元.所以，可以构造一个等差数列，利用等差数列的知识解决【例3】（课本例2）已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前项和的公

11、式吗？【分析】等差数列前项和公式就是一个关于的方程若要确定其前项求和公式，则必须知道什么？生：必须要确定首项与公差d.师：首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？生：由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于和d的关系式，组成方程组便可从中求得.（方法一）解：由题意知 ，将它们代入公式 得到 解这个关于与的方程组，得到=4，所以 .（方法二）解： 得 所以 -，得， 所以 ,代入得： ,所以有 .师：通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.四、课堂小测1、在等

12、差数列中，已知，其前项和 -88 2、在等差数列中，已知，其前项和 604.5 3、已知等差数列中，求公差.解：由等差数列的前项和公式得 ，解得 ， 即又 ，所以 4、已知一个项的等差数列的前四项和为21，末四项的和为67，前项的和为286，求项数解：由题设 得 两式相加得 .又 ，所以 ， 即 ，所以 五、课堂小结师：同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生：等差数列的前n项和公式1：,等差数列的前n项和公式2：.师：通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生：通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.六、布置作业课本习题2.3 A组第1、2、3题.七、板书设计等差数列的前n项和(一)公式： 推导过程 例1、 例2、 例3、专心-专注-专业