第9章概率论与数理统计的MATLAB实现讲稿(共65页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第9章 概率论与数理统计的MATLAB实现 MATLAB总包提供了一些进行数据统计分析的函数，但不完整。利用MATLAB统计工具箱，可以进行基本概率和数理统计分析，以及进行比较复杂的多元统计分析。本章主要针对大学本科的概率统计课程介绍工具箱的部分功能。9.1随机变量及其分布 利用统计工具箱提供的函数，可以比较方便地计算随机变量的分布律（概率密度函数）和分布函数。9.1.1 离散型随机变量及其分布律如果随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列个无限多个，则称为离散型随机变量。MATLAB提供的计算常见离散型随机变量分布律的函数及调用格式：函数调用格式(对应的分布)

2、 分布律y=binopdf(x,n,p)(二项分布) y=geopdf(x,p)(几何分布) y=hygepdf(x,M,K,n)(超几何分布) y=poisspdf(x,lambda)(泊松分布) y=unidpdf(x,n)(离散均匀分布) 9.1.2 连续型随机变量及其概率密度对于随机变量的分布函数，如果存在非负函数，使对于任意实数有则称为连续型随机变量，其中函数称为的概率密度函数。MATLAB提供的计算常见连续型随机变量分布概率密度函数的函数及调用格式：函数调用格式(对应的分布) 概率密度函数y=betapdf(x,a,b)(分布) y=chi2pdf(x,v)(卡方分布) y=exp

3、pdf(x,mu)(指数分布) y=fpdf(x,v1,v2)(F分布) y=gampdf(x,a,b)(伽马分布) y=normpdf(x,mu,sigma)(正态分布) y=lognpdf(x,mu,sigma)(对数正态分布) y=raylpdf(x,b)(瑞利分布) y=tpdf(x,v)(学生氏t分布) y=unifpdf(x,a,b)(连续均匀分布) y=weibpdf(x,a,b)(威布尔分布) 比如，用normpdf函数计算正态概率密度函数值。该函数的调用格式为：Y=normpdf(X,MU,SIGMA)计算数据X中各值处参数为MU和SIGMA的正态概率密度函数的值。参数SIG

4、MA必须为正。正态概率密度函数的计算公式为：9.1.3分布函数对于离散型随机变量，设为任意实数，的分布函数为：对于连续型随机变量，假设其概率密度函数为，则其分布函数为：MATLAB提供了专门的函数求解各种随机变量的分布函数，具体如下：函数调用格式 对应的分布p=betacdf(x,a,b) 分布p=binocdf(x,n,p) 二项分布p=chi2cdf(x,v) 卡方分布p=expcdf(x,mu) 指数分布p=fcdf(x,v1,v2) F分布p=gamcdf(x,a,b) 伽马分布p=geocdf(x,p) 几何分布p=hygecdf(x,M,K,n) 超几何分布p=normcdf(x,

5、mu,sigma) 正态分布p=logncdf(x,mu,sigma) 对数正态分布p=poisscdf(x,lambda) 泊松分布p=raylcdf(x,b) 瑞利分布p=tcdf(x,v) 学生氏t分布p=unidcdf(x,n) 离散均匀分布p=unifcdf(x,a,b) 连续均匀分布p=weibcdf(x,a,b) 威布尔分布例如，用normcdf函数计算正态分布的分布函数。该函数的调用格式为：P=normcdf(X,MU,SIGMA)计算参数为MU和SIGMA的正态分布函数在数据X中每个值处的值。参数SIGMA必须为正。正态分布的分布函数为：结果为取自参数为和的正态分布总体的单个

6、观测量落在区间中的概率。例91某仪器需安装一个电子元件，需要电子元件的使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布，乙厂生产的电子元件的寿命服从正态分布。问应选哪个工厂的产品呢？解：设，。则有：0.9772 （命令为1-normcdf(1000,1100,50)）0.9696（命令为1-normcdf(1000,1150,80)）因此，应选甲厂生产的产品。9.1.4逆累加分布函数 逆累加分布函数是累加分布函数的逆函数。利用逆累加分布函数，可以求得满足给定概率时随机变量对应的置信区间。常见分布的逆累加分布函数及其调用格式：函数调用格式 对应

7、的分布p=betainv(P,a,b) 分布p=binoinv(P,n,p) 二项分布p=chi2inv(P,v) 卡方分布p=expinv(P,mu) 指数分布p=finv(P,v1,v2) F分布p=gaminv(P,a,b) 伽马分布p=geoinv(P,p) 几何分布p=hygeinv(P,M,K,n) 超几何分布p=norminv(P,mu,sigma) 正态分布p=logninv(P,mu,sigma) 对数正态分布p=poissinv(P,lambda) 泊松分布p=raylinv(P,b) 瑞利分布p=tcdfinv(P,v) 学生氏t分布p=unidinv(P,n) 离散均匀

8、分布p=unifinv(P,a,b) 连续均匀分布p=weibinv(P,a,b) 威布尔分布例92有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要1人去处理，问至少需要多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01？解：设表示同一时刻发生故障的设备台数，则有。再设配备位维修人员，则有：即键入命令：p=binoinv(0.99,300,0.01)运行结果：p =8键入命令：binocdf(8,300,0.01)binocdf(7,300,0.01)运行结果：ans =0.9964ans =0.9885因此，至少需要8个工人，

9、才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01。9.2多维随机变量及其分布9.2.1二维随机变量用mvnpdf和mvncdf函数可以计算二维正态分布随机变量在指定位置处的概率和累积分布函数值。例93计算服从二维正态分布的随机变量在指定范围内的概率密度值并绘图。程序：%二维正态分布的随机变量在指定范围内的概率密度函数图形mu=0 0;sigma=0.25 0.3;0.3 1;%协方差阵x=-3:0.1:3;y=-3:0.15:3;x1,y1=meshgrid(x,y);%将平面区域网格化取值f=mvnpdf(x1(:) y1(:),mu,sigma);%计算二维正态分布概率密度函数值F=r

10、eshape(f,numel(y),numel(x);%矩阵重塑surf(x,y,F);caxis(min(F(:)-0.5*range(F(:),max(F(:);%range(x)表示最大值与最小值的差，即极差。axis(-4 4 -4 4 0 0.5);xlabel(x);ylabel(y);zlabel(Probability Density);运行结果见图91。图91二维正态分布的随机变量的概率密度函数例94计算服从二维正态分布的随机变量在指定范围内的累积分布函数值并绘图。程序：%二维正态分布的随机变量在指定范围内的累积分布函数图形mu=0 0;sigma=0.25 0.3;0.3

11、1;%协方差阵x=-3:0.1:3;y=-3:0.2:3;x1,y1=meshgrid(x,y);%将平面区域网格化取值f=mvncdf(x1(:) y1(:),mu,sigma);%计算累积分布函数值F=reshape(f,numel(y),numel(x);%矩阵重塑surf(x,y,F);caxis(min(F(:)-0.5*range(F(:),max(F(:);%range(x)表示最大值与最小值的差，即极差。axis(-3 3 -3 3 0 0.5);xlabel(x);ylabel(y);zlabel(Probability Density);9.2.2边缘分布对于连续型随机变量

12、，关于和的边缘概率密度和分别为：例95设具有概率密度确定常数；求边缘概率密度和。解：由可得；计算程序为：syms x y Cfxy=C*x*x*y;g=int(int(fxy,y,x*x,1),x,-1,1);C=double(solve(g-1)程序：syms x yfxy=5.25*x*x*y;fx=int(fxy,y,x*x,1)fy=int(fxy,x,-sqrt(y),sqrt(y)运行结果：fx =21/8*x2*(1-x4)fy =7/2*y(5/2)因此，9.3随机变量的数字特征在解决实际问题过程中，往往并不需要全面了解随机变量的分布情况，而只需要知道它们的某些特征，这些特征通

13、常称为随机变量的数字特征。常见的有数学期望、方差、相关系数和矩等。9.3.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布律为：，如果绝对收敛，则称的和为随机变量的数学期望。例96设表示一张彩票的奖金额，的分布列如下：500005000500501000.0.0.000090.00090.0090.090.9试求。求解程序：x= 50000 5000 500 50 10 0;p=0. 0. 0.00009 0.0009 0.009 0.09 0.9;Ex=x*p运行结果：Ex=3.2000例97设，求。求解程序：syms p kEx=symsum(k*p*(1-p)(k-1),k,

14、1,inf)运行结果：Ex=1/p 连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称该积分的值为随机变量的数学期望。例98设的概率密度为，求。求解程序：syms xf1=x/15002;f2=(3000-x)/15002;Ex=int(x*f1,0,1500)+int(x*f2,1500,3000)运行结果：Ex =1500 二维随机变量及其函数的数学期望计算公式：例99设二维随机变量的概率密度为求。求解程序：syms x yf=x+y;Ex=int(int(x*y*f,y,0,1),0,1)运行结果：Ex =1/39.3.2 方差设是一个随机变量，若存在，则称为的方

15、差，记为。即9.3.3 常见分布的数学期望和方差MATLAB提供了常见分布的均值和方差的计算函数，其调用格式如下：函数调用格式 对应的分布M,V=betastat(a,b) 分布M,V=binostat (n,p) 二项分布M,V=chi2stat(v) 卡方分布M,V=expstat(mu) 指数分布M,V=fstat(v1,v2) F分布M,V=gamstat(a,b) 伽马分布M,V=geostat(p) 几何分布M,V=hygestat(M,K,n) 超几何分布M,V=normstat(mu,sigma) 正态分布M,V=lognstat(mu,sigma) 对数正态分布M,V=poi

16、sstat(lambda) 泊松分布M,V=raylstat(b) 瑞利分布M,V=tstat(v) 学生氏t分布M,V=unidstat(n) 离散均匀分布M,V=unifstat(a,b) 连续均匀分布M,V=weibstat(a,b) 威布尔分布9.3.4 协方差及相关系数随机变量与的协方差：。随机变量与的相关系数：。设是容量为的二维样本，则样本的相关系数为：相关系数常常用来衡量两套变量之间的线性相关性，相关系数的绝对值越接近1，表示相关性越强，反之越弱。用cov函数计算样本协方差矩阵。其语法格式为：C=cov(X)C=cov(X,Y)=cov(X,Y) 其中X，Y为长度相等的列向量。对

17、于单一矢量而言，cov(X)返回一个包含协方差的标量。对于列为变量观测值的矩阵而言，cov(X)为协方差矩阵。cov函数的算法为：n,p=size(X);Y=X-ones(n,1)*mean(X);C=Y*Y./(n-1)用函数计算样本数据的相关系数矩阵。R=corrcoef(X)：返回源于矩阵的相关系数矩阵。例910程序：%协方差的计算x=1050 1100 1120 1250 1280;a=cov(x)n,p=size(x);y=x-ones(n,1)*mean(x);b=y*y/(n-1)运行结果：a =9950b =9950例911程序：%协方差阵的计算x=1050 1038;1100

18、 1089;1120 1118;1250 1256;1280 1300;a=cov(x)n,p=size(x);y=x-ones(n,1)*mean(x);b=y*y/(n-1)运行结果：a = 1.0e+004 * 0.9950 1.1200 1.1200 1.2626b = 1.0e+004 * 0.9950 1.1200 1.1200 1.26269.3.5 矩和协方差矩阵MATLAB中可以利用moment函数计算样本的中心矩。该函数的调用格式为：m=moment(X,order)：返回X的order阶中心矩。对于矢量，moment(X,order)函数返回X数据的指定阶次中心矩。对于矩

19、阵，moment(X,order)返回X数据的每一列的指定阶次中心矩。注意：一阶中心矩为0，二阶中心矩为用除数n（而非n-1）得到的方差，其中n为矢量X的长度或是矩阵X的行数。如果维随机变量两两之间的协方差都存在，则它们构成的矩阵称为这个随机变量的协方差矩阵。在MATLAB中，协方差矩阵仍然用cov函数计算。9.4样本描述采集到大量的样本数据以后，常常需要用一些统计量来描述数据的集中程度和离散程度，并通过这些指标来对数据的总体特征进行归纳。描述样本数据集中趋势的统计量有算术平均、中位数、众数、几何均值、调和均值和截尾均值等。描述样本数据离散趋势的统计量包括极差、平均差、平均绝对差、方差和标准差

20、等。9.4.1 集中趋势 几何均值样本数据的几何均值：。用geomean函数计算几何均值。m=geomean(X)：计算样本的几何均值。对于矢量，geomean(X)为数据X中元素的几何均值。对于矩阵，geomean(X)为一行矢量，包含每列数据的几何均值。 调和均值样本数据的调和平均值。用harmmean函数计算样本数据的调和平均值。m=harmmean(X)：计算样本的调和平均值。对于矢量，harmmean(X)函数为X中元素的调和平均值。对于矩阵，harmmean(X)函数为包含每列元素调和平均值的行向量。 算术平均值样本数据的算术平均值。用mean函数计算矢量和矩阵中元素的均值。语法格

21、式为：m=mean(X)：对于矢量，mean(X)为X中元素的均值。对于矩阵，mean(X)为包含X中每列元素均值的行矢量。 中值用median函数计算矢量和矩阵中元素的中值。该函数的调用格式为：m=median(X)：计算样本数据的中值。中值是样本数据中心趋势的稳健估计，因为异常值的影响较小。对于矢量，median(X)为X中元素的中值。对于矩阵，median(X)为包含X中每列元素中值的行矢量。计算中值需要首先进行排序，因此计算大型矩阵的中值矢量时比较费时。 截尾均值对样本数据进行排序以后，去掉两端的部分极值，然后对剩下的数据求算术平均值，得到截尾均值。用函数trimmean计算截尾均值m

22、=trimmean(X,percent)：剔除测量值中最大和最小0.5*percent%的数据以后，计算样本X的均值。截尾均值为样本位置参数的稳健性估计。若数据中异常值，截尾均值为数据中心的一个更有代表性的估计。若所有数据取自同一分布的总体，则使用样本均值比使用截尾均值更有效。例912程序：%计算截尾均值x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19;xbar=mean(x)xtrim=trimmean(x,10)y=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1000;ybar=mea

23、n(y)ytrim=trimmean(y,10)ztrim=;for k=10:15z=0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1000 2000;zbar=mean(z);ztrim(k-9)=trimmean(z,k);endzbarztrim运行结果：xbar =10xtrim =10ybar =56.6667ytrim =10zbar =138.6957ztrim = 54.0909 54.0909 54.0909 54.0909 10.0000 10.00009.4.2 离中趋势描述离散趋势的统计量包括均值绝对差、极值、

24、方差和标准差等。 均值绝对差用mad函数计算数据样本的均值或中值绝对差（MAD）。y=mad(X)：计算X中数据的均值绝对差。如果X为矢量，则y用mean(abs(X-mean(X)计算；如果X为矩阵，则y为包含X中每列数据均值绝对差的行矢量。y=mad(X,0)：与y=mad(X)相同，使用均值。y=mad(X,1)：y=median(abs(X-median(X)。例913程序：%计算均值绝对差x=5 20 60;55 520 660;m,n=size(x);for j=1:n y(j)=mean(abs(x(:,j)-ones(m,1)*mean(x(:,j);endy=yz=mad(x

25、)运行结果：y = 25 250 300z = 25 250 300 极差极差指的是样本中最小值与最大值之间的差值。y=range(X)：返回极差。对矢量而言，range(X)为X中元素的极差。对矩阵而言，range(X)为包含X中列元素极差的行矢量。 方差y=var(X)：计算X中数据的方差。对矢量而言，var(X)为X中元素的方差；对矩阵而言，var(X)是包含X中每一列元素方差的行矢量。通过除以n-1(n是样本大小)来达到标称化。对于正态分布数据，这使var(X)成为的最小方差无偏估计量。y=var(X,1)：除以n(n是样本大小)，是样本数据的二阶矩。y=var(X,w)：使用权重矢量

26、w计算方差。w中元素的个数必须等于矩阵X的行数。对于矢量X，w和X必须在长度上匹配。w的每一个元素必须为正。注意：令SS为X矢量中元素与其均值之间的离差平方和，则var(X)SS/(n-1)为的最小方差无偏估计量，var(X,1)SS/n为的最大似然估计量。例914程序：%说明方差的算法x=-2 1;-1 5;1 3;2 7;w=1;2;3;4;v11=var(x)v12=var(x,0)v2=var(x,1)v31=var(x,w)m,n=size(x);xbar=zeros(1,n);for j=1:n xbar(j)=(x(:,j)*w./sum(w);endv32=zeros(1,n)

27、;for j=1:n v32(j)=(x(:,j)-xbar(j).2)*w./sum(w);endv32运行结果：v11 = 3.3333 6.6667v12 = 3.3333 6.6667v2 = 2.5000 5.0000v31 = 2.0100 4.3600v32 = 2.0100 4.3600 标准差样本数据的标准差,。y=std(X)：计算X中数据样本的标准差。对于矢量X，std(X)为X中元素的标准差；对于矩阵，std(X)为包含X中每一列标准差的行矢量。9.4.3 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。正态总体的几个常用统计量的分布包括分布、分布和分布。下面给出用MATLAB进行这

28、三大分布有关的计算表。表91用MATLAB进行分布有关的计算表函数名类别调用格式chi2pdf概率密度函数chi2pdf(x,v)chi2cdf累积分布函数chi2cdf(x,v)chi2inv逆累积分布函数chi2inv(P,v)chi2stat统计量估计M,V=chi2stat(NU)表92用MATLAB进行分布有关的计算表函数名类别调用格式tpdf概率密度函数tpdf(x,v)tcdf累积分布函数tcdf(x,v)tinv逆累积分布函数tinv(P,v)tstat统计量估计M,V=tstat(NU)表93用MATLAB进行分布有关的计算表函数名类别调用格式fpdf概率密度函数fpdf(x

29、,v1,v2)fcdf累积分布函数fcdf(x,v1,v2)finv逆累积分布函数finv(P,v1,v2)fstat统计量估计M,V=fstat(v1,v2)9.5参数估计 参数估计的内容包括点估计和区间估计。MATLAB统计工具箱提供了进行最大似然估计的函数，可以计算待估参数及其置信区间。利用专门的参数估计函数，可以估计服从不同分布的函数的参数。9.5.1 点估计点估计是用单个数值作为参数的估计，常用的方法有矩法和最大似然法。 矩法某些情况下，待估参数往往是总体原点矩或原点矩的函数，此时可以用取自该总体的样本的原点矩或样本原点矩的函数值作为待估参数的估计，这种方法称为矩法。例如，样本均值总

30、是总体均值的矩估计量，样本方差总是总体方差的矩估计量，样本标准差总是总体标准差的矩估计量。用计算矩的函数moment(X,order)进行估计。例915对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9试估计总体的均值和方差。求解程序：%矩法估计x1=29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29

31、.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;muhat=mean(x)sigma2hat=moment(x,2)%样本二阶中心矩var(x,1)运行结果：muhat = 28.6950sigma2hat =0.9185ans=0.9185 最大似然法最大似然法是在待估参数的可能取值范围内进行挑选，使似然函数值（即样本取固定观察值邻域内的概率）最大的那个参数值即为最大似然估计量。由于最大似然估计法得到的估计量通常不仅仅满足无偏性、有效性等基本条件，还能保证其为充分统计量，所以，在点估计和区间估计中，一般推荐使用最大似然法。用函数mle进行最大似然估计。该函数的常见调用格式为：phat=m

32、le(dist,data)使用data矢量中的样本数据，返回dist 指定的分布的最大似然估计(MLE)。例916对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9设行驶里程服从正态分布，试用最大似然估计法估计总体的均值和方差。求解程序：%最大似然估计x1=29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0

33、 29.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;p=mle(norm,x);muhatmle=p(1)sigma2hatmle=p(2)2运行结果：muhatmle =28.6950sigma2hatmle =0.91859.5.2 区间估计求参数的区间估计，首先要求出该参数的点估计，然后构造一个含有该参数的随机变量，并根据一定的置信水平求该估计值的范围。用mle函数进行最大似然估计时，还有如下几种调用格式：phat,pci=mle(dist,data)：返回最大似然估计和95%置信区间。phat,pci=mle(dist,data,alpha)：返回指定分布的最大似然估计值和100

34、(1- alpha)%置信区间。phat,pci= mle(dist,data,alpha,p1)：该形式仅用于二项分布，其中p1为实验次数。例917对某型号的20辆汽车记录其5L汽油的行驶里程（公里），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9设行驶里程服从正态分布，求平均行驶里程的95%置信区间。求解程序：%总体均值的区间估计x1=29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29

35、.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;p,ci=mle(norm,x,0.05)运行结果：p = 28.6950 0.9584ci = 28.2348 0.7478 29.1552 1.4361即平均行驶里程的95%置信区间为（28.2348，）。9.5.3 常见分布的参数估计通过指定分布类型，使用mle函数可以求得服从多种分布的总体的参数估计量。但MATLAB统计工具箱还提供了具体函数的参数估计函数，如表94所示。例如，用normfit函数对正态分布总体进行参数估计。muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(

36、x)：对于给定的正态分布的数据x，返回参数的估计值muhat、的估计值sigmahat、的95%置信区间muci和的95%置信区间sigmaci。muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x, alpha)：进行参数估计并计算100(1- alpha)%置信区间。表94常见分布的参数估计函数及其调用格式分 布调 用 格 式贝塔分布phat=betafit(x)phat,pci=betafit(x,alpha)贝塔对数似然函数logL=betalike(params,data)logL,info=betalike(params,data)二项分布phat=binof

37、it(x,n)phat,pci=binofit(x,n)phat,pci=binofit(x,n,alpha)指数分布muhat=expfit(x)muhat,muci=expfit(x)muhat,muci=expfit(x,alpha)伽马分布phat=gamfit(x)phat,pci=gamfit(x)phat,pci=gamfit(x,alpha)伽马似然函数logL=gamlike(params,data)logL,info=gamlike(params,data)最大似然估计phat= mle(dist,data)phat,pci= mle(dist,data)phat,pci=

38、mle(dist,data,alpha)phat,pci= mle(dist,data,alpha,p1)正态对数似然函数L=normlike(params,data)正态分布muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x, alpha)泊松分布lambdahat=poissfit(x)lambdahat,lambdaci=poissfit(x)lambdahat,lambdaci=poissfit(x, alpha)均匀分布ahat,bhat=unifit(x)ahat,bhat,aci,

39、bci=unifit(x)ahat,bhat,aci,bci=unifit(x, alpha)威布尔分布phat=weibfit(x)phat,pci=weibfit(x)phat,pci=weibfit(x, alpha)威布尔对数似然函数logL=weiblike(params,data)logL,info=weiblike(params,data)例918用normfit函数求解例917。解：由可得的置信区间：由可得的置信区间：下面的程序是为了比较mle函数和normfit函数的功能。程序：%用normfit函数求区间估计x1=29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7

40、29.9 28.0 27.9 28.7;x2=28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9;x=x1 x2;a=0.05;muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x,a);p,ci=mle(norm,x,a);n=numel(x);format longmuhatp1=p(1)sigmahatsigmahat1=var(x).0.5p2=p(2)mucicisigmacimuci1=muhat-tinv(1-a/2,n-1)*sigmahat/sqrt(n),muhat+tinv(1-a/2,n-1)*sigmahat/sqrt(n)sigmaci1=(n-1).*sigmahat.2/chi2inv(1-a/2,n-1).0.5,(n-1).*sigmahat.2/chi2inv(a/2,n-1).0.5运行结果：muhat=28.000p1=28.000sigmahat=0.544sigmahat1=0.544p2=0.198muci = 28.985 29.016ci = 28.985 0.480 29.016 1.229sigmaci = 0.480 1.229muci1 = 28.985 29.016sigmac