2022年旋转几何证明教学文稿.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流巧用旋转解题温州市实验中学周利明传统几何中， 有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1利用旋转求角度的大小例 1：在等腰直角ABC中, ACB=90 ,AC=BC, P 是 ABC内一点 , 满足 PA=6、PB=2、PC=1求 BPC的度数 . 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为AC=BC

2、，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将APC绕点 C逆时针旋转090，得CPB, 连接PP，通过三角形的边与角的关系分别求得PCP和PBP，就可得到BPC的大小。解：由已知AC=BC ，将APC绕点 C逆时针旋转090，得CPB, 连接PP；由旋转可知：ACPCBP，PCCP，APBP；090ACBPCBCBP，CPP是等腰直角三角形，045PPCPCP且2PP，在PBP中，22222222(2)6(6)PBPPAPBP，PBP是直角三角形，且090PBP，0001359045PBPPCPBPC例 2：如图所示 , 正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q分别为边AB 、AD上的点 ,A

3、PQ的周长为2，求PCQ的大小分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC, 所以可以考虑将PBC绕点 C顺时针旋转90，易证 E、D、Q三P A B C P精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流点共线，通过证明ECQ和PCQ全等即可求得PCQ的大小解： BC=DC ， 将PBC绕点 C顺时针旋转90得EDC；090CB

4、PEDC，PCBECD，PBED，CPCE；090PCQDCQPCBPCQDCQECD，且0180CDAEDC， E、D、Q三点共线，APQ的周长为 2，即2PQAPAQ，又 2ADABQDPBAPAQ，EQDQEDDQPBPQ，在ECQ和PCQ中：CQCQPQEQCPCE，ECQPCQ；045ECQPCQ练习： P为正方形内一点, 且 PA=1,BP=2,PC=3,求 APB的大小2利用旋转求线段的长度例 3：如图， P 是等边 ABC 内一点， PA=2，32PB，PC=4，求 BC 的长。分析：本题BC 虽然和 CP、BP 同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从已知条件入手是比

5、较困难的，但是我们只要适当运用旋转的方法，就可以是问题简单化；因为本题的ABC 是等边三角形，所以其三边是相等的，因此联想到将ABC 内部的某个三角形进行旋转也是比较容易的；解：ABC 是等边三角形，A B D C Q E P P A C E B A D C B P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 将 BPA 绕点 B 逆时针旋转60，则 BA 与 BC 重合，ABPE

6、BC且 BP=BE ，PA=EC，连接 EP；060CBPEBCCBPABP，EBP是等边三角形，32PBEP 在ECP中：22222162)32(CPECEP；090CEP，PCEC21，030EPC，090BPC，7228)32(42222PBPCBC例 4：如图，在梯形ABCD 中，AD/BC （BCAD ） ， D=90， BC=CD=12 ， ABE=45 ，若 AE=10 。求 CE 的长度。分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易直接求得 CE 的长度，还需要做一些变化，经观察容易发现把把BCE 绕点 B 顺时针旋转 90，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出边之间的关系

7、。解：把 BCE 绕点 B 顺时针旋转90得BGF，连接AG，易证 A、G、F 三点一线，且易知四边形BCDG 为正方形由旋转可得：GBFCBE，BFBE，045ABE，045CBEABGGBFABGABF 在ABE和ABF中：ABABABFABEBFBE， 在ABEABF，10AFAE，设xCE，则xAG10，xxAGDGAD2)10(12，xCEDCDE12；在ADERt，222DEADAE，即222)12()2(10 xx；A D B C G F E 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

8、3 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流024102xx，解之得：;6,421xx CE 的长为 4 或 6练习 2：如图四边形ABCD 中，AB=AD ， A=C=90 ，其面积为16，求 A到 BC的距离3利用旋转探求线段之间的关系例 5： 如图，在凸四边形ABCD 中， ABC=30 ， ADC=60 ， AD=DC ， 求证：222BCABBD分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中，由于 AD=DC

9、，所以可以考虑将ADB绕点 D 顺时针方向旋转60，使 AD和 DC重合，这样就可以得到BCERt，然后通过证明DBE是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系解：将ADB绕点 D 顺时针方向旋转60，使 AD和 DC重合，得DCE并连接EB，由旋转可得：CDEADB，DABDCE，DEDB；060ADCADEBDCCDEBDCBDE，DBE是等边三角形，BEDB，0270DABDCBDCEDCB090BCE，BCERt中：222BCCEBE，2222BCCEBEBD例 6：如图，在ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，D、 E 在BC 上， DAE=45 ，求证：222DEBECD分

10、析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直角三角形中，再由AB=AC, 我们不难想到将ADC绕点 A 延顺时针方向旋转90，A B D C E A B E D C F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流这样我们就将DC、BE放到了同一个三角形中，同时我们也不难证明090FBE，然后我们只要设法证明AFEAED， 则

11、结论可得解： AB=AC，将ADC绕点 A 延顺时针方向旋转90得AFB，连接EF，由旋转可得：CADFAB，045ACDFBA，DCFB，ADAF；045EAD，045FAEFABBAECADBAE，在AFE和AED中：AEAEFAEEADADAF，AFEAED；EDEF，090ABCACDABCFBAFBEFBE是Rt，2222EDEFBEBF练习 3：如图、， ABC 是正三角形， BDC 是顶角 BDC 120o的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60o角，角的两边分别交AB 、AC 边于 M、N 两点，连接MN 探究：线段BM、MN 、NC 之间的关系，并加以证明4利用旋转求面积的大小

12、例 7： 如图正方形ABCD 中，3AB，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 BAE=30 ，DAF=15 ，求 AEF 的面积分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的，由于该题中含15，30等特殊角度，因此通过旋转ADF ，可构作出 45角，构造三角形全等，通过等积变形来解决问题是比较容易的。解：将 ADF 绕 A 点延顺时针方向旋转90得 ABG ，由旋转性质可知：AFAG，015FADBAG，009FDAABG，G BC A DE F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，

13、共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流0180AABCBG， 点 G、B、E 三点共线，又045BAEGABGAE，000045)3015(90EAF，在AFE和AGE中：AGAFGAEFAEAEAE，AFEAGE；EGEF，又060AEGAEF，ABERt中：3AB， BAE=30 ，1BE，在 RtEFC 中，000060)6060(180FEC，13BEBCEC， )13(22ECEF，) 13(2EGEF，333) 13(22121ABEGSAEG，33AEGAEFSS例 8：如图 A、B、C、D 是圆周上的四个

14、点，?ABCDACBD且弦 AB=8 ，弦 CD=6 ，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件?ABCDACBD，容易发现?ABCD正好是整个圆弧的一半，因此通过将弓形CmD 绕圆心旋转使点D 与点B 重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易解： 由于?ABCDACBD， 知?ABCD的长正好是整个圆弧的一半，将弓形 CmD绕圆心旋转，使点D 与点 B 重合（如图 2） ：则?ABC恰好为半圆弧， AC 为eO 的直径， ABC=90 ， 由勾股定理可求得10AC，21156 812.52422Rt ABCSSS阴影半圆

15、图 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流练习 4：如图 ABC是等腰直角三角形， D为 AB的中点， AB=2 ，扇形 ADG 和 BDH分别是以 AD 、BD为半径的圆的41，求阴影部分面积参考答案：练习：0135， 提示：如图将BPC逆时针旋转090得AEB， 连接PE， 分别求得APE和BPE练习 2：距离为 4，如图通过旋转变换得正方形练习3：MNNCBM

16、，把 BDM绕点D 顺时针旋转120得到CDM，易证DMNCDM练习 4：1(1)2，将扇形 BDH和BDC 绕 D点顺时针旋转180观察巧旋转妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。一. 通过旋转，解答角度问题例 1. 如图 1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。求 APB 的度数。A D C B E

17、P 练习 1 练习 2 练习 3 练习 4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 1 解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将 PAC 绕点 A 逆时针旋转60后，得到 FAB ，连接 PF（如图 2），则 BF=PC=10，FA=PA=6 ，FAP=60 。 FAP 是等边三角形，FP=PA=6。在 PBF 中， BPF=90 APB=

18、APF+ FPB=60+90=150精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 2 二. 通过旋转，计算线段长度问题例 2. 如图 3， P是正 ABC 内一点，PA=2，PC=4，求 BC 的长。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 43 页 - - - - - -

19、- - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 3 解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。将 BPA 绕点 B 逆时针旋转60，则 BA 与 BC 重合（如图4）， BP=BM ，PA=MC ，连接 MP。则 MBP 是正三角形，即，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流由，故 CMP=90，因为，所以 MPC

20、=30 ，又因为 MPB=60 ，故 CPB=90，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流得图 4 例 3. 如图 5， 在梯形 ABCD 中，AD/BC（BCAD ） ， D=90，BC=CD=12 ， ABE=45 ，若 AE=10 。求 CE 的长度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

21、- - - -第 12 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 5 解析：经观察，把BCE 绕点 B 顺时针旋转90，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，找出边之间的关系。延长 OA，把 BCE 绕点 B 顺时针旋转90，与 DA 的延长线分别交于点G，点 M（如图 6），易知四边形BCDG 为正方形。BC=BG 又 =CBE=GBM RtBECRtBMG BM=BE ， ABE= ABM=45 ABE ABM AM=AE=10 设 CE=x，则。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

22、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流在 RtADE 中，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流所以 CE 的长为 4 或 6。图 6 三. 通过旋转，巧算面积问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

23、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 4. 如图 7，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、 CD 上，且 BAE=30 ， DAF=15 ，求 AEF 的面积。图 7 解析：由于该题中含15， 30等特殊角度，通过旋转ADF ，可构作出45角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将 ADF 绕 A 点顺时针旋转90到 ABG 的位置（如图8），由旋转性质可知：AG=AF ，BAG= FAD=15 ，故 GAE=15

24、 +30=45。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 EAF=90 GAE= FAE 又 AE=AE AEG AEF（SAS）EF=EG， AEF=AEG=60 在 RtABE中， BAE=30 ，则BE=1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 43 页 -

25、- - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流在 RtEFC 中， FEC=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供

26、收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 8 例5. 如图9，A、B、C、D是圆周上的四个点，。 且弦 AB=8 ， 弦 CD=4， 则图中两个弓形 （阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 9 解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

27、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流由于，知长等于圆的周长的一半，将弓形CmD 绕圆心旋转，使点D 与点 B 重合（如图10），则恰好为半圆弧， 此时 AC 为圆 O 的直径，从而 ABC=90 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有

28、侵权请联系网站删除只供学习与交流由勾股定理可求得，故其面积和为15.4。图 10 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流四. 通过分割、旋转、拼接平行四边形例 6. 如图 11，已知四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能

29、”，请简要说明理由。图 11 解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12，取四边形ABCD 各边的中点E、G、F、H，连接 EF、GH，则 EF、GH为裁剪线， EF、GH 将四边形 ABCD 分成 1、2、3、 4 四个部分，拼接时，图中的1 不动，将 2、4 分别绕点 H、F 各旋转 180， 3 平移，拼成的四边形满足条件（如图13）。图 12 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 43 页 - - - - - - -

30、- - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 13 五. 通过旋转巧证三点一直线例 7. 已知，点 P是正方形 ABCD 内的一点，连接PA、PB、PC。（1）将PAB绕B点顺时针旋转90到的位置（如图14）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 设AB的 长 为a ， PB的 长 为b （ ba ） 。 求 PAB旋 转 到 的过程中边PA 所扫

31、过区域 （图 14 中阴影部分）的面积。若 PA=2，PB=4， APB=135 ，求 PC 的长。图 14 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（2）如图 15，若，请说明点P 必在对角线 AC 上。解析：要说明点P 必在对角线AC 上（即点 A、点 P、点 C 三点成一直线）关键是弄懂第（ 1）小题的问题，实质第（1）小题的解答过程为第（2）问埋下伏笔，让学生从中受到启

32、发，运用类比方法就易解答该题，简答如下：（1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 15 如图 16，连接，将 PAB 绕 B 点顺时 针 旋 转90 到 的 位 置 ， 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 43 页 - - - - - - - - - -

33、 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流。AP=，APB=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流为等腰直角三角形，。PC=6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵

34、权请联系网站删除只供学习与交流图 16 （2）将PAB绕点B顺时针旋转90到的位置（如图17）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流则，APB=，连接精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 32 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有

35、侵权请联系网站删除只供学习与交流，则。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 33 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流即点 P 必在对角线AC 上。图 17 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 34 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流六

36、. 通过旋转探求线段之间的关系例 8. 如图 18， E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点， AF 平分 EAD 交 CD 于点 F。 求证：AE=BE+DF 。图 18 解析：解此题的关键是如何把分散的三条线段集中到一个三角形中，经观察可通过旋转三角形达到目的。将 ADF 绕点 B 顺时针旋转90到 ABG （如图 19），由旋转性质可知：ADF ABG 。则 DF=BG ，BE+DF=BE+GB=GE 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 35 页，共 43 页 - - - - -

37、- - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流在 AGE 中，AE=GE AE=BE+DF 图 19 例 9. 操作：如图20， ABC 是正三角形，BDC 是顶角 BDC=120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、 AC 边于 M、N 两点，连接MN 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 36 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 20 探究：线段BM

38、、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的思路，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少三步）；（2）在你经历说明（1）的过程中，可以从下列中选出一个补充或更换已知条件，完成你的证明：AN=NC （如图 21）； DM/AC （如图 22）图 21 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 37 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图 22 附加题： 若点 M、N 分别

39、是射线AB、CA 上的点， 其它条件不变， 再探线段 BM 、MN 、NC 之间的关系，在图22 中画出图形，并说明理由。图 23 解析：解此题的关键是如何将MN 、BN、CN 三条线段集中起来，根据题设条件，通过旋转，再借助三角形全等进行证明。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 38 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流把BDM绕点D顺时针旋转120得到。（如图24），由旋转性质可知DBM ，则BM=，精品资料

40、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 39 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流DM=，BDC=。 MDN=60 。DN=DN 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 40 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 MDN （ SAS）图 24 精品资料

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