等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(共13页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:,称为公比2、通项公式:,首项:;公比:推广:3、等比中项:(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(2)数列是等比数列4、等比数列的前项和公式:(1)当时,(2)当时,(为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的,都有为等比数列(2)等比中项:为等比数列(3)通项公式:为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若或为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何,在等比数列中,有。(3)若,则。特别的,当时,得 注:等差和等比数列比较:等差数列等
2、比数列定义递推公式;通项公式()中项()()前项和重要性质经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,, ,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.解析:法一:设此数列公比为,则由(2)得:.(3) .由(1)得: , .(4)(3)(4)得:, ,解得或当时,;当时,.法二:,又, 、为方程的两实数根, 或 , 或.总结升华: 列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一
3、反三:【变式1】an为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【答案】96法一:设公比为q,则768=a1q8,q8=256,q=2,a6=96;法二:a52=a1a9a5=48q=2,a6=96。【变式2】an为等比数列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;,又an0,a45=4。【变式3】已知等比数列,若,求。【答案】或;法一:,从而解之得,或,当时,;当时,。故或。法二:由等比数列的定义知,代入已知得将代入(1)得,解得或由(2)得或 ,以下同方法一。类型二:等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.
4、解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1.由得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故,所以。举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】;,。【变式2】已知:an为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【答案】;,则a1=1或a1=9.【变式3】在等比数列中,求和。【答案】或2,;,解方程组,得 或将代入,得,由,解得;将代入,得,由,解得。或2,。类型三:等比数列的性质例3. 等比数列中,若,求.解析: 是等比数列,
5、 举一反三:【变式1】正项等比数列中,若a1a100=100; 则lga1+lga2+lga100=_.【答案】100;lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。【答案】216;法一:设这个等比数列为,其公比为,。法二:设这个等比数列为,公比为,则,加入的三项分别为,由题意,也成等比数列,故,。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求
6、。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。解析:法一:令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an),b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比数列,S3n=b3+S2n=3+60=63.法二:,由已知得得,即 代入得,。法三:为等比数列,也成等比数列,。举一反三:【变式1】等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=_.【
7、答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=?【答案】130;法一:S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20) 即302=10(S30-40),S30=130.法二:2S10S20,, , .【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【答案】 ,(否则)=80
8、 .(1)=6560.(2),(2)(1)得:1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数,由(3)知q1an为递增数列,an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得,q=3,n=4.【变式4】等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.【答案】4;令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知:b1, b2, b3成等比数列,b3=4,即a5+a6=4.【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+
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