练习题5第二类曲面积分(共25页).doc

《练习题5第二类曲面积分(共25页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《练习题5第二类曲面积分(共25页).doc（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上第九章练习题5：对坐标的曲面积分 王克金基本概念1. 设为平面在第一卦限的部分的上侧 ，将化为对面积的曲面积分的结果为 答案：解 第二型曲面化为第一型曲面积分，平面法向量为，单位化得 变成二重积分2.设为Z=0（）的上侧 ，则=（ ）（A） （B）（C） （D）0答案：（C）解 ，选C2.设曲面为Z=0，方向向下，D为平面区域：，则=（ ）C（A）1 （B） （C） （D）0答案：（C）解 投影区域为D，下侧取负，选C，B与C矛盾，计算结果为-2，A,D不成立。3.已知曲面为在第一卦限部分且方向向下，则=（ ） 答案：（B）解 在面的投影由围成。由于平面取下侧，化为二

2、重积分取负号，C,D被积函数错误，A符号错误，故选B4.计算，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.解 因为中没有，在的投影为0，所以在面的投影在面的投影；5. 为柱面被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限内的部分，方向向外,则= 答案：解 因为中没有，所以6.计算，其中是球面外侧在的部分。解 利用曲面积分的可加性，“一代二投三定向”，并注意利用极坐标计算二重积分。的上侧；的下侧7.计算,其中是球面的下半部分的下侧.解 利用“一代二投三定向”计算注:后一积分作代换8.计算，其中是抛物面介于及之间的部分的下侧。解 利用积分的可加性，并注意用对称性。首先，计算其中 ， ，前侧；，后侧

3、。其次，于是，原积分9.计算，其中是曲面介于之间部分的下侧。解 将积分曲面投影到面，并注意利用对称性.在面的投影为10.计算，式中连续，是长方体的外表面。解 利用曲面积分的可加性，直接计算的后侧；的前侧；的左侧；的右侧；的下侧；的上侧。则 同理可得：所以 奇偶性，对称性1.设为球面,为其上半球面,则( )式正确. (A); (B);(C). (D) 答案：（B）解 (A)和(D)为第一类曲面积分，曲面没有方向，(A)的左边(D)的左边故(A)和(D)都错第一类曲面积分的偶倍奇零定理 若关于面对称（的方程中以偶函数形式出现）（1）关于为奇函数，则；（2）关于为偶函数，则(B)和(C)都是第二类曲

4、面积分，曲面有方向为球面外侧，上侧，下侧(B)的左边(B)正确(D)的左边第二类曲面积分的偶零奇倍定理 若关于面对称（的方程中以偶函数形式出现）（1）关于为奇函数，则；（2）关于为偶函数，则若关于面对称（的方程中以偶函数形式出现）（1）关于为奇函数，则；（2）关于为偶函数，则2设是球面的外侧，则=（ ）A（A）0 （B） （C） （D）答案：（A）解 积分变量和，关于面对称，被积函数关于为偶函数，结果为零或3. 设为球面的上半部分的上侧，则下列式子错误的是（ ）(A); (B);(C) (D) 答案：（C）解 积分变量和，关于面对称，A,B，D的被积函数关于为偶函数，都正确C的被积函数关于为奇

5、函数，C错了。或者添加辅助平面下侧，可用高斯公式，C的结果为4.设为球面，为有向曲面取外侧，在下列四组积分中，同一组两个积分均为零的是（ ） 答案：（B）解 由对称性，关于某个自变量，面积曲面积分为奇函数，对坐标曲面积分为偶函数时，积分值为0，故A,C,D不能同时满足上条件，B满足，选B5. 为球面，对坐标曲面积分，取外侧，取上侧，下面运算正确的是（ ）A 答案：（A）解B被积函数关系错误，C左边积分不为0，D左边为0，右边不为0，A由性质知成立。6. .设为球面的外侧，则必有（ ）B =0答案：（B）解 积分曲面关于对称，关于偶函数积分值为0，关于奇函数积分值为折半曲面的2倍，故A,D不成立

6、，C倍数关系不对，选B7.设为球面的外侧，则等于（ ） 答案：（B）解 积分曲面关于对称，被积函数关于变量为奇函数，故积分值为2倍上半球面积分值，化为二重积分，选B，结果大于0，C不选，A值不对，D被积函数不能含。8.设.设为球面的外侧，是面上的圆域，则下述表示正确的是（ ） = 以上都不对答案：（C）解 A倍数关系不对，B左边不为0，右边为0，C由对称性知成立，C成立D就不成立，选C9计算其中是由曲面及平面所围成立体表面外侧；解 等号右边第二项：积分曲面关于对称，关于偶函数积分值为0又 所以 三合一（二合一，改变积分变量）1.计算，其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧.解 ：2.设为平

7、面在第四卦限的上侧，为连续函数，则= 答案：解 过程见前题3.设是旋转抛物面的外侧，是平面上圆域，则 可化为二重积分（ ） A 答案：（A）解：，由同一法，被积函数可化为，外侧是下侧，化为二重积分取负号，故选A，其余明显不符。高斯公式1.若是空间区域的外表面,下述计算中运用高斯公式正确的是( ). (A) (B) (C) （D） 答案：（B）解 A中右边被积函数错误，B正确，C符号错误，D被积函数错误。2.计算，其中是平面所围成的立方体的全表面的外侧。解 题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用化为直角坐标的三次积分3.计算，其中为平面所围成立体表面的外侧。解设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再化

8、为三次积分.不妨设。利用高斯公式4. 设为球面的外侧，则曲面积分_答案： 解 由高斯公式，5.计算，其中为球面的外侧。解题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.6. 设为曲面的外侧，则=_ 答案：解 由高斯公式积分=7.设是由半球面与锥面所围成区域，是的整个边界的外侧，则=_ 答案：解 利用高斯公式，原积分化为3倍体积，利用球坐标三重积分计算可得。8.计算，其中具有连续的导数，为锥面与两球面所围立体的表面外侧。解 利用高斯公式消去被积函数中的,再用高斯公式计算. 9 计算，其中为上半球体表面的外侧。解 题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.10.计算曲面积

9、分.其中是由曲面与平面所围成的半球体的表面外侧.解已为闭曲面,用高斯公式转为三重积分,并用球面坐标计算三重积分.11.用高斯公式计算曲面积分.其中是由曲面与平面所围成的半球体的表面外侧.解 积分曲面已为闭,用高斯公式转为三重积分计算,空间区域为半球,用球面坐标.12.求曲面积分，其中是球面外侧在的部分。解 补充辅助面构成闭曲面,用高斯公式.添加辅助平面，取下侧，与围成的空间区域为，于是 13. 为球面的外侧，则=（ ）(A） （B） （C） （D）答案：（D）解 添有向平面取下侧，则，故有结果为D14.设为球面的外侧，则=（ ）（A）0 （B） （C） （D）答案：（B）解 原式=15 设为球

10、面的上半部分的上侧,在求时，需要补充曲面后使用Gauss公式，下面补法正确的是（ ） B（A）取下侧（B） ，其中 以原点为心的单位球面上半部分取下侧（C）取下侧 （D取上侧答案：（B）解 A,C,D均包含原点，在该点不连续，故只有B可选。16.计算曲面积分，其中为上半球面的上侧。解 首先,将曲面方程代入被积函数化简曲面积分;其次,添加辅助面用高斯公式;再者,空间区域为半球体,用球面坐标计算或先重后单计算三重积分.作辅助平面取下侧。17.计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。解 补充辅助面，用高斯公式.设，取下侧。与围成的区域为，在面的投影区域为，于是有18.计算曲面积分，其中为上半球面

11、上侧。解 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.设，取下侧。与围成的区域为，在面的投影区域为，于是有19.计算，为半椭球面的上侧。解 添加椭圆面,构成闭曲面用高斯公式.注意对称性的使用.取为椭圆面的下侧，则 （是关于轴、轴对称，且分别是关于的奇函数） 20.计算曲面积分,其中,方向取外法线方向.解 由高斯公式令，则，故，故，同样，故21.计算为锥面被平面与所截出的部分外侧。解 直接利用投影计算曲面积分.在面的投影为，于是22.计算为锥体的表面，为此曲面外法线方向余弦。解 23.计算，其中为曲面夹在平面及之间的部分，为此曲面的外法线的方向余弦。解 添加辅助面，取上侧，与构成闭区域，用高斯公式，用球

12、面坐标计算三重积分而于是24. 设是锥面下侧，则= 答案：解 无法直接利用高斯公式，需补，取上侧， =，故有结果25.用高斯公式计算，其中是由柱面所围立体的表面外侧.解 直接用高斯公式,并用球面坐标计算三重积分.由高斯公式,并用柱面坐标原式26.利用高斯公式计算曲面积分其中为柱面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 直接用高斯公式,由于是柱面体,用柱面坐标较方便.27.利用高斯公式计算曲面积分，其中的整个边界曲面的外侧。解 28. 为柱面被平面Z=0和Z=3所围成封闭曲面外侧,则= 答案：解 有高斯公式，积分化为，注意到积分区域关于面对称，在利用柱坐标计算可得29.计算曲面积分,其中为柱面

13、及平面所围区域的外侧.解:由高斯公式30.计算曲面积分，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的夹角为锐角。解 添加辅助面构成闭曲面，同时注意对称性的使用.添加平面，取下侧。设与围成的区域为，在面的投影为，利用高斯公式可得31. 设是有向曲面，其法向量与轴正向夹角为锐角，则= 答案：解 无法直接利用高斯公式，需补，取下侧， =，故有结果32.设为曲面的上侧,计算曲面积分解 设为平面上被所围部分的下侧, 与所围成的空间区域记为,则由于所以33.计算积分，其中的方程为，它的法向量与轴正向的夹角为钝角。解 添加辅助面用高斯公式.加一曲面，取外法向右侧，为与所围立体。设 34.设立体由曲面与平面所围（），的

14、外表面为，的体积为，证明证 应用高斯公式，并注意对称性的使用35.设空间区域是由曲面与平面围成，其中为正整数，记 的表面外侧为，的体积为，则 。答案：解 由高斯公式，原积分=，由性质得36.计算曲面积分，其中是曲面的上侧。解添加辅助面用高斯公式.作辅助平面，取下侧。利用高斯公式故37.计算曲面积分，这里是曲线绕轴旋转一周得到的曲面，正侧向外。解 添加辅助面构成闭曲面用高斯公式.的方程为，取的下侧，与围成的区域为，由高斯公式38.计算，其中为曲面与平面所围成的立体表面的外侧。 解 设围成的区域为，利用高斯公式取柱面坐标，则原式39.计算曲面积分，其中为曲面的上侧。解 取，下侧。与围成的立体为所以

15、40设具有连续导数，是曲面与所围成立体表面之外侧，则=（ ）（A）16 （B）-16 （C）-8 （D）因未知，故无法确定。答案：（A）解 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积，选A41.计算，其中是平面上的曲线绕轴旋转成的曲面的下侧。解补充平面构成闭曲面,用高斯公式.据旋转曲面的公式，可得为，取下侧（其中） 为（）上侧 则 = 应用1.设流速场，则流过球面的流量值=（ ）A（A）0 （B） （C） （D）1答案：（A）解 通量2.曲面积分在数值上等于（ ）C(A)向量穿过曲面的流量 (B) 面密度为的曲面的质量(C) 向量穿过曲面的流量（D）曲面的面积的平方答案：（C）解 质量为对面积的曲面

16、积分，B不成立，D显然不成立，在面上流量是方向向量，选C不选A3. 设是锥面与平面所围成的封闭曲面外侧，则向量场通过曲面的通量= 答案：解 4.求向量通过闭区域的边界曲面流向外侧的通量。解 根据通量公式,利用高斯公式计算.5.计算积分，其中是椭圆面的外侧。解 用闭曲面变形原理.设,则作球面充分小,取外侧,在与围成的空间区域上用高斯公式,有6.计算曲面积分，其中是曲面的外侧。解 用闭曲面变形原理去掉分母,再用高斯公式.令，则，但在所围成的区域内不具有一阶连续的偏导数。取的外侧，为与之间的部分，则（）7.设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求解 由题设及高

17、斯公式得式中由围成，号对应于曲面取外侧或内侧。由的任意性，可知，即由一阶线性微分方程的通解公式，可求得其通解为，由于，必有，即因此8.设为一光滑闭曲面，为上点外法线，试计算积分：，其中 解 （其中为的外法线方向余弦） 则， 在时成立 1）若不包含原点时，由高斯公式 2）若包含原点时，在内作球面充分小），取内侧，此时。于是 故 10.设在闭区或上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线为的正向边界曲线。证明：（1）（2）其中分别是沿的外法线向量的方向导数。符号称为二维拉普拉斯算子。难度等级3;知识点:曲线积分，二重积分，梯度，方向导数分析 从表达式中的方向导数入手，因为曲线积分容易转化为对应区域上的二重积分证明（1）设的外法线向量，则于是，（2）由（1）可得，两式相减，可得。专心-专注-专业