解析几何经典大题汇编(共59页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上解析几何解答题选1:如图,为双曲线的右焦点,为双曲线在第一象限内的一点,为左准线上一点,为坐标原点, ()推导双曲线的离心率与的关系式; ()当时, 经过点且斜率为的直线交双曲线于两点, 交轴于点, 且,求双曲线的方程.【答案】解:() 为平行四边形.设是双曲线的右准线,且与交于点,即6分 ()当时,得所以可设双曲线的方程是,8分设直线的方程是与双曲线方程联立得:由得.来源:学科网ZXXK由已知,因为,所以可得10分由得,消去得符合,所以双曲线的方程是14分2.已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P(0
2、,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.(1)求椭圆方程;(2)求的取值范围【答案】解:(1)设C:1(ab0),设c0,c2a2b2,由条件知a-c,a1,bc 故C的方程为:y21 (2)当直线斜率不存在时: 5分当直线斜率存在时:设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)得(k22)x22kmx(m21)06分(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0 (*) 7分x1x2, x1x2 8分3 x13x2 消去x2,得3(x1x2)24x1x20,3()2409分整理得4k2m22m2k220 m2时,上式不成立;m2时,k2, 10分k20,或把k2代入(*)得或
3、 或 11分综上m的取值范围为或 12分3.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是(1)求椭圆E的方程;(2)过点C(1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。【答案】解:(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴,且故所求方程为即3分(2)假设存在点M符合题意,设AB:代入得: 4分则 6分分要使上式与K无关,则有,解得,存在点满足题意。3.已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离大. (I)求曲线的方程; (II)过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,证明:为定值,并求出
4、此定值.【答案】解:(I)设动点,动点到点的距离比它到直线的距离多。即动点到点的距离等于它到直线的距离ABmPFBCD则两边平方化简可得: (II)如图,作设,的横坐标分别为则解得同理 解得记与的交点为 故4.如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点F,与抛物线交于两点A,B。(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;(2)设P是抛物线上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交抛物线的准线于M,N两点,证明M,N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)。【答案】解:设(1)由条件知直线1分由消去y,得2分由题意,判别式(不写,不扣分)由韦达定理,3分由抛物线的定义,从而所求抛物的方程为6分(2),易得7分
5、设。将代入直线PA的方程得9分来源:学科网ZXXK同理直线PB的方程为10分将代入直线PA,PB的方程得12分5.已知点分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上任意一点,到焦点的距离的最大值为,且的最大面积为 (1)求椭圆的方程。 (2)点的坐标为,过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。【答案解:由题意可知:a+c= +1 ,2cb=1,有a2=b2+c2来源:学科网ZXXKa2=2, b2=1, c2=1所求椭圆的方程为:设直线l的方程为:y=k(x-1)A(x1,y1) ,B(x2,y2),M(,0)来源:学科网ZXXK联立则 6.已知点分别
6、为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上任意一点,到焦点的距离的最大值为,且的最大面积为.(I)求椭圆的方程。(II)点的坐标为,过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。【答案解:(I)由题意可知:a+c= +1 ,2cb=1,有a2=b2+c2a2=2, b2=1, c2=1所求椭圆的方程为: .4分(II)设直线l的方程为:y=k(x-1)A(x1,y1) ,B(x2,y2),M(,0)联立则 7.已知函数的定义域为,解关于的不等式 .【答案】 解:因为函数的定义域为,所以恒成立2分当时,恒成立,满足题意, 3分当时,为满足 必有且,解得, 综上可
7、知:的取值范围是 6分 原不等式可化为 当时,不等式的解为:,或8分当时, 不等式的解为: 9分当 时,不等式的解为:,或 11分综上,当时,不等式的解集为:或当时, 不等式的解集为:当时,不等式的解集为:或12分8.设椭圆E:的上焦点是,过点P(3,4)和作直线P交椭圆于A、B两点,已知A().(1) 求椭圆E的方程;(2) 设点C是椭圆E上到直线P距离最远的点,求C点的坐标。【答案】解:(1)由A()和P(3,4)可求直线的方程为:y=x+11分令x=0,得y=1,即c=1 2分椭圆E的焦点为、,由椭圆的定义可知 4分 5分椭圆E的方程为 6分B 设与直线平行的直线: 7分,消去y得 8分
8、,即 9分要使点C到直线的距离最远,则直线L要在直线的下方,所以 10分此时直线与椭圆E的切点坐标为,故C(为所求。 12分9.已知抛物线的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点,交抛物线于A,B两点,其中A在第二象限。 (1)求证:以线段FA为直径为圆与Y轴相切;(2)若,求的值. 【答案】解:(1)由已知F(),设A(),则圆心坐标为,圆心到y轴的距离为. 2分圆的半径为, 4分以线段FA为直径的圆与y轴相切。 5分(3) 设P(0,),B(),由,得. 6分. 7分 10分.将变形为,. 11分将代入,整理得 12分代入得. 13分即. 14分10.已知在平面直角坐标系中,向量,OFP的面
9、积为,且 。(1)设,求向量的夹角的取值范围;(2)设以原点O为中心,对称轴在坐标轴上,以F为右焦点的椭圆经过点M,且取最小值时,求椭圆的方程。【答案】解:(1)由因为来源:学,科,网(2)设11.给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.()求椭圆的方程和其“准圆”方程.()点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点,且分别交其“准圆”于点;(1)当为“准圆”与轴正半轴的交点时,求的方程.(2)求证:为定值.【答案】解:(),椭圆方程为2分准圆方程为。 3分()(1)因为准圆与轴正半轴的交点为,设过点且与
10、椭圆有一个公共点的直线为,所以由消去,得.因为椭圆与只有一个公共点,所以,解得。 5分所以方程为. 6分(2)当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为,当方程为时,此时与准圆交于点,此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或),即为(或),显然直线垂直;同理可证方程为时,直线垂直. 7分当都有斜率时,设点,其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,则消去,得.由化简整理得:.8分因为,所以有.设的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点,所以满足上述方程,所以,即垂直. 10分综合知:因为经过点,又分别交其准圆于点,且垂直,所以线段为准圆的直径,所以=4.
11、12分12. 如图,椭圆C:焦点在轴上,左、右顶点分别为A1、A,上顶点为B抛物线C1、C:分别以A、B为焦点,其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线上一点P求椭圆C及抛物线C1、C2的方程;若动直线与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同两点M、N,已知点Q(,0),求的最小值【答案】解:()由题意,A(,0),B(0,),故抛物线C1的方程可设为,C2的方程为 1分由 得 3分所以椭圆C:,抛物线C1:抛物线C2:5分()由()知,直线OP的斜率为,所以直线的斜率为设直线方程为由,整理得 6分因为动直线与椭圆C交于不同两点,所以解得 7分设M()、N(),则8分来源:Z|xx|k.Com因为
12、所以 10分因为,所以当时,取得最小值其最小值等于 12分13. 一条斜率为1的直线与离心率e=的椭圆C:交于P、Q两点,直线与y轴交于点R,且,求直线和椭圆C的方程;【答案】e,a22b2,则椭圆方程为1,设l方程为:yxm,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y得3x24mx2m22b20,故有16m243(2m22b2)8(m23b2)03b2m2(*)x1x2m(1)x1x2(m2b2)(2)又3得x1x2y1y23,而y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2,所以2x1x2m(x1x2)m23(m2b2)m2m23,3m24b29(3)又R(0,m),3,(x1
13、,my1)3(x2,y2m)从而x13x2(4)由(1)(2)(4)得3m2b2(5)由(3)(5)解得b23,m1适合(*),所求直线l方程为yx1或yx1;椭圆C的方程为1.14椭圆的左、右焦点分别是,过斜率为1的直线与椭圆相交于,两点,且,成等差数列(1)求证:;(2)设点在线段的垂直平分线上,求椭圆的方程【答案】解:(1)由题设,得, 由椭圆定义,所以,3分设,:,代入椭圆的方程,整理得 ,(*)2分则,于是有, 4分化简,得,故, 1分(2)由(1)有,方程(*)可化为 1分设中点为,则,又,于是 2分由知为的中垂线, 由,得,解得, 2分来源:学科网ZXXK故,椭圆的方程为1分15
14、. 已知椭圆b的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(1)求椭圆的标准方程;(2)求m的取值范围.(3)试用m表示MPQ的面积S,并求面积S的最大值.【答案】解:(1)依题意可得解得 从而所求椭圆方程为4分(2)直线的方程为由可得该方程的判别式=0恒成立.设则5分可得设线段PQ中点为N,则点N的坐标为6分线段PQ的垂直平分线方程为 令,由题意7分 又,所以08分 (3)点M到直线的距离 于是 由可得代入上式,得即.11分设则来源:学科网而00m0m所以在上单调递增,在上单调递减.所以当时
15、,有最大值13分所以当时,MPQ的面积S有最大值14分16.已知为双曲线的左准线与x轴的交点,点,若满足的点在双曲线上,则该双曲线的离心率为 .(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学届高三联考)在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为 设M是抛物线上的动点,则的最大值为 .【解析】焦点,设,则,设到准线的距离等于,则 =令,则来源:学科网=(当且仅当时,等号成立)故的最大值为 17 已知双曲线的离心率为2,则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为 。18.若点P在曲线C1:上,点Q在曲线C2:(x5)2y21上,点R在曲线C3:(x5)2y21上,则 | PQ | PR | 的最大值是 10 19.设上的
16、两点,满足,椭圆的离心率短轴长为2,0为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值; (3)试问:AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析:本例(1)通过,及之间的关系可得椭圆的方程;(2)从方程入手,通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理;(3)要注意特殊与一般的关系,分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案:(1)椭圆的方程为 (2)设AB的方程为由由已知 2 (3)当A为顶点时,B必为顶点.SAOB=1 当A,B不为顶点时,设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.20.如
17、图,F为双曲线C:的右焦点 P为双曲线C右支上一点,且位于轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点 已知四边形为平行四边形, 来源:学科网ZXXK()写出双曲线C的离心率与的关系式;()当时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若,求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。解:四边形是,作双曲线的右准线交PM于H,则,又, ()当时,双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:,又,由得:,解得,则,所以为所求 21.已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于两点()若,求直线的方程;()若
18、与的面积相等,求直线的斜率解:()依题意,直线的斜率存在,因为 直线过点,可设直线: 因为 两点在圆上,所以 ,因为 ,所以 所以 所以 到直线的距离等于所以 , 得,所以 直线的方程为或 ()因为与的面积相等,所以, 设 ,所以 ,所以 即(*); 因为,两点在圆上,所以 把(*)代入,得 ,所以 所以 直线的斜率, 即 22.已知椭圆()的右焦点为,离心率为.()若,求椭圆的方程;()设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.解:()由题意得,得. 2分结合,解得,.3分所以,椭圆的方程为4分()由 得. 设.所以,6分依题意,易知,四边形
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