2022年北京市高三数学文科仿真模拟卷.pdf

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1、北京市 2012 届高三数学文科仿真模拟卷4 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知全集 UR ，集合|21xAx，1|01Bxx，则()UABIC= （A）|1x x（B）|01xx（ C）|01xx（D）|1x x（2）设,xyR，那么“0yx”是“1yx”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）已知3cos5，0，则tan()4= （A）15（B）-1 （C）17（D）7（4）双曲线221169xy的焦点到渐近线的距离为（A ）2

2、 （B）3 （C）4 （D）5 （5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2 的等边三角形 . 若三棱柱的正视图 ( 如图所示 ) 的面积为8，则侧视图的面积为（A） 8 （B） 4 （C）4 3（D）3（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是a，b，则向量( ,)a b与向量(1,1)垂直的概率是（A）512（B）16（C）13（D）12（7）已知函数2( )cosf xxx，则( 0.5)f，(0)f，(0.6)f的大小关系是（A）(0)( 0.5)(0.6)fff（B）( 0.5)(0.6)(0)fff（C）(0)(0.6)( 0.5)fff（D）( 0.5)(0)(0.6)fff（8）

3、已知点P是ABC的中位线EF上任意一点， 且/EFBC. 设ABC，PBC，PCA，PAB的 面 积 分别 为S，1S，2S，3S，记11SS，22SS，33SS， 定 义123( )(,)M P当23取最大值时，则()M P等于（A）1 1 1(,)2 4 4（B）1 1 1(,)4 4 2（C）1 1 1(, )3 3 3（D）1 1 1(,)2 2 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第二部分（非选择题共 110 分）二、填

4、空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. （9）设为虚数单位，复数z满足i1iz，则z .（10）已知向量a，b的夹角为60o，|3a，| 2b，若(2 )maa +b，则实数m的值为 . （11）如图，一艘船上午8：00 在 A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行， 上午 8： 30 到达 B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距4 2n mile ，则此船的航行速度是 n mile/h. （12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 . （13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5 次，成绩统计如下表：环数8 9 10

5、 次 数2 2 1 则这 5 次射击的平均环数为；5 次射击环数的方差为 . （14）已知区域D：2,20,10.yxyxy则22xy的最小值是；若圆 C：22()(2)2xay与区域D有公共点，则实数a的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15） （本小题满分13 分）已知函数2( )2sincos2sin1f xxxx. （）求函数( )f x的最小正周期及值域；（）求( )f x的单调递增区间. （16） （本小题满分13 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

6、 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 设na是一个公差为2的等差数列，1a，2a，4a成等比数列 . （）求数列na的通项公式na；（）数列nb满足2nanb，求12nb bbL（用含n的式子表示） . （17） （本小题满分13 分）在长方形11AAB B中，124ABAA，C，1C分别是AB，11A B的中点（如左图）.将此长方形沿1CC对折，使平面11AAC C平面11CC B B（如右图），已知D，E分别是11A B，1CC的中点 . （）求证：1C D平面1ABE；（）求证：平面1A BE平面11AA B B；（）求

7、三棱锥11CA BE的体积 . （18） （本小题满分13 分）已知函数( )xf xeax，aR. （）求函数)(xf的单调区间；（）当0,)x时，都有( )0f x成立，求实数a的取值范围 . （19） （本小题满分14 分）已知椭圆2222:1 (0)xyCabab经过点(2, 1)A，离心率为22. （）求椭圆C的方程；（）过点(3, 0)的直线与椭圆C交于不同的两点M，N，设直线AM和直线AN的斜率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - -

8、- - - 分别为AMk和ANk，求证：AMANkk为定值（20） （本小题满分14 分）对于整数,a b， 存在唯一一对整数q和r， 使得abqr，0|rb. 特别地，当0r时，称b能整除a，记作|b a，已知1, 2, 3, , 23A. （）存在qA，使得201191qr (091)r，试求q，r的值；（）若BA，12)(Bcard（()card B指集合B中的元素的个数） ，且存在,a bB，ba，b a，则称B为“谐和集” . 请写出一个含有元素7 的“谐和集”0B和一个含有元素 8 的非“谐和集”C，并求最大的mA，使含m的集合A有 12 个元素的任意子集为“谐和集” ，并说明理由

9、 . 参考答案1. C 【解析】分别把两个集合表示为0 ,1Ax xBx x，所以1UC Bx x，01 .UAC BxxI2. B【解析】当0yx时1yx成立，若1yx，则出现0yx和0 xy两种情形。 3. D【解析】由3cos5，0得44sin,tan,53所以1tantan()7.41tan4. B 【 解 析 】 由221169xy可 知 其 中 一 个 焦 点 为5,0， 一 条 渐 近 线 方 程 为3,3404yxxy，所以223 54 03.34d5. C 【解析】侧视图应为矩形，高为4，宽为323,2因此侧视图的面积为4 3.6.B【解析】连续抛两枚骰子分别得到的点数是a，

10、b的情形共有36种，而向量( ,)a b与向量(1,1)垂直，只需满足ab，共有6种情况，所以61.366P7. A 【解析】( )2sin ,fxxx则函数fx在0,0.6上单调递增，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 所以(0)(0.5)(0.6),fff又因为2( )cosf xxx是偶函数，(0)( 0.5)(0.6),fff8. A 【解析】不难发现，123123111,22，223232311,2164时取等号 . 所以

11、1231 1 1()(,),.2 4 4M P9. 1. i【解析】把1izi两边同乘以i，则11.ziii10. 2.3【解析】由(2 )maa +b得220m aa brr r，所以2923 2cos600,.3mm11. 16. 【解析】由图可知,8,sin 45sin30ABBSAB所以此船的航行速度是16n mile/h. 12. 35.【解析】依次做以下运算3,35,87,159,2411,35.nSnSnSnSnS13. 8.8,0.56.【解析】平均数为8292108.85，方差为222288.8298.821 8.80.565s. 14. 4,2,5 .【解析】画出不等式组对

12、应的平面区域，则222200 xyxy，显然过点0,2时22min4.xy当圆22()(2)2xay与两直线分别相切时，利用点到直线距离公式求得2a和5a，显然当2,5a时圆 C与区域D有公共点。（15） 【解析】（）( )sin 2cos22 sin(2)4fxxxx，4 分则函数( )f x的最小正周期是. 6 分函数( )f x的值域是2,2. 8 分（）依题意得222242kxkkZ. 10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -

13、 - 则388kxkkZ. 12 分即( )f x的单调递增区间是3,88kkkZ. 13 分16. 【解析】（）由1a，2a，4a成等比数列得：2111(2)(6)aa a. 2 分解得12a. 4 分数列na的通项公式是na=2n()nN. 6 分（）22nnb=4n()nN. 8 分则12nb bbL=1 2 .4n10 分=1(1)24n n=(1)2n n()nN. 13 分17. 【解析】（）取1AB的中点F，连接DF，EF. 1 分因为D，F分别是11A B，1AB的中点所以DF是11ABB的中位线 . 2分所以DF1BB1CC，且111122DFBBCC. 又因为E是1CC的中

14、点，所以1112C ECC. 所以DF1C E，且1DFC E. 所以四边形1C EFD是平行四边形 . 3 分所以1C DEF. 又EF平面1A BE，1C D平面1A BE，4 分所以1C D平面1ABE. 5 分（）因为111CCAC，111CCBC，且11111ACBCCI，所以1CC平面111AC B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 因为1BB1CC，所以1BB平面111AC B. 因为1C D平面111AC B，所

15、以11BBC D. 6 分又因为1111ACC B，且D是11AB的中点，所以111C DAB. 7 分因为1111A BBBBI，所以1C D平面11AA B B. 8 分由（）知EF1C D，所以EF平面11AAB B. 又因为EF平面1ABE，所以平面1ABE平面11AAB B. 10 分解： （）由已知，长方形11AA B B沿1CC对折后2ACBC，2 2AB. 所以222ABACBC. 所以BCAC，且1BCCC，1ACCCCI. 所以BC平面11AAC C. 即BC平面11A EC. 11 分所以11111113CA BEBA ECAECVVSBC. 12 分其中11111112

16、 1122A ECSACC E. 所以1111111121 2333CA BEBA ECAECVVSBC. 13 分18. 【解析】（）( )fx的定义域是,，( )xfxea. 2 分（1）当0a时，( )0fx成立，)(xf的单调增区间为,； 3 分（2）当0a时，令( )0fx，得lnxa，则( )f x的单调增区间是ln ,a. 4 分令( )0fx, 得lnxa，则( )f x的单调减区间是,ln a. 5 分综上所述，当0a时，)(xf的单调增区间为,；当0a时，( )f x的单调减精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

17、- - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 区间是,ln a，( )f x的单调增区间是ln ,a. 6 分（）当0 x时，( )10f x成立，aR. 7 分当0,x时，( )e0 xf xax成立，即0,x时，exax成立 . 设e( )xg xx，9 分所以2ee( )xxxg xx=2(1)exxx. 10 分当x(0, 1)时，( )0g x，函数( )g x在(0, 1)上为减函数； 11 分1,x时，( )0g x，函数( )g x在1,x上为增函数 . 12 分则( )g x在1x处取得最小值，(1)eg. 则ea. 综上

18、所述，0,x时，( )0fx成立的a的范围是(, e. 13 分19. 【解析】（） 由题意得22222411,2.2ababcca2 分解得6a，3b4 分故椭圆C的方程为22163xy5 分（） 由题意可设直线方程为(3)yk x，由22(3),1,63yk xxy得2222(1 2)121860kxk xk. 7 分因为直线与椭圆C交于不同的两点,MN，所以42221444(1 2)(186)24(1)0kkkk，解得11k 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页

19、 - - - - - - - - - - 设,M N的坐标分别为1122(,),(,)x yxy，则21221212kxxk，212218612kx xk，10 分11(3)yk x，22(3)yk x所以AMANkk12121122yyxx12 分122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kxkxkxkxxx121212122(51)()1242()4kx xkxxkx xxx2222222 (186)(51) 12(124)(1 2)186244(1 2)kkkkkkkkk2244222kk所以AMANkk为定值214 分20. 【解析】（）因为201191qr，所以201191

20、 229. 2 分又因为qA，所以22,9qr. 4 分（）含有元素7 的一个“和谐集”01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12B. 5 分含有元素 8 的一个非“和谐集”8,9,10,11,12,13,14,15,17,19, 21,23C. 7 分当8m时，记7|1, 2, 16Mi i，2(7) |1, 2, 3, 4Nii，记PMNC，则12)(Pcard. 显然对任意116ij，不存在3n，使得7(7)jni成立 . 故P是非“和谐集” ，此时8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23P. 同理，当9,

21、 10, 11, 12m时，存在含m的集合A的有 12 个元素的子集为非 “和谐集” . 因此7m. 10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 下面证明：含7 的任意集合A的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 设1211, 7Baaa，若 1，14，21 中之一为集合B的元素，显然为“和谐集” . 现考虑 1， 14，21 都不属于集合B，构造集合12, 4, 8, 16B，23, 6, 12B，35, 10, 20B，49,

22、18B，511, 22B，13, 15, 17, 19, 23B. 12 分以上54321,BBBBB每个集合中的元素都是倍数关系. 考虑BB的情况，也即B中 5个元素全都是B的元素，B中剩下 6 个元素必须从54321,BBBBB这 5 个集合中选取6 个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上，含7 的任意集合A的有12 个元素的子集B为“和谐集” ，即m的最大值为7. 14 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -