2022年北京市高考试题立体几何汇编.pdf

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1、1 2011-2017 北京市高考试题立体几何汇编1、(2011 文 5)某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的表面积是（）.A32 B16+162C48 D16+3222、(2011 理 7) 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A. 8 B. 6 2C.10 D. 8 23、(2012 理 7，文 7)某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（）.A286 5B. 306 5C. 5612 5D. 6012 54、(2013，文 8)如右图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为对角线 BD1的三等分点， P 到各顶点的距离的不同取值有( ) A3 个

2、B4 个 C5 个 D 6个5、(2013，文 10)某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的体积为 _俯视图侧（左）视图正（主）视图4324EPDCBAC1B1A1D1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 2 正(主)视图11俯视图侧(左)视图216、(2013，理 14)如右图，在棱长为2 的正方体1111ABCDABC D中，E为BC的中点，点P在线段1D E上，点P到直线1CC的距离的最小值为7、(2014，理7)在空间直角坐标

3、系Oxyz中，已知(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，2(1,1,)D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ A）123SSS（B）12SS且13SS（ C）13SS且23SS（D）23SS且13SS8、(2014，文 11)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为. 9、(2015 理 5)某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的表面积是A 25B 45C 225D5 10、 （2015文 7）某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥最长棱的棱长为俯视图侧（左）视图正（主）视图11122精品资料 - -

4、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 3 (A)1 （B）（B） (D)211、 （2016 理 6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（）ABC D1 12、（2016文 11）某四棱柱的三视图如右图所示，则该四棱柱的体积为_. 13、 （2017理 7）如右图，某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）32（B）23（C）22（D）214、（2017 文 6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A）6

5、0 （B）30 （C）20 （D）10 15、 （2017 理 16）如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面 ABCD ，点 M 在线段PB上，PD/平面 MAC，PA=PD=6，AB=4（I）求证： M 为 PB的中点；（II）求二面角 B-PD-A 的大小；（III）求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值正（主）视图左（侧）视图俯视图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 4 16、（2017文 18

6、） 如图， 在三棱锥 P ABC中， PAAB， PABC ， ABBC ， PA=AB=BC =2，D为线段 AC的中点， E为线段 PC上一点（）求证： PABD；（）求证：平面BDE 平面 PAC ；（）当 PA平面 BDE时， 求三棱锥 E BCD的体积17、 （2016 理 17）如右图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，PA PD ，PA=PD ，AB AD ，AB=1 ，AD=2 ，AC=CD= （）求证： PD 平面 PAB ；（）求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值；（）在棱 PA上是否存在点 M ，使得 BM 平面 PCD ？若存在，求的值，若不

7、存在，说明理由18、（2016 文 18） 如图， 在四棱锥ABCDP中，PC平面ABCD，ACDC ( ) 求证：DC平面PAC；( ) 求证：平面ABP平面PAC；（）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面 CEF ，说明理由19、 （2015文 18）如图，在三棱锥 E-ABC中，平面EAB 平面 ABC ， 三角形 EAB 为等边三角形，AC BC,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 5 且 AC=BC=

8、,O,M 分别为 AB,EA的中点。（1） 求证:EB/ 平面 MOC. （2） 求证：平面 MOC 平面 EAB. （3） 求三棱锥 E-ABC的体积。20、 （2015理 17）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形， 平面AEF平 面EFCB，EFBC，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点() 求证：AOBE；() 求二面角FAEB的余弦值；() 若BE平面AOC，求a的值21、(2014 文 17) 如图，在三棱柱111ABCA B C中，侧棱垂直于底面， ABBC ，12AAAC，E、F分别为11AC、 BC 的中点 . （1）求证：平面ABE平面11B BCC

9、；（2）求证：1/C F平面ABE；（3）求三棱锥 EABC 的体积 . 22、(2014 理 17)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H. （）求证：ABFG；（）若PA平面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长. EFGPC1B1A1FECBAOFECBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -

10、 - 6 23、(2013 理 17)如图，在三棱柱111ABCAB C中，11AAC C是边长为 4 的正方形平面ABC平面11AAC C，3AB，5BC（）求证：1AA平面ABC；（）求证二面角111ABCB的余弦值；（）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADA B，并求1BDBC的值. 24、(2013 文 17)如图，在四棱锥PABCD 中，AB CD ，ABAD ，CD 2AB ，平面 PAD 平面 ABCD ，PA AD . E和 F 分别是 CD和 PC的中点求证：(1) PA 底面 ABCD ；(2) BE 平面 PAD ；(3) 平面 BEF 平面 PCD . 25、(20

11、12，文 16)如图 1，在 RtABC中，C=90 ，D，E分别为 AC ，AB的中点，点 F 为线段 CD上的一点，将ADE 沿 DE折起到 A1DE的位置，使 A1FCD ，如图 2。(I) 求证： DE 平面 A1CB ；(II)求证： A1FBE ；(III)线段 A1B上是否存在点 Q ，使 A1C平面DEQ ？说明理由。26、(2012 理 16) 如图 1，在 Rt ABC 中，90C，3BC，6AC，D、E分别为AC 、AB上的点，且DE/ BC ，2DE，将图1图2ADECBA1MDECB图 1图 2A1DEBEDCBCAFFC1B1A1ABC精品资料 - - - 欢迎下载

12、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 7 ADE 沿 DE 折起到1A DE的位置，使1ACCD，如图 2（）求证：1AC平面 BCDE ；（）若M是1A D的中点，求 CM 与平面1A BE所成角的大小；（）线段 BC 上是否存在点 P ，使平面1A DP与平面1A BE垂直？说明理由27、(2011 理 16)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD ，底面 ABCD是菱形，2,60ABBAD。（I ）求证：BD平面 PAC（）若PAAB，求PB与

13、AC 所成角的余弦值；（）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求PA的长；28、(2011 文 17)如图，在四面体 PABC 中，PC AB ，PA BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点. （）求证： DE 平面 BCP ； （）求证：四边形DEFG 为矩形；（）是否存在点Q ，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由 .ABCDP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 8 答案：1、B 2

14、、C 3、B 4、B 5、3 6、2 557、D 8、 2 29、C 10、C 11、A 12、3213、B 14、D 15、（I）设,AC BD交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC I平面PDBME，所以PDME. 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点 . （II）取AD的中点O，连接OP，OE. 因为PAPD，所以OPAD. 又 因 为 平 面PAD平 面ABCD， 且OP平 面PAD，所以OP平面ABCD. 因为OE平面ABCD，所以OPOE. 因为ABCD是正方形，所以OEAD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D

15、，( 2, 4,0)B，(4,4,0)BDu uu r，(2,0,2)PDu uu r. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 9 由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3. （ III ） 由 题 意 知2( 1,2,)2M，(2,4,0)C，2(3,2,)2MCu uu u r. 设 直 线MC与 平 面BDP所 成 角 为， 则|2 6sin| cos,|9|MCMCMCuuu u ruuu u ru uu u rnnn.

16、所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 69. 16、解： （I）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD. （II）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由（ I）知，PABD，所以BD平面PAC. 所以平面BDE平面PAC. （III）因为PA平面BDE，平面PAC I平面BDEDE，所以PADE. 因为D为AC的中点，所以112DEPA，2BDDC. 由（ I）知，PA平面ABC，所以DE平面PAC. 所以三棱锥EBCD的体积1163VBD DCDE. 17、 （）证明：平面PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD=AD，且

17、AB AD ，AB ? 平面 ABCD ，AB 平面 PAD ，PD ? 平面 PAD ，AB PD ，又 PD PA ，且 PA AB=A ，PD 平面 PAB ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 10 （）解：取 AD中点为 O ，连接 CO ，PO ，CD=AC= ，CO AD ，又PA=PD ，PO AD 以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则 P（0，0，1） ，B（1，1，0） ，D（0，1，0） ，C （2，0

18、，0） ，则，设为平面 PCD 的法向量，则由，得，则设PB与平面PCD的夹角为，则=；（）解：假设存在M点使得 BM 平面 PCD ，设，M （0，y1，z1） ，由（）知， A（0，1，0） ，P（0，0，1） ，B（1，1，0） ，则有，可得 M （0，1，），BM 平面 PCD ，为平面 PCD 的法向量，即，解得综上，存在点 M ，即当时，M点即为所求18、证明：() 因为PC平面ABCD，所以DCPC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - -

19、- - - - - 11 又因为ACDC ，所以，DC平面PAC( ) 因为AB/DC，ACDC ，所以ACAB，又因为PC平面ABCD，所以PCAB ，所以AB平面PAC由?AB平面PAB， 所以平面PAB平面PAC（）棱PB上存在点F，使得PA平面CEF，理由如下：取PB的中点F，连结CFCE,EF,因为点E为AB的中点，所以EF/PA又因为PA不在平面CEF内，所以/PA平面CEF19、解： （I）因为 O,M 分别为 AB，的中点，所以 / . 又因为平面 MOC，所以 VB/ 平面 MOC. （II）因为，为AB 的中点，所以 OCAB. 又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC

20、，所以OC平面VAB所以平面MOC平面VAB（III）在等腰直角三角形ACB中，2ACBC，所以2AB，1OC所以等边三角形VAB的面积3VABS又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于1333VABOC S又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为3320、解： （I）因为 AEF是等边三角形，O 为 EF的中点，所以 AOEF. 又因为平面AEF平面 EFCB ，AO平面 AEF ，所以 AO平面 EFCB. 所以 AOBE. （）取 BC中点 G，连接 OG. 由题设知 EFCB 是等腰梯形，所以 OGEF. 精品资料 - - - 欢迎下载

21、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 12 由（ I）知 AO平面 EFCB 又 OG平面 EFCB ，所以 OAOG. 如图建立空间直角坐标系O-xyz，则 E（a,0,0） ，A（0，0，3a） ，B（2，3（2-a） ，0） ，EAuu u r=（-a，0，3a） ，BEuu u r=（a-2，3（a-2）,0）. 设平面 ABE的法向量为n=（x,y,z）则：n0?n0?EABEu uu ru uu r即30?(2)3(2)0axazaxay令 z=1，

22、则 x=3，y=-1.于是 n=（3，-1,1）平面 AEF是法向量为p=（0,1,0）所以 cos（n，p）=n pn p=55. 由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为55（）因为BE 平面 AOC，所以 BE OC，即0BE OCuuu r uuu r. 因为BEu uu r=（a-2 ，3（a-2） ，0） ，OCuu u r=（-2，3（2-a） ，0） ，所以BE OCuuu r uu u r=-2（a-2） -32(2)a. 由0BE OCuuu r uuu r及 0a0） ，则), 3, 1(tBP，设平面PBC的法向量),(zyxm,则0,0mBPmBC，所以03,

23、03tzyxyx令,3y则.6,3tzx所以)6,3,3(tm同理，平面PDC的法向量)6,3,3(tn，因为平面 PCB 平面 PDC, 所以nm=0，即03662t，解得6t，所以 PA=6精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 17 28、解：（）因为D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DE/PC 。又因为 DE平面 BCP，所以 DE/平面 BCP。（）因为D，E，F，G 分别为 AP，AC ，BC，PB 的中点，所以

24、DE/PC/FG ，DG/AB/EF 。所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为 PCAB，所以 DEDG，所以四边形DEFG 为矩形。（）存在点Q 满足条件，理由如下：连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点由（）知， DF EG=Q，且 QD=QE=QF=QG=21EG. 分别取 PC，AB 的中点 M， N，连接 ME，EN，NG，MG， MN。与（）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点 Q，且 QM=QN=21EG， 所以 Q 为满足条件的点. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -