2022年北师大版七级下册第一章第一讲.pdf

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1、整式的运算一、导入请不要开错窗一个小女孩趴在窗台上，看窗外的人正埋葬她心爱的小狗，不禁泪流满面，悲恸不已。她的外祖父见状，连忙引她到另一个窗口，让她欣赏他的玫瑰花园。果然小女孩的心情顿时明朗。老人托起外孙女的下巴说：“孩子，你开错了窗户。”秘诀：打开失败旁边的窗户，也许你就看到了希望。二、知识点回顾1. 单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式 。单独一个数或字母也是单项式。单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号 , 如果一个单项式只是字母的积, 并非没有系数 . 一个单项式中 , 所有字母的指数 和叫做这个单项式的次数. 2. 多项式几个单项式的和

2、叫做 多项式 . 在多项式中 , 每个单项式叫做多项式的项. 其中, 不含字母的项叫做常数项 . 一个多项式中 , 次数最高项的次数 , 叫做这个多项式的次数 . 单项式和多项式都有次数, 含有字母的单项式有系数, 多项式没有系数 . 多项式的每一项都是单项式 , 一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数. 多项式中每一项都有它们各自的次数, 但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数, 一个多项式的次数只有一个 , 它是所含各项的次数中最高的那一项次数. 3. 整式单项式和多项式统称为整式. 三、专题讲解一、整式的加减【例题 1】在代数式23xy，m，362aa， 12 ，22

3、514xyyzx，ab32中，单项式有个，多项式有个。【例题 2】化简 m-n- （m+n）的结果是（）A 2m B -2m C -2n D 2n 1. 整式的加减实质上就是去括号后 , 合并同类项 , 运算结果是一个多项式或是单项式. 2. 括号前面是“”号, 去括号时 , 括号内各项要变号, 一个数与多项式相乘时, 这个数与括号内各项都要精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 相乘 . 二、同底数幂的乘法【例题 1】101010101

4、01010101010= 。【例题 2】（1）52xx（2）xxxn32（3）5233n。【变试题 1】（1）52xx。 （2）222842aa（填指数）同底数幂的 乘法法则 : nmnmaaa(m,n都是正数 ) 是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点: 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；指数是 1时，不要误以为没有指数；不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为pnmpn

5、maaaa（其中 m 、n、p均为正数）；公式还可以逆用：nmnmaaa（m 、n均为正整数）三、幂的乘方与积的乘方【例题 1】(105)2= = = 。【变试题 1】322ba。43y。425yx。1. 幂的 乘方法则 ：mnnmaa )(m,n都是正数 ) 是幂的乘法法则为基础推导出来的, 但两者不能混淆. 2. ),()()(都为正数nmaaamnmnnm. 3. 底数有负号时 , 运算时要注意 , 底数是 a与(-a) 时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（ -a ）3化成 -a3).(),()( ,为奇数时当为偶数时当一般地nanaannn4底数有时形式不同，但可以化成相同。

6、5要注意区别（ab）n与（ a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。6积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nnnbaab)(（n为正整数）。7幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 四、同底数幂的除法【例题 1】105102= = = 。【变试题 1】39aa。 （2）nnaa325。1. 同底数幂的 除法法则 : 同底数幂相除 ,

7、 底数不变 , 指数相减 , 即nmnmaaa (a 0,m、n都是正数 ,且mn). 2. 在应用时需要注意以下几点: 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数 , 所以法则中 a0. 任何不等于 0的数的 0次幂等于 1, 即)0(10aa, 如1100,(-2.50=1), 则00无意义 . 3. 任何不等于 0的数的 -p 次幂(p 是正整数 ), 等于这个数的 p的次幂的倒数, 即ppaa1( a 0,p 是正整数 ), 而0-1,0-3都是无意义的 ;当a0时,a-p的值一定是正的; 当a0时,a-p的值可能是正也可能是负的, 如41(-2)2-,81)2(34. 运算

8、要注意运算顺序. 五、整式的乘法【例题 1】（1）)23(2222zyxyx=。 （2）325631mnmn。（3）55 xx。【变试题 1】（31a2b3） (-15a2b2) (21x2y-2xy+y2)2xy (2x+3)(3x+4) 1. 单项式 乘法法则 : 单项式相乘 , 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作

9、为积的一个因式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘时要注意以下几点：单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；运算时要注意积的符号，多项式的每一项都

10、包括它前面的符号；在混合运算时，要注意运算顺序。3多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘时要注意以下几点：多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；多项式相乘的结果应注意合并同类项；对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘abxbaxbxax)()(2，其二次项系数为 1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为 1的两个一次二项式 （mx+a ）和（nx+b）相乘可以得到abxmambmnxb

11、nxamx)()(2六、两个重要的公式【例题 1】（1）2)6(x =。 （2）)3)(3(xx= 。【变试题 1】（1）22yxyxyx。 （2）205195 = 。一平方差公式1. 平方差公式 ：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22)(bababa。其结构特征 是：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。二完全平方公式1完全平方公式 ：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(bababa；口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；精品资料 - - - 欢迎

12、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2结构特征 ：公式左边是二项式的完全平方；公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。3在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现222)(baba这样的错误。七、整式的除法【例题 1】（1）（a2b2c2d） (21ab2c) （2）43223(6)x yx yx y2(3)x y【变试题 1】)2()1()1(22xxx1单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除

13、，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；2多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。四、巩固练习（一）选择题1.下列语句中错误的是（）. （A）数字 0 也是单项式（B）单项式a的系数与次数都是1 （C）23ab的系数是23（D）2212x y是二次单项式2.下列计算正确的是（）. （A） 22aa（B）623mmm（C）2008200820082xxx（D）236ttt3.计算22xyyx 的结果是（）精品资

14、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （A）4yx（B）4yx（C）224yx（D）222yx4.多项式5322xx与5342xx的差是（）（A）1022x（B）xx662（C）1062x（D）xx6225.下列计算结果错误的是（）. （A）437)()()(ababab（B）xxx2332)()(（C）224323232mmm（D）24625)5()5(aaa6.若232yyymyn，则m、n的值分别为（）. （A）5m，6n（B）1m，6

15、n（C）1m，6n（D）5m，6n（二）填空题7.代数式3234155a xa xx是_项式，次数是 _次. 8.若23xy,则 4x 2y= . 9.有一单项式的系数是2009，含字母x、 y ，次数是 4，请写出一个符合条件的单项式_ （三）解答题10. 先化简，再求值：22(2)(2)2(2)()xyxyx yxy，其中10 x，125y五、拓展训练11.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？16 14=224=1 （1+1） 100+6 4 23 27=621=2 （2+1） 100+3 7 32 38=1216=3 （3+1） 100+2 8 （1）按照上面的规律，仿照上面的书写格式

16、，迅速写出81 89 的结果 . （2）用公式（ x+a） （x+b）=x2+（a+b）x+ab 证明上面所发现的规律 . （提示：可设这两个两位数分别是（10n+a） 、 （10n+b）,其中 a+b=10）（3）简单叙述以上所发现的规律. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 六、反思总结整式的运算过手训练1.多项式892334xyyxxy的次数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是( ) A. 84

17、21262xxxB. mmmyyy34C. 222yxyxD. 3422aa3. 若682babanm，那么nm22的值是( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 4.要使式子22259yx成为一个完全平方式，则需加上( ) A. xy15B. xy15C. xy30D. xy305.下列结果正确的是( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - A. 91312B. 0590C. 17530.D. 8123（二）填空题6计算：32)2(a；)5()10(3234bcacba；)3(22yxxx； 542_xx x)105()104(45；208)21(= 。7若单项式232mnx yx y1与-3是同类项，则mn。 。（三）计算题8. （1）2112xxx（2）532532yxyx9. 若4mx，8nx，求nmx3的值。 （6 分）【能力提升】10计算乘积2222220001119991-1411311211精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -