第5讲--实数的完备性(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五讲 实数的完备性I 基本概念与主要结果一 实数空间 1 无理数的定义人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题 毕达哥拉斯（公元前约580约500）：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个“联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形

2、的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分为了让实数与数轴上的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限不循环小数定义为无理数一个无限不循环小数，取其位小数的不足近似值与过剩近似值，与均为有理数，且（），可见以无限不循环小数定义无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理

3、，即承认它是正确的历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有理数列的基本序列法戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置，假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集如果折断处是有理点，那么它不在左子集，就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，即的最大数或的最小数如果中没有最大数，中也没有最小数，这个分割就确定了直线上的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学系沈燮昌编写的数学分析，高等教育出版社，1986年）康托用有理数基本序列的等价类来定义

4、实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近代数学中是十分有用的，影响深远 从古至今，数学的发展大致经历了五个时期：（1）萌芽时期（公元前600年以前）；（2）初等数学时期（公元前600年到17世纪中叶）：欧氏几何、算术、初等代数、三角等；（3）变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）：微积分的建立、解析几何、运动观点等；（4）近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）；（日前大学中的主要数学课程）（5）现代数学时期（20世纪40年代以来）：显著特点：计算机的广泛应用定义1 有理数列称为是基本列，若，当时，有 （1）定义2 两个有理数基本序列和称为是等价的，若 （2）将相互等价的基

5、本列作为一类，称为一等价类有理数可表为基本列的极限，如常数列这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理数时，称之为无理数此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性，称这种性质为完备性2 实数空间的定义公理1 （域公理），有（1）交换律：，；（2）结合律：，；（3）分配律：；（4）两个特殊元素0与1：，有，；（5）每个，关于“+”的逆元，关于“”的逆元（此时），有，公理2（全序公理）与“+”、“”运算相容的全序公理（1），下列三种关系，有且仅有一个成立；（2）传递性：若，则；（3）与“+”相容性：若，则，有；（4）与“”相容性：若，则公理3（阿

6、基米德（Archimedes）公理），使得公理4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界由此可定义：定义3 实数空间是这样的集合，在其上定义了“+”、“”运算，以及序关系“”，满足上述四组公理，中的元素称为实数二 实数基本定理1 基本定理定理1（Dedekind确界定理）任何非空数集，若它有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界定理2（单调有界定理）单调有界数列必收敛定理3（Cauchy收敛准则）数列收敛的充要条件是：，当时，有定理4（Bolzano-Weierstrass致密性定理）有界数列必有收敛子列定理5（Weierstrass聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点定理6（Cantor区

7、间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点定理7（Heine-Borel有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖说明：定理16属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种“点”的存在这种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点定理7属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式，不论用前6个定理来分别证明定理7，还是用定理7分别证明前6个定理，都可用反证法来证明，而前6个定理都可以直接推出2 重要概念定义1（确界）设，若满足：（1），即是的上界；（2），使得，即不是的上界则称是的上确界，记为若，满足：（1），有；（2），有；则称是的下确界，记作 即：上确界是最小的上界，下

8、确界是最大的下界定义2 设闭区间列具有如下性质：（1），；（2）；则称为闭区间套，简称区间套定义3 设，若，使的任何邻域均含有中无穷多个点，称为的一个聚点定义3 设，若的任何去心领域内都含有中异于的点，即，称是的一个聚点定义3 设，若存在彼此互异的点列，使得，称为的一个聚点定义4 设，为开区间构成的集合若中任何一点都含在中至少一个开区间内，即，使，称是的一个开覆盖，或称覆盖若中开区间的个数是无限（有限）的，称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）3 七个定理的环路证明例1 确界定理单调有界定理证 不妨设数列是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为，显然就是其极限事实上，由上确界定义知，使，由单增

9、性知，当时，有，即 例2 单调有界定理闭区间套定理证 设是一区间套，则单增有上界，由单调有界定理知有极限，且，由区间套的定义知，又单减有下界，所以 ，此说明，下证是唯一的，设变满足上式，即，则有（）即例3 闭区间套定理有限覆盖定理证 设为的一个无限开覆盖，假设定理结论不成立，即不能用中有限个开区间覆盖将等分成两个子区间，则其中至少有一个半区间不能被中有限个区间覆盖，记之为，将等分成两个小区间，则其中至少有一个半区间不能被中有限个区间覆盖，记之为，如此下去便得一闭区间套，其中每一个区间不能被中有限个开区间所覆盖由闭区间套定理，存在唯一的点，由于是的覆盖，故，使得，由保序性立得：当充分大时，即，这

10、与的构造相矛盾，故命题为真例4 有限覆盖定理聚点定理证 设是有界无限点集，则，为有限实常数，使得若存在聚点，则该聚点必属于（容易证明之外任何一点都不是的聚点，因此只需证明：若不存在聚点，则矛盾事实上，假设不存在聚点，即中任一点都不是的聚点，由聚点定义，使得中只含有中有限个点，记，显然是的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个邻域覆盖，从而亦覆盖了由的性质立得中只有有限个点，矛盾例5 聚点定理柯西收敛准则证 设是中任一数列，满足条件：，有 （3）由此易证是有界的（事实上，对 当时，有， 从而 ，取，则），记，则S为有界集若为有限集，则中至少有一个元素在中出现无限多次，取此构成一常数子列，则它是

11、收敛的，设其极限为a，即，由条件（3）可得数列收敛于a若是无限集，则由聚点定理知至少有一个聚点，设为，则有事实上，由聚点的等价定义知，存在中彼此互异的点列（从而是的一子列），有又，由（3）式立得例6 聚点定理致密性定理证 设是有界数列，记，若为有限集，则由例5的证明过程知存在收敛子列若为无限集，则存在聚点，由聚点的等价定义立明（过程如例5）例7 致密性定理柯西收敛准则证 设满足柯西收敛准则中的条件，则是有界数列，则必存在收敛子列，由此可证整个数列收敛（参见例5）例8 柯西收敛准则确界定理证 设为非空有上界数列，由实数的阿基米德性质，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即，使得今分

12、别取，则存在，使得为的上界，但不是的上界于是， （4），有， （5）由此易得，于是，有，由柯西收敛准则知收敛，记下证是上确界由（4）易得是其上界其次，由得，当，有，由（5）知：，有此说明为的上确界4 闭区间上连续函数性质的证明定理1（有界性定理）若函数在上连续，则在上有界证 由连续函数的局部有界定理：，及，有，构造开覆盖，由有限覆盖定理立明定理2（最值定理）若函数在上连续，则在上有最大、最小值证 由定理1知在上有界，故由确界定理，在的值域有上确界，下证：，使若不然，则，有令，易见为上正的连续函数，故在上有上界，设为，则有，解之得 ，这与为在上的上确界矛盾定理3（零点定理）设在上连续，且，则，使

13、证 不妨设（则）记，显然非空，且是有界集，从而有下确界，记下证事实上，由极限保号性知：，使，；（），；（）由此易得，即其次，若，不妨设，则由连续函数的局部保号性得： ，使在其内，特别地，这与是的下确界矛盾故必有思考题（哈尔滨工大2002）设.证明：，使得定理4（一致连续定理）若在上连续，则在上一致连续证 由在上连续知，有 （5）构造的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在的一个子覆盖，覆盖了，记，于是，对任何，则必属于中某个开区间，设，即，此时有由（5）得，从而得4 例题选讲例9 用区间套定理证明定理1-5证 都可用二等分方法证明（1）确界定理设为非空有上界数集，为的一个上界若有最大值，则最大值即为

14、上确界，若无最大值，任取，将二等分，若右半区间中含有中点，则记右半区间，否则记左半区间为，然后将二等分得，则至少有一个半区间含有E中点，记之为，如此下去，得一闭区间套，其每一闭区间均含有中点，由闭区间套定理，存在唯一的公共点，下证由的构造知：，有，即是的上界；又，则，使，由的构造知：，此说明（2）单调有界定理设，则，用同样的方法割分即可证之（3）Cauchy收敛准则满足Cauchy收敛准则条件的数列（基本列）一定是有界数列，即，使，然后对进行二等分，选含有无穷多项的那一半区间为，如此下去，由闭区间套立明（4）致密性定理同方法（3）（5）聚点定理同方法（3）例10 用定理15证明区间套定理证（1

15、）利用确界定理设是一区间套，则单增且有界，从而有上确界，由单调有界定理的证明知 ，（2）利用单调有界定理由单调有界定理知，且，再证唯一性即可（3）Cauchy准则的充分性由知满足柯西定理的条件（这是因为当时，由区间套定义知），从而收敛，设极限为，则即为所求（4）致密性定理由致密性定理知存在收敛子列，由的单调性知收敛，从而得证（5）聚点定理令，则存在聚点，再由聚点的等价定义，仿（4）立明例11 用有限覆盖定理证明定理16证 用反证法（1）证明确界定理设，且，有，任取，考虑闭区间，假若无上确界（最小的上界），那么，有当为的上界时，必有更小的上界，因而有的开邻域，其中皆为的上界；当不是的上界时，自然

16、有中点，于是有的开邻域，其中每点都不是上界这样，中每点都可找出一个邻域，它要么属于第一类，要么属于第二类，且这些邻域构成的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子覆盖注意，所在的区间应为第一类的，相邻的开区间有公共点，从而也应为第一类的，由此递推可得所在区间也是第一类的这与矛盾（2）其它定理对定理2、3、4，每点可找到开邻域，使得中除中心点可能与中的项相同之外，其余与不相交；对定理5，每点可找到邻域，除中心点可能属于集合之外，再无中点；对定理6，每点可找到开邻域，使得至少有某一个与不交，从而当时，与不相交然后利用有限覆盖定理证之例12（哈尔滨工大2002，北师大免试生2003，西安交大2004

17、，武汉理工2004华东理工1998）设在上有定义，并且在上每一点都有极限，试证在上有界证 ，由极限的局部有界性定理知，当时，有 构造开覆盖，由有限覆盖定理知存在有限子覆盖，不妨设为，相应的记为，取，则 都有，即在上有界例13 设在上有定义，并且在上每一点的极限都存在为零试证在上可积，且证 设为任意一点，由条件知，即，当时，有如此，构成了的一个开覆盖，由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖，除有限个点之外，有于是，取，作一分划，使含有的各小区间之总长，则，其中表示令各小区间对应项之和，为其余各项之和由可积准则知在上可积既是可积，可选取，则有 ，由此可得 例14 设函数在上连续，又有，使证明：存在，使

18、分析：，则存在子列，其收敛，设为，则，且有例15（安徽大学2001）设在上连续，证明：对任何正整数，使得分析：当时，取，命题成立若，令，则有若上式中每项均为零，则结论已成立；若不均为零，则由其和为零知其中有正有负，由零点定理立明例16（北京科技大学1999） 叙述数集S的上确界的定义，并证明：任意有界数列，总有 证 若满足：（1），；（2），使得， 则称是的上确界，记为下证不等式成立由于都是有界数列，所以它们的上确界都存在，记，则，从而，所以，例17（北京大学1994）设函数在上无界，求证：，使得，在上无界证法一 用有限覆盖定理假设这样的不存在，即，使得在上有界构造开覆盖，由有限覆盖定理知存在

19、有限子覆盖，不妨设为，在其上都有界，分别记为，取，则 都有，即在上有界，这与题设矛盾，所以结论成立证法二 用区间套定理将区间等分为二，则由函数在上无界知至少在其中一个半区间上无界（如果都是则任取一个），记为，将此小区间等分为二，则至少在其中一个半区间上无界（如果都是则任取一个），记为，如此继续下去得一区间套，在其每一个区间上都无界由区间套定理， 且，当充分大时，有，因此，由的构造知在上无界 例18（武汉大学1994）设 ，试证：必存在正整数p，使得 证 取，则，当时，有，于是有，而有限集必有最小值，因此，存在正整数p，使得例19（浙江大学2004，北京科技大学）证明：若一组开区间：，覆盖了，则

20、存在一，使得中任意两点，满足时，必属于某一区间证 由有限覆盖定理知：中存在有限个区间，不妨设为，它们也覆盖了. 将这些区间的端点从小到大排成一列，相同的点只取其一，不妨设为，其中 令，则当时，必存在，使得例20（天津大学1999）利用确界原理证明：若实数列单调递减有下界，则必收敛，且证 记，则数集S有下界，由确界原理，S有下确界，记之为a，下证：事实上，a为S的下确界，则，且，使得，再由单减性假设知，当时，有，从而当时，有，即例21（四川大学）用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理：若函数在上连续，且，则至少存在一点，使得证 用反证法。假设，则由函数的连续性知：，在上恒正或恒负，令，则H为的一个

21、开覆盖，由有限覆盖定理知存在有限子覆盖，不妨设为，并且可设彼此不同（若相同，则只保留较大的领域，它们同样覆盖），这样可把从小到大重心排列，不失一般性，设，于是，这样，在上与同号。又，所以，在与同号，依次类推，在这k个领域内都与同号，而，即得与同号，矛盾，因此，至少存在一点，使得例22（厦门大学2002）设函数在有限区间I上有定义，满足：使得在内有界。（1） 证明：当时，在I上有界；（2） 当时，在I上一定有界吗？证（1）由有限覆盖定理立明。（2）不一定。如函数在满足假设，但在上无界。例23（华中师大）用闭区间套定理证明：若函数在区间上连续，则在上有界。证 用反证法。假设在上无界，将区间等分为二

22、，则至少在其中一个半区间上无界，记这样的区间为（若在两个半区间上都无界，任选其一），将等分为二，则至少在其中一个半区间上无界，记这样的区间为，如此下去得一区间套，在每一个区间上都是无界的。由区间套定理， 又在连续，则在的某领域内有界，而当n充分大时，这与的构造矛盾，因此在上有界。例24 设单调数列。若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界。证 不妨设是单增的。若无界，则，于是， 当时，有.这样，领域内至多含有中有限项，因此A不是的聚点，由A的任意性知没有聚点，这与假设条件矛盾，因此为有界数列，由单调有界定理知：，设是的一个聚点，则必存在一个子列收敛于，由海涅定理知 ，此说明聚点若存在，则必是唯一的

23、，且为的确界。例25 设函数在上递增，满足，证明：，使得证 若 或 ，则命题已成立，故可设. 记. 若，则已得证；若，则取；若，则取. 按此方法继续下去，可得一区间套. 若在此过程中某一的中点，使得，则命题已成立，否则有： （1）由区间套定理， 下证：倘若，则由递减趋于和极限的保序性得：，而，由的递增性得，这与（1）式矛盾.类似可证时也矛盾，故命题成立.例26（北京师大2003）设. 证明：存在，使得证 由上确界定义，满足：.由此立得例27（北京大学、云南大学）设是上的连续函数列，并且，数列都是有界的. 证明：在的某一非空子区间上一致有界证 反证法. 假设在内任何非空子集上非一致有界，则，有.

24、 又连续，根据连续函数的保号性知，存在，为闭子区间，有在上非一致有界，所以存在，有，由保号性知，存在，为闭子区间，且限定的长度不超过长度的一半，有如此下去得一闭区间套：，在上，. 由闭区间套定理得，.从而有这与有界矛盾，故结论成立.练习题51（安徽大学2002）叙述数列收敛的柯西收敛原理，并证明之。2（上海交大1998）判断：若数列的任一子列都存在收敛子列，则数列必收敛。3（华东化工学院1997）叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。4（首都师大2000）用闭区间套定理证明：闭区间上连续函数一定有界。5（首都师大2001）用致密性定理证明：闭区间上连续函数一定有界。6（首都

25、师大2004）用实数连续性定理证明：闭区间上连续函数一定有界。7（北方交通大学2003）利用单调有界定理证明：非空有上界数集一定有上确界。8（北方交通大学2004）证明：闭区间上连续函数一定有界。9（中国矿业大学1998）利用区间套定理证明聚点定理。10（中国矿业大学1999，）利用区间套定理证明有限覆盖定理，并举例说明当闭区间换成开区间时结论不成立。11（中国矿业大学2000）利用致密性定理证明数列的柯西收敛准则。12（中国矿业大学2001）叙述有限覆盖定理，并用之证明：闭区间上连续函数必一致连续。13（中国矿业大学2002）利用区间套定理证明有限覆盖定理。14（中国矿业大学北京研究生部2001）利用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续。15（广西大学2002）叙述确界原理和聚点定理。试举例说明：在有理数集内，确界原理和聚点定理一般不成立。16（西北大学）（1）利用确界原理证明连续函数零点定理；（2）利用有限覆盖定理证明致密性定理。17（四川大学）利用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理。18（华中师大2000）用区间套定理证明闭区间上连续函数有界性定理。专心-专注-专业