圆锥曲线轨迹问题(共17页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上建设现代化(检验)有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点

2、，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。【

3、解析】设MN切圆C于N，则。设,则 化简得（1） 当时，方程为，表示一条直线。（2） 当时，方程化为表示一个圆。如图，圆与圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，.由已知，得.因为两圆半径均为1，所以.设，则，即.(或)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆

4、锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程；【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为； 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。【解析】由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB

5、|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点P的轨迹方程为：l O PE D C B A 评析：定义法的关键是条件的转化

6、转化成某一基本轨迹的定义条件。 三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y

7、=2,得2x-x1+2y-y1=2又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0由解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：（相关点法）设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：（几何法）设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（

8、，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）.求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）OAOB，OB：由解

9、得B设AOB的重心G（x，y），则消去参数k得重心G的轨迹方程为解法二：设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为。如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题

10、型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。 3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。 4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5 、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

11、解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程为 由消去得yA+yB即得， 即得。所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4p

12、x+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。五、向量法：图6例6 、（1995全国理）已知椭圆如图6，1，直线L：1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：1.高考方向要把握 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考

13、查各种方法。2.“轨迹”、“方程”要区分 求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。 3.抓住特点选方法 处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。 4.认真细致定范围 确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面： 准确理解题意，挖掘隐含条件； 列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价； 消参时要保持范围的等价性； 数形结合

14、，查“漏”补“缺”。 5. 平几知识“用当先” 在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；简化条件式；转化化归。 6.向量工具“用自如” 向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用自如。 巩固练习：1. 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2, 则动点M的轨迹方程为 ( ). A. B. C. 3x2-y2-34x+65=0 D. 3x2-y2-30x+63=0(目的: 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤

15、, 同时掌握双曲线第二定义, 避免错误使用)答案: D 解析: , 两边平方即得3x2-y2-30x+63=02 . P是椭圆上的动点, 作PDy轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为( ). A. B. C. D. (目的: 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤, 理解其适用的题型) 答案: D 解析: 设PD中点为M(x, y), 则P点坐标为(2x, y), 代入方程, 即得.3. 已知双曲线,(a0,b0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1M与A2N交点的轨迹方程是( ). A. B. C. D. (目的: 熟悉参数法求轨迹方程的

16、基本思路, 理解相交点轨迹方程的解题技巧)答案: A 解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M与A2N交点为P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则A1 M的方程是,A2M的方程是, 两式相乘, 结合即得.4. 抛物线的准线l的方程是y=1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是( ). ( B ) A. (x-1)2=-8(y-1) B. (x-1)2=-8(y-1) (x1) C. (y-1)2=8(x-1) D. (y-1)2=8(x-1) (x1) (目的: 认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量, 是重要

17、的解题方法)答案: B 解析: 设焦点为F, Q(x,y), 则由抛物线定义得: , 化简即得 5. ABC中, A(0,-2), B(0,2), 且成等差数列, 则C点的轨迹方程是 . (目的: 求曲线方程应注意根据题意检验方程的完整性)答案: 解析: , 知: C点轨迹是以A、B为焦点, 且2a=8的椭圆6. 若A点是圆(x-2)2+(y-2)2=1上的动点, 点B(1,0), M分AB的比为2:1, 则M点的轨迹方程是 . (目的: 熟悉代入法及定比分点坐标公式) 答案: 解析: 设A(x1, y1), M(x, y), 则由定比分点公式得: , , 代入(x-2)2+(y-2)2=1即

18、得7. 直线与x、y轴交点的中点的轨迹方程是 . (目的: 理解参数法及其参数限制对方程的影响, 注意解题的完整性)答案: x+y=1 , 解析: 设直线与x、y轴交点为, A、B中点为M(x, y), 则, 消去a, 得: x+y=1, 圆锥曲线的动弦中点轨迹方程圆锥曲线的动弦中点轨迹方程问题主要有以下三种类型：一、过定点的动弦中点的轨迹方程例1：已知椭圆，过点引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。解法一：设过点的直线方程为，联立方程，消去，整理得，设弦的两个端点为、，中点，则，代入得，即又过点的直线与椭圆相交，所以解得，即，解得。当不存在时，不满足题设要求，舍去。所以割线被椭

19、圆截得的弦的中点的轨迹方程是（）解法二：设弦的两个端点为、，中点，则两式相减得，整理得，由题意知，所以，又，所以，整理得。又过点的直线与椭圆相交，与解法一同理可得。所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是（）注意：当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件，并求出（或）的取值范围；验证斜率不存在的情况是否符合题意。二、斜率为定值的平行弦的中点轨迹方程例2：斜率为2的直线与双曲线相交于两点、，求动弦中点轨迹方程。解：设斜率为2的直线方程为，联立方程消去，并整理得，设交点为、，中点，则，所以，代入可得。又直线与双曲线相交于两点，所以，解得或，又，所以或。所以动弦中点轨迹方程为（或）

20、三、长为定值的动弦中点的轨迹方程例3：定长为（）的线段，其两个端点在抛物线上移动，求线段中点的轨迹方程。解：设端点为、，中点，则，两式相减得，由题意知，所以所以直线的方程为，代入得，由弦长公式以及韦达定理得，所以，整理得所以中点的轨迹方程为圆锥曲线轨迹总结【自测回扣】（步步坚实，赢在起点）1.分别过作两条互相垂直的直线，则它们的交点的轨迹方程是_. 2.已知点F为抛物线的焦点，P在抛物线上运动，则线段PF的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ），如果M是线段的中点，则动点M的轨迹是( ).（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支

21、（D）抛物线PMN答案：1 2 1A,B 【典例精析】（夯实基础，高效整合）4（06江苏卷） 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为设，则，同理，即，即这就是动点的轨迹方程5. 已知（1）若动圆Q与C1外切，且与C2内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为_；（2）与C1、C2都外切的动圆圆心的轨迹方程为_（3）与C1、C2都内切的动圆圆心的轨迹方程为_（4）过点C1且C2外切的动圆圆心的轨迹方程为_（5

22、）与C2外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程是_.6.设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程.解：设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设，又，即曲线C的方程为6分7. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F且垂直长轴的弦长为，(1) 求椭圆的方程;(2) 过椭圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解: (1) 设椭圆方程为： , 由题意得, 所求的椭圆方程为. (2)设点的坐标为（），点坐标为,则点坐标是 ， 即， , 又，,即 点的轨迹方程是，轨迹是一个以原点为圆心

23、，2为半径的圆，除去与y轴的交点。 *变式：在上题中，若P为椭圆C上的动点，A为过P且垂直于y轴的直线上的点，=，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解：设，其中,由已知及点在椭圆上可得，其中,易知（i）时。化简得所以点A的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点A的轨迹为中心在原点、焦点在轴上的双曲线满足的部分；当时，点B的轨迹为中心在原点、焦点在轴上的椭圆满足的部分。【巩固练习】（强化训练，规范提升）7.已知A,B是两个定点, O为线段AB的中点,且|AB|=2,动点M到点A的距离为4,线段MB的垂直平分线l交MA于点P,求点P的轨迹方程. （先建立

24、适当的坐标系） 变式：点A，B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=2，点P在线段AB上，（1）若P为线段AB的中点，则点P的轨迹方程为_.（2）若，则点P的轨迹方程为_.8.动圆P过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过A作直线交曲线C于两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）在（2）中求的重心G的轨迹方程。解：(1)P到A的距离等于P到直线y= -1的距离，P的轨迹C是以A为焦点，直线y= -1为准线的抛物线：x2=4y.另解：（2），设，则由，两式相减得 ，又，即（3）设G（x,y）, 由（2）得，消去k得：为所求方程。10.

25、（2010天津文数）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。11.（07年湖南）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；解：由条件知，设，设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是12.（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程。12.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标

26、准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.解：（）设椭圆E的方程为13.（2010江西理数）设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。 由点在抛物线上，解得：故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。2010广东理科（本小题满分14分）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线与交点的轨迹的方程；（1）解：由为双曲线的左右顶点知，两式相乘，因为点在双曲线上，所以，即，故，所以，即直线与交点的轨迹的方程为.专心-专注-专业