2022年北师大版九级数学《四边形》讲义.pdf

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1、1. 菱形的性质学习目标：通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。学习过程：活动一：1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做 菱形 ，生活中的菱形有。2.按探究步骤剪下一个四边形。所得四边形为什么一定是菱形？菱形为什么是轴对称图形？有对称轴。图中相等的线段有：图中相等的角有：你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱

2、形性质的应用1. 菱形的两条对角线的长分别是6cm和 8cm ，求菱形的周长和面积。平行四边形菱形？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2. 如图，菱形花坛ABCD 的边长为 20cm， ABC=60 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和 BD，求两条小路的长和花坛的面积。随堂练习：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于，面积等于。（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角

3、是。（3）已知：菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。（4）已知：菱形的周长是52 cm，一条对角线长是24 cm，则它的面积是。二、解答题已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm， BAD=1200 对角线 AC， BD 交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。菱形的性质作业1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、 菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2 B. 336cm2 C. 672cm2 D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A

4、. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_，面积为 _5、四边形 ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB 5, AO 4，求对角线BD 和菱形 ABCD 的面积 . 6、如图，在菱形ABCD 中， ADC=120，则 BD ：AC 等于（） ABCDO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 1

5、6 页 - - - - - - - - - - （A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：1 7、菱形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线的比为34，求菱形的面积。8、如下图，菱形ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O，且 AC16cm，BD12cm，求菱形 ABCD 的高 DH 。9、如图，在菱形ABCD 中, BAD80 ，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点 F，E 为垂足，连接DF，则 CDF 的度数为10、在菱形 ABCD 中， A与 B的度数比为1：2，周长是 48cm求（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO

6、 的顶点 P 的坐标是（ 3，4） ，则顶点 M 、N 的坐标分别是（）AM（5，0） ，N（8，4）BM（4，0） ，N（8，4）CM（5，0） ， N（7，4）DM（4，0） ，N（7，4）12、 （2010?襄阳）菱形的周长为8cm，高为 1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A3：1 B4：1 C5：1 D6：1 13、如下图，菱形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8 ，BD=6 ，过点 O 作OH 丄 AB ，垂足为 H，则点 0 到边 AB 的距离 OH=_14、如右上图，菱形ABCD 的边长是 2cm，E 是 AB 的中点，且DE 丄 AB，则菱形 ABCD 的

7、面积为cm22.菱形的判定1. 木工在做菱形的窗格时, 总是保证四条边框一样长, 你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图, 在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=DA, 试说明四边形ABCD 是菱形 . A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 证明：我发现 , 的四边形是菱形。2. 如下图 , 在ABCD中,若 AC BD,则ABCD 是什么图形 ? 证明：我发现 , 的平行四边形四边形是菱形. 菱形的判定方法: 1、的四边形

8、是菱形符号语言2、的平行四边形是菱形符号语言例 1. ABCD 的对角线 AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4,OB=3.求证：ABCD 是菱形。随堂练习1、 一个平行四边形的一条边长是15， 两条对角线的长分别是12 和 9， 这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积。2、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是一个菱形吗？为什么？B C D oABCDoABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - -

9、- - 3、 如图，AE BF，AC平分 BAD,且交 BF于点 C，BD平分 ABC ，且交 AE于点 D，连接 CD ，求证： 四边形 ABCD是菱形。菱形的判定作业1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD相交于点 O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如图， AD 是 ABC 的角平分线。 DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F. 四边形 AEDF 是菱形吗？说明你的

10、理由。4、 如图，ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于 E、F，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知 DE AC 、DFAB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A. AD平分 BAC B. AB AC 且 BD CD OBACEDFF D E C B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - E O B C F D A C. AD为中线D. EF AD 6 如图，已知四边形ABCD

11、 为菱形， AE CF. 求证：四边形BEDF为菱形。7、已知 ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。小刚说只要过BD中点作 BD的垂线交AD 、BC于 E、F，沿 BE 、DF剪去两个角，所得的四边形BFDE为菱形。你认为小刚的方法对吗？为什么？9、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和 BD 相交于点O，且 AC BD，点 M、N 分别在 BD 、AC 上，且AO ONNC，BM MO OD. 求证： BC2 DN 3. 矩形的性质一、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形具有一般平行四边形的所有性质，它还具有特殊的性质：1. 已知：四边形ABCD是矩形求证：A B

12、C D90F E C D B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2. 已知：四边形ABCD是矩形求证：AC DB 定理矩形的四个角都是直角定理矩形的对角线相等二、交流讨论如图，设矩形的对角线AC与 BD的交点为 O，那么 BO是 RtABC中一条怎样的特殊线段？它与 AC有什么大小关系？为什么？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半三、 巩固练习1. 矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角，对角线。2.

13、在矩形 ABCD 中，对角线AC 、BD交于点 O ，若100AOBo，则OAB。3、已知矩形的长为20，宽为 12，顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的面积是_. 4、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O已知 AOD 120， AB=2.5cm，求矩形对角线的长。矩形的性质作业1矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A对角线互相平分B邻角互补C对角相等D对角线相等2在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - -

14、 - - - A对角线互相平分且相等B四个角相等C既是轴对称图形，又是中心对称图形D对角线互相垂直平分3、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 和 BD 相交于点 O，AB OA 4 cm，求 BD 与 AD 的长 . 4、如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点O，AOD 120 ，AB 2，则矩形的对角线AC 的长是 _. 5、已知： ABC 的两条高为BE 和 CF，点 M 为 BC 的中点 .求证： MEMF6、如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 相交于一点O，AE 平分 BAD , 若 EAO 15 , 求 BOE 的度数7、把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠，EM

15、、FM 为折痕， 折叠后的C 点落在 BM 或 BM 的延长线上，那么EMF 的读度为（）A85B90C95D1008、如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则FAC=_ ， FCA=_ 9、如图，在矩形ABCD 中，EFAB，GHBC，EF、GH 的交点 P 在 BD 上，图中面积相等的四边形有（）A3 对B4 对C5 对D6 对精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 10、如图，矩形ABCD 的周长为 68，它被分成

16、7 个全等的矩形，则矩形ABCD? 的面积为（）A98 B196 C280 D284 11、如图所示，矩形ABCD 中，M 是 BC 的中点，且MA MD，若矩形的周长为36 cm，求此矩形的面积。12、如图，折叠矩形，使AD 边与对角线BD 重合，折痕是DG，点 A 的对应点是E，若 AB=2 ，BC=1，求 AG. 13、 【提高题】如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点B 落到点 B的位置， AB与 CD 交于点 E.（ 1）试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明. （2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PGAE 于 G，PHEC 于 H，试求

17、 PG+PH 的值，并说明理由. 4. 矩形的判定已知：在平行四边形ABCD 中， AC, DB 是它的两条对角线，AC=DB. 求证：平行四边形ABCD是矩形。GEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形。一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形。三、巩固练习1下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（） AAB CD，AB

18、=CD ，AC=BD B A=B=D=90CAB=BC ，AD=CD ，且 C=90DAB=CD ，AD=BC ， A=902已知点 A、B、C、D 在同一平面内，有6 个条件： AB CD， AB=CD ， BCAD ， BC=AD ，AC=BD ， A=90 从这 6 个条件中选出（直接填写序号）_3 个，能使四边形ABCD 是矩形3已知：如图，在YABCD 中，O 为边 AB 的中点，且 AOD= BOC求证：YABCD 是矩形4 已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和 BCD 组成的，M、N?分别为 BC、AD 的中点求证：四边形BMDN 是矩形矩形的判定作业1

19、、下列说法图形不正确的是（）A有一个角是直角的平行四边形是矩形B有三个角是直角的四边形是矩形C对角线相等的四边形是矩形D对角线互相平分且相等的四边形是矩形2、四边形 ABCD 的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）BACDOBACDNM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - AAB=CD ，AB CD， BAD=90 BAO=CO ，BO=DO ，AC=BD C BAD= ABC=90 ， BCD+ ADC=180 DB

20、AD= BCD ，ABC= ADC=90 3、 如图，矩形ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O，点 E、F、G、H 分别是 OA、 OB、OC、OD 的中点，顺次连结 E、F、G、H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？4、已知：如右上图，ABCD 各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H.求证： ?四边形 EFGH 是矩形5、如图， 平行四边形ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ONOB，再延长 OC 至 M ，使 CM AN . 求证：四边形NDMB 是矩形 . 6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平

21、行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7、在四边形ABCD 中， BD90，且 ABCD，四边形ABCD 是矩形吗？为什么？8、如图，在四边形ABCD 中， AD BC，点 E、F 为 AB 上的两点，且DAF CBE. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - DACFPEB求证：四边形ABCD 是矩形 . 9、如右上图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上的中点，过点O 的直线 MN BC，且 MN 交 ACB 的平分线于点 E，

22、交 ACB 的外角平分线于点F，点 P 是 BC 延长线上一点 . 求证：四边形AECF 是矩形 . 10、如图所示，ABC 中，AB=AC ，AD是 BC边上的高， AE?是 CAF 的平分线且CAF 是 ABC 的一个外角，且DE BA ，四边形ADCE是矩形吗？为什么？11、 【提高题】 如图，在 AB C 中，AB AC，CD AB 于 D，P?为 BC 上的任意一点， 过 P 点分别作PEAB ，PFCA ，垂足分别为E，F，则有 PEPFCD，你能说明为什么吗？5.1 正方形的性质一、课堂引入1.做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形问题：什么样的四边形是正方形？正方

23、形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形性质定理1：正方形的四个角都是，四条边都。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且。二、应用举例例 1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形已知：四

24、边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点 O （如图）求证： ABO 、BCO 、CDO 、DAO 是全等的等腰直角三角形例 2 已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边 CD 上一点，点F 是 CB 的延长线上一点，且DE=BF 求证：（ 1）EA=AF ；（2）EAAF三、随堂练习1正方形的四条边 _ _ ，四个角 _ _ ，两条对角线 _ _ _正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的_ 正方形的边长为6，则面积为 _ 正方形的对角线长为6，则面积为 _ 2如右图， E 为正方形 ABCD 边 AB 上的一点，已知EC=30, EB=10, 则正方形 ABCD 的面积为 _，

25、对角线为 _ _ACDBE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 3如右图， E 为正方形 ABCD 内一点，且 EBC 是等边三角形，求EAD 与 ECD 的度数5.2 正方形的判定一、温故知新：（1）怎样判定一个四边形是平行四边形？（2）怎样判定一个四边形是矩形？（3）怎样判定一个四边形是菱形？二、议一议：怎样判定一个四边形是正方形？1探索正方形的判定条件：（ 1）直接用正方形的定义判，即先判定这个四边形是平行四边形，若这个平行四

26、边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形；（2）先判定这个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。2. 方法提炼：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用， 但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个

27、四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。三、疑难探究，突破难点【例 1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。四、达标测

28、试，当堂反馈1如下图 E、F分别在正方形ABCD 的边 BC 、CD上，且 EAF=45 ，试说明 EF=BE+DF 。2. 画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。正方形性质与判断作业1、 四边形 ABCD 中， AC、BD 相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A. OA OBOCOD，ACBD B. AB CD，AC BD C. AD BC， A C D. OA OC，OBOD，ABBC 2、在正方形ABCD 中， AB 12cm，对角线AC 、BD 相交于 O，则 ABO 的周长是（）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边

29、形ABCD 是正方形，延长BC 至点 E，使 CECA，连结 AE 交 CD?于点 F，?则 AFC 的度数是（） （A）150（B）125（C）135（D）11254、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为_，对角线长为 _5、如图，四边形ABCD 是正方形， CDE 是等边三角形，则AED _， AEB _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 6、已知：如图，在正方形ABCD 中，AE BF，垂足为 P， AE 与 CD 交于点 E，?BF 与 AD 交于点 F，求证：AE BF7、如图，正方形ABCD ，ABa，M 为 AB 的中点， ED3AE， （1）求 ME 的长；（2） EMC 是直角三角形吗？为什么？8、如左下图，在正方形ABCD 中， E、F、G、H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH . 四边形 EFGH 是什么特殊的四边形，你是如何判断的？HGFEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -