高中数学压轴题系列——导数专题——隐零点问题(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学压轴题系列导数专题隐零点问题1.（2012新课标）设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值解：（I）函数f（x）=exax2的定义域是R，f（x）=exa，若a0，则f（x）=exa0，所以函数f（x）=exax2在（，+）上单调递增若a0，则当x（，lna）时，f（x）=exa0；当x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（II）由于a=1，所以，（xk） f（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故当x

2、0时，（xk） f（x）+x+10等价于k（x0）令g（x）=，则g（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零点，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值为g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等价于kg（），故整数k的最大值为22.（2013新课标）已知函数f（x）=exln（x+m）（）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调

3、性；（）当m2时，证明f（x）0【解答】（）解：，x=0是f（x）的极值点，解得m=1所以函数f（x）=exln（x+1），其定义域为（1，+）设g（x）=ex（x+1）1，则g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当x0时，g（x）0，即f（x）0；当1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m2，x（m，+）时，ln（x+m）ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）0当m=2时，函数在（2，+）上为增函数，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一实数根x0，

4、且x0（1，0）当x（2，x0）时，f（x）0，当x（x0，+）时，f（x）0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0综上，当m2时，f（x）03.（2015新课标）设函数f（x）=e2xalnx（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln解：（）f（x）=e2xalnx的定义域为（0，+），f（x）=2e2x当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）没有零点，当a0时，y=e2x为单调递增，y=单调递增，f（x）在（0，+）单调递增，又f（a）0，假设存在b满足0bln时，且b，f（b）0，故当a0时

5、，导函数f（x）存在唯一的零点，（）由（）知，可设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，当x（0，x0）时，f（x）0，当x（x0+）时，f（x）0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+）单调递增，所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于=0，所以f（x0）=+2ax0+aln2a+aln故当a0时，f（x）2a+aln4.（2016新课标）（）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x0时，（x2）ex+x+20；（）证明：当a0，1）时，函数g（x）=（x0）有最小值设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域解：（1）证明：f（x）=， f（x

6、）=ex（）=当x（，2）（2，+）时，f（x）0f（x）在（，2）和（2，+）上单调递增，x0时，f（0）=1即（x2）ex+x+20（2） g（x）= a0，1），由（1）知，当x0时，f（x）=的值域为（1，+），只有一解使得，只需et0恒成立，可得2t2，由x0，可得t（0，2当x（0，t）时，g（x）0，g（x）单调减；当x（t，+），g（x）0，g（x）单调增；h（a）=记k（t）=，在t（0，2时，k（t）=0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）（，5.（2017新课标）已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x

7、0，且e2f（x0）22【解答】（1）解：因为f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）=axalnx0，求导可知h（x）=a则当a0时h（x）0，即y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故a0因为当0x时h（x）0、当x时h（x）0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=aaln1=0，所以=1，解得a=1；另解：因为f（1）=0，所以f（x）0等价于f（x）在x0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x=1处是极小值，所以解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2xxlnx，f（x）=2

8、x2lnx，令f（x）=0，可得2x2lnx=0，记t（x）=2x2lnx，则t（x）=2，令t（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln210，从而t（x）=0有解，即f（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx0=0，所以f（x0）=x0x0lnx0=x0+2x02=x0，由x0可知f（x0）（x0）max=+=；由f（）0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22专心-专注-专业