数列中的数学思想和方法(共6页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 数列中的数学思想和方法 数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！一、方程思想方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法. 例 已知等差数列的公差是正数，且 ，求其前项和。解：由等差数列知：，从而，故是方程的两根，又，解之，得：。再解方程组：，所以。法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二点评：本题利用了这

2、一性质构造了二次方程巧妙的解出了，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与（或）找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个数。点评基本量法：性质法 技巧备用：设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q1，q2，a11.故数列an的通项为an

3、2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量二、函数思想 函数思想是用联系和变化的

4、观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.例2、已知等差数列中，则该数列前多少项的和最大？寻求通项 ，借助数列的单调性解决 解：，又，令，所以数列首项为正，公差为负，前项为正，从第项开始为负，所以前项的和最大，。巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性解：， 由等差数列下标的性质可得：，又， 当时，取得最大值。又，令，所以数列首项为正，公差为负，前项为正，从第项开始为负，所以前项的和最大，且。思路2：从函数的代数角度来分析数列问题解：，又， 当时，取得最大值。思路3：从函数图象入手，数形结合解：设，数列对应的图象是过原点的抛物线上孤立的点，又，

5、对称轴为且开口向下， 当时，取得最大值。四种方法的比较设数列an的公差为d，S10S20，1029d2029d，解得d2，an2n31，设这个数列的前n项和最大，则需即14.5n15.5，nN*，n15.方法二设数列an的公差为d，S10S20，1029d2029d，解得d2.等差数列an的前n项和Sn n2(a1)n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S10S20，知x15是其对称轴，由d2知二次函数的图象开口向下，故n15时Sn最大备用：数列中，求数列的最大项。.小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n项和的最值问题，避免了复杂的运算过程. 数列是一种特殊的函数，在求解

6、数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题值得注意的是数列定义域是正整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响三、分类讨论思想复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题. 分类讨论是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略,在数学解题中有广泛的应用.所谓分类讨论,是在讨论对象明确的条件下,按照同一的分类标准,不重复、不遗漏、不越级的原则下进行的.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.例、已知等差数列的前项的和，求。解：当时，；当时，；综合 可知。点评：此例从分的体现了与的

7、关系中隐含了分类讨论思想，其理由是中脚码必须为正整数。备用：已知数列的前项和，试求数列的前项和的表达式.分析:解题的关键是求出数列的通项公式,并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值.故需分类探讨解:当n=1时,;当n2时,.当1n9时, ,当n10时,.从而当1n9时, =;当n10时, =.=小结：数列中的分类讨论多涉及对公差d、公比q、项数n的讨论,特别是对项数n的讨论成为近几年高考的热点.四、整体的思想 整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的.例、在等差数列中，已知，求的值。解：，例4、在等比数列中，则_.分析根据题设条件可知q10，而

8、q90，故可整体代入求解解析设等比数列an的公比为q，则q10，又q90(q10)99，故a99a1009(a9a10).答案小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求出它的准确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的.备用：已知数列为等差数列，前项和为，前项中奇数项和与偶数项和之比为,求公差.分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思想去解决,解法十分简捷.解:由题意令奇数项和为,偶数项和为.因为：所以：.而.五、转化与化归的思想等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象,使之成为大家熟

9、悉的或容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法.例5 已知数列的首项，前项和为，且，求的通项公式。分析与略解：当n2时，。两式相减，得，。可见是公比为2的等比数列。又 ，得 ，则 。因此 。两边同除以，得（常数），可见是首项为，公差为的等差数列。因此，从而。评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行。问题降低了难度。六、类比的思想方法 如：数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数以及等差数列与等比数列之间概念和性质的类比等。类比等差数列的通项、性质、前n项和，可以得出对等比数列相应问题的研究；类比函数概念、性质、表达式，可以得出对数

10、列、等差数列、等比数列相应问题的研究。类比思想的应用是本章的主要特色。还有一些重要的思想方法，如递推思想、从特殊到一般、数形结合、构造模型等思想方法。数列问题应用数学思想方法来解决非常重要，具体应用在数学解题中灵活多变，如果我们掌握了数学思想方法解题的一些常用技巧，在解决数列的时候认真分析，巧妙地应用八种数学思想方法中的一种来解决，那么解题就变得简单多了在高中数学中，我们也可以应用这些思想方法来解决相关数学问题.并且学好这些思想方法我们也可以来解决其它数学知识方面的难点问题.预习作业：1设数列是公差不为零的等差数列，为其前项和，且，则数列的通项公式为_答案an36(2n1)解析设等差数列an的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得a9(2a1d)，4a16d4(2a1d )由得d2a1，代入有a36a1，解得a10或a136.将a10舍去因此a136，d72，故数列an的通项公式为 an36(n1)7272n3636(2n1)2若数列的前项和 ，则此数列的通项公式为_；数列中最小的项是第_项答案an3n163 解析利用an求得an3n16. 则nan3n216n3(n)2，所以n3时，nan的值最小3、在等比数列中，则_.总结方法比做题重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.祝同学们学习进步！专心-专注-专业