数学分析11.1反常积分概念(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十一章 反常积分1 反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v0至少要多大？解：设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(R)处火箭所受的引力为F=.于是火箭从地面上升到距离地心为r(R)处需作的功为：dx=mgR2. 当r+时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功.可表示为：dx=dx=mgR.又由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应满足：mv02=mgR.以g=9.81m/s2, R=6.371106m代入，可得v0=11.2km/s.例2：

2、圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：记桶中水液面到桶顶的距离为x，则水从孔中流出的流速为：v=，其中g为重力加速度.设很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，则R2dx=vr2dt，即有dt=dx. 流完一桶水所需的时间为：tf=dx，又被积函数在0,h)上无界，所以它的确切含义为：tf=dx=.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f定义在无穷区间a,+)上，且在任何有限区间a,u上可积，如果存在极限=J，则称此极限J为函数f在a,+)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=dx，并称dx收敛. 若极限

3、不存在，则称dx发散. 类似的，可定义f在(-,b的无穷积分：dx=.又有dx=dx +dx, 其中a为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，dx才收敛.例3：讨论无穷积分的收敛性.解：当p=1时，=lnu=+,当p1时，=, 当p1时，发散于+; 当p1时，收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性：(1); (2).解：(1)=; 根据例3的结论可知，当p1时发散; 当p1时收敛.(2)=+=+=+=arttanu-arttanv=，收敛.定义2：设函数f定义在区间(a,b上，在a 点的任一右邻域内无界，但在任何u,b(a,b上有界且可积. 如果存在极限=J，则称此极限为无界函数f在(a,b上

4、的反常积分，记作J=dx，并称反常积分dx收敛. a称为f的瑕点，而无界函数反常积分dx又称为瑕积分. 若极限不存在，则称dx发散. 类似的，可定义瑕点为b时的瑕积分：dx =.其中f在a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但在任何a,ua,b)上可积. 又若f的瑕点c(a,b)，则定义瑕积分dx =dx+dx =+, 其中f在a,c)(c,b上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何a,ua,c)和v,b(c,b上都可积. 当且仅当dx和dx都收敛时，dx才收敛.又若a,b都是f的瑕点，而f在任何u,v(a,b)上可积，则定义瑕积分dx =dx+dx =+, 其中c为(a,b)内任一实数

5、. 当且仅当和都收敛时，dx才收敛.例5：计算瑕积分的值.解：=arcsinu=.例6：讨论瑕积分(q0)的收敛性.解：当q=1时，=-lnu=+,当0q1时，=+, 当q1时，发散于+; 当0q0)，右边两个反常积分不同时收敛，对任何实数p发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：(1)dx；(2)dx；(3)dx；(4)；(5)；(6)dx；(7)dx；(8).解：(1)dx=dx=，收敛.(2)dx=dx=-.dx=dx+dx=0，收敛.(3)dx=-2d=-2=2，收敛.(4)=1-ln2，收敛.(5)=；=；=+=，收敛. (6)dx=dx=-e-u(cosu+sin

6、u)+1=，收敛.(7)dx=dx=eu(cosu-sinu)-1= +，发散；dx发散.(8)=+，发散.2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值.(1)；(2)；(3)；(4)dx；(5)dx；(6)dx；(7)；(8).解：(1)当p=1时，=+，发散；当p1时，=，当p1时，=+，发散.当p0，则由=A，取=0，存在M，使当xM时，有|f(x)-A|，即f(x) .记f(x)=g(x)+，则dx =dx+dx，dx发散，dx发散，矛盾. =A=0.6、证明：若f在a,+)上可导，且dx与dx都收敛，则=0.证：dx=dx= f(u)-f(a)=-f(a)，收敛.存在，又dx存在，根据第5题的结论有=0.专心-专注-专业