直线与圆的代数方法专题训练(教师版.docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上直线与圆的代数方法专题训练一、有关垂直问题：1、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。解析：圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CMl，kCMkl= 1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直线l的方程为yb=xa，即xy+ba=0CM=以AB为直径的圆M过原点，把代入得，当此时直线l的方程为xy4=0；当此时直线l的方程为xy+1=0故这样的直线l是存在的，方程为xy4=0 或xy+1=0评析：此题用,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的

2、方程比较简单二、取值范围问题2、已知点A(2，1)和B(2，3)，圆C：x2y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围. 解：过点A、B的直线方程为在l：xy1 = 0, 作OP垂直AB于点P，连结OB.由图象得：|m|OP或|m|OB时，线段AB与圆x2y2 = m2无交点. （I）当|m|OP时，由点到直线的距离公式得：，即. （II）当OB时, ,即 . 当和时，圆x2y2 = m2与线段AB无交点.3、已知动圆与轴相切，且过点.求动圆圆心的轨迹方程；设、为曲线上两点，求点横坐标的取值范围. 解： 设为轨迹上任一点，则 化简得： 为求。 设， 或 为求 三、定点（或定值

3、）问题4、已知圆，直线过定点。（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。解：（1）若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。 2分 若直线斜率存在，设直线为，即。由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：， 解之得 所求直线方程是， （2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为由得 又直线与垂直，由得 为定值。 故是定值，且为6。 四、探索性问题5、已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.（）求证：当与垂直时，必过圆心；（）当时，求直线的方程；（）探索是否与直

4、线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.解析：（）与垂直，且，故直线方程为，即圆心坐标（0，3）满足直线方程，当与垂直时，必过圆心（）当直线与轴垂直时, 易知符合题意当直线与轴不垂直时, 设直线的方程为，即，8分则由，得, 直线：. 故直线的方程为或10分（）, 12分 当与轴垂直时，易得，则,又,14分当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）,则= 综上所述，与直线的斜率无关，且.16分课后综合训练1、已知过点,且与:关于直线对称.()求的方程；()设为上的一个动点,求的最小值；()过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行

5、?请说明理由. 解:()设圆心,则,解得(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)()设,则,且=,(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10分)()由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设, 由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以= 所以,直线和一定平行2、已知圆O的方程为且与圆O相切。（1） 求直线的方程；（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）直线过点，且与

6、圆：相切，设直线的方程为，即，2分则圆心到直线的距离为，解得，直线的方程为，即 （2）对于圆方程,令，得,即又直线过点且与轴垂直，直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得,以为直径的圆的方程为， 又，整理得，若圆经过定点，只需令，从而有，解得，圆总经过定点坐标为3、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.(1)求直线的方程；求圆的方程；设点在圆上，试问使的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.解：直线的斜率 ，中点坐标为 ， 直线方程为 （4分） 设圆心，则由在上得： 又直径,又 （7分）由解得或圆心 或 圆的方程为 或 （9分） ， 当面积为时 ，点到直线的距离为

7、 。 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且 圆上共有两个点使 的面积为 . （14分）4、在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点圆C过点A且与l1、l2相切（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标解析（）直线设 的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为 即已知圆C与圆心C在过点D且与垂直的直线上， 又圆心C在过点A且与垂直的直线上，由得，圆C的半径r=3故所求圆C的方程为 （）设点关于的对称点，则 得固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为为 ，得最小值5、

8、已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）若O为坐标原点，且.解：（1）由6、已知圆，点，直线.求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.解：设所求直线方程为，即，直线与圆相切，得，所求直线方程为 -5分方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或。 下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。设，则， ，从而为常数。 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立， ，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 7、已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得，或，故所求直线的方程为：或（3）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或所以经过三点的圆必过定点或.专心-专注-专业