不动点定理及其应用(共14页).docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上不动点定理及其应用摘 要 不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词 不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and unique
2、ness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theo
3、rem, Banach Space专心-专注-专业不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论1-3.而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题4,它是许多存在唯一性定理(例如微分方程,积分方程,代数方程等)的证明中的一个有力工具.下面给出不动点的定义.定义 0.1设映射,若满足,则称是的不动点.即在函数取值的过程中,有一点使得.对此定义,有以下理解.1)代数意义:若方程有实数根,则有不动点.2)几何意义:若函数与有交点则就是的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容.
4、 对于许多方程的求解问题,往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach不动点定理及其应用1.1相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.13 设为距离空间,是X中的点列,若对任给的,存在,使得当时,.则称点列为基本点列或Cauchy点列.如果中的任一基本点列均收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.定义1.1.23 定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.33 给定距离空间及映射:,若满足,则称是的不动点.1.2 Banach不动点定理定理1.2.13 设是完备的距离空间,距离为.是由到其自身
5、的映射,且对任意的,不等式成立,其中是满足不等式的常数.那么在中存在唯一的不动点.即存在唯一的,使得.证明 在中任意取定一点,令 ,首先证明是中的一个基本点列.因为 ; ; 于是 , .又,故即是基本点列.由于完备,所以由定义1.1.1知收敛于中某一点.另外,由知,是连续映射.在中,令得,因此是的一个不动点.下面证明唯一性.设另有使,则 考虑到,则有即. 定理1.2.23 设是由完备距离空间到其自身的映射,如果存在常数以及自然数使得 那么在中存在唯一的不动点.证明 由不等式,满足定理1.2.1的条件,故存在唯一的不动点.现在证明也是映射唯一的不动点.事实上 可知,是映射的不动点.由不动点的唯一
6、性,可得,故是映射的不动点.若另有不动点,则由 知也是的不动点.仍由唯一性,可得.1.3 Banach不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程 其中是上的已知连续函数,是定义在矩形区域上的已知连续函数,证明当足够小时(是常数),式在上存在唯一连续解.证明 在内规定距离令 则当充分小时,是的压缩映射.因 其中,从而当时,是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题 其中,且关于满足Lipschitz条件,即存在使 , 则初值问题在上存在唯一解.证明 微分方程(3)等价于积分方程 ,取,使在
7、上定义映射 则由(4)式得 = ,已知,故由定理1.2.1知存在唯一的连续函数使即 ,且在上连续可微,且就是微分方程在上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若是上的压缩映射,则对,由递推公式确定的数列收敛,且为的唯一不动点.例1.3.2.15 证明:若在区间上可微,且,任取.令 ,则为方程 的根(即为的不动点). 证明 已知,设则 ()由已知得 即,从而得知,一切.由微分中值定理,存在在与之间,即使得.这表明是压缩映射,所以收敛.又因连续.在里取极限知的极限为 的根.例1.3.2.29 设求证数列收敛并求其极限.证明 易知.则我们在区间上考虑函数,对有.即是上的
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- 不动 定理 及其 应用 14
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