2020高考数学三角形中的最值问题解题指导（一）(共26页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上【2020年高考数学】三角形中的最值问题解题指导（一） 第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题 类型对应典例求三角形中角相关的最值问题典例1求三角形中边相关的最值问题典例2求三角形中面积相关的最值问题典例3求三角形中周长相关的最值问题典例4平面图形中三角形面积的最值问题典例5求三角形中相关的混合型的最值问题典例6求三角形中线段的最值问题典例7【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小（2）求函数的值域【思路引导】（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值

2、；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在中，角，所对的边分别是，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知ABC的内角A，B，C满足（1）求角A；（2）若ABC的

3、外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知的三个内角，所对的边分别为，设，.（1）若，求与的夹角；（2）若，求周长的最大值.【思路引导】（1）将代入可求得.根据平面向量数量积的坐标运算求得,由数量积的定义即可求得,进而得夹角.（2）根据及向量模的坐标表示,可求得.再由余弦定理可得.结合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得的取值范围,进

4、而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形中，点、分别在边、上，. （1）求，（用表示）；（2）求的面积的最小值.【思路引导】（1）根据，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和即可；（2）由条件知，然后根据的范围，利用正弦函数的图象和性质求出的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）设，的面积为S，求的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把边用角表示，即，这样，又，就表示为的三角函数，由三

5、角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】的内角，的对边分别为，且，（1）求；（2）若为锐角三角形，为中点，求的取值范围【思路引导】（1）由正弦定理，将式子中的边化成角得到，从而求得的值；（2）由（1）知，可得的范围，再将表示成关于的函数，从而求得的取值范围. 【针对训练】1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在中，、分别是角、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】分别为的

6、内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在中，分别是角，的对边，已知向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD中，A为锐角，.（1）求；（2）设、的外接圆半径分别为，

7、若恒成立，求实数m的最小值.7. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在中，内角的对边分别为，已知(1)求角；(2)若，求的最小值9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，

8、设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值11. 中，的面积为.（1）求；（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 【参考答案部分】【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小（2）求函数的值域【思路引导】（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.解：（1）由，利用正弦定理可

9、得，可化为，.（2），.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在中，角，所对的边分别是，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得： 即 （2）由（1）知： ， ，即的取值范围为【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知ABC的内角A，B，C满足（1）求角A；（2）若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【思路引

10、导】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.解：（1）设内角，所对的边分别为，根据，可得，所以，又因为，所以（2），所以，所以（时取等号）【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知的三个内角，所对的边分别为，设，.（1）若，求与的夹角；（2）若，求周长的最大值.【思路引导】（1）将代入可求得.根据平面向量数量积的坐标运算求得,由数量积的定义即可求得,进而得夹角.（2）根据及向量模的坐标表示,可求得.再由余弦定理可得.结合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出,结合辅

11、助角公式及角的取值范围,即可求得的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）,所以,因为,又,（2）因为,即,所以,方法1.由余弦定理,得.,即,即,（当且仅当时取等号）所以周长的最大值为.方法2.由正弦定理可知,所以,又,所以当时,取最大值.所以周长的最大值为.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形中，点、分别在边、上，. （1）求，（用表示）；（2）求的面积的最小值.【思路引导】（1）根据，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和即可；（2）由条件知，然后根据的范围，利用正弦函数的图象和性质求出的最小值.解：（1）在中，所以，在中，；（2），因为，所

12、以，即，当时，即当时，取最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）设，的面积为S，求的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把边用角表示，即，这样，又，就表示为的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值解：（1）由正弦定理，由余弦定理，；（2）由正弦定理，.当且仅当时等号成立，故最大值为.【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】的内角，的对边分别为，且，（1）求；（2

13、）若为锐角三角形，为中点，求的取值范围【思路引导】（1）由正弦定理，将式子中的边化成角得到，从而求得的值；（2）由（1）知，可得的范围，再将表示成关于的函数，从而求得的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理，得，又，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）由（1）知，根据题意得 解得. 在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以.因为为中点，所以，所以，因为，所以的取值范围为. 【针对训练】1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在中，、分别是角、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）

14、由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知，由余弦定理可知，又，.（2）由正弦定理可知，即，又为锐角三角形，即，则，所以，综上的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长解：（1

15、）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，则，化简得，.又，因此，；

16、（2）如下图，由，又为的中点，则，等式两边平方得，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得.（2）利用正弦定理,表示出,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得的最大值.解：（1）,由正弦定理得从而有,；（2）由正弦定理得：,则,当时,取得最大值；5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在中，分别是角，的对边，已知向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【思路引导】（1）

17、根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角的大小；（2）根据余弦定理求出的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.解：（1）由得，由正弦定理，得，即，因为在三角形中，则，又，故；（2）在中，因，由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，解得，又由三角形性质得，故，则，即的周长的取值范围为.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD中，A为锐角，.（1）求；（2）设、的外接圆半径分别为，若恒成立，求实数m的最小值.【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可.(2)根据正弦定理参变分离,再利用的取值范围求解解：（

18、1）由题, ,即,因为.故.所以.（2）,因为,故当时有最大值所以,即实数m的最小值为7. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.解：（1）由题意知，化简得：即，因为，所以，从而，由正弦定理得.（2）由（1）知，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在中，内角的对边分别为，已知

19、(1)求角；(2)若，求的最小值【思路引导】（）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值解：(1) 中，由正弦定理知，(2) 由 (1)及得，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.【思路引导】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值解：（1）在中，（2）当时，取最大值.10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】

20、已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值【思路引导】（1）根据，化简可得，进一步得到，然后求出的值；（2）由（1）的角及三角形面积公式可得的值，因为D为边AC的中点，所以，利用向量的模和基本不等式可求的取值范围，即可得到的最小值.解：（1）由，得，即，即.由正弦定理得，因，所以，则，所以， 所以，即.（2）由ABC的面积为，即，得.因为D为边AC的中点，所以，所以，即，当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.11. 中，的面积为.（1）求（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.【思路引导】（1）利用求出，再利用余弦定理求即可；（2）设，在中，利用正弦定理表示出，在中，利用正弦定理表示出，再将的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.解：（1）因为所以，又，所以，由余弦定理得：，所以；（2）设，则，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中，由正弦定理得：，由（1）可得，则，所以，所以，当时，故的面积的最小值为.专心-专注-专业