2012年全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形(共111页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国各地中考数学压轴题专集答案七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形1（天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B 和折痕OP设BPt（）如图，当BOP30时，求点P的坐标；（）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB 上，得点C 和折痕PQ，若AQm，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点C 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）ABxOyCPB图CQABxOyCPB图解：（）根据题意，OBP9

2、0，OB6在RtOBP中，由BOP30，BPt，得OP2t根据勾股定理，OP 2OB 2BP 2即( 2t )26 2t 2，解得t2（t2舍去）点P的坐标为（2，6）（）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的OBPOBP，QCPQCPOPBOPB，QPCQPCABxOyCPBCQOPBOPBQPCQPC180，OPBQPC90BOPOPB90，BOPCPQ又OBPC90，OBPPCQ， 由题设BPt，AQm，BC11，AC6，则PC11t，CQ6m ，m t 2 t6（0t 11）（）点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）ABxOyCPQH提示：过点P作PHOA于H易证PCHCQA， P

3、CPC11t，PHOB6，AQm，CQCQ6mAC ，即 ，3612mt 2，即12m36t 2又m t 2 t6，即12m2t 222t722t 222t7236t 2，即3t 222t360解得：t 点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）2（天津模拟）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点（1）设C（x，0），SAOM y，求y与x的函数关系式；（2）如果以线段AO为直径的D和以BC为直径的M外切，求点C的坐标；（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与OMC相似，求直线CN的解析式CABOMxDy解：（1）取OA中点

4、D，连接DM则DM ( ABOC ) (4x ) x2y OADM 2( x2 ) x2即y x2（2）设M的半径为r，M与AB交于点E，连接CECABOMxDyEN则BEC90，OCAEx，BE4x，CE2在RtBCE中，(4x )22 2(2r )2 又DM1r 由、解得x 点C的坐标为（ ，0）（3）延长AM交x轴于点F则CMFBMA，CFAB4，OFx4ABOF，ANBFNO， AN AF DMOA，ADOD，AMOMDAMDOM，BANMOCCABOMxDyNF若 ，则ABNOMC于是 整理得：x 28x200，解得：x110（舍去），x22C（2，0），F（6，0）可得直线AF的解

5、析式为y x2，直线OB的解析式为y x由 解得 N（ ，）CABOMxDyNF设直线CN的解析式为ykxb，则： 解得 直线CN的解析式为y3x6若 ，则ABNOCM于是 整理得：x82x，解得：x8C（8，0），F（12，0）可得直线AF的解析式为y x2，直线OB的解析式为y x由 解得 N（3，）设直线CN的解析式为ykxb，则： 解得 直线CN的解析式为y x 3（上海模拟）在矩形ABCD中，AB4，BC3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EFCE交AD于点F，过点E作AEHBEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点

6、H在线段FD上时，设BEx，DNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连接AC，当FHE与AEC相似时，求线段DN的长AEBFC备用图DAEBNDC图1F(H)ABENDCFH图2解：（1）EFEC，AEFBEC90AEHBEC，BEC45B90，BEBCBC3，BE3ABENDCFHG（2）过点E作EGCN，垂足为点GBECGABCN，AEHN，BECECNAEHBEC，NECN，ENECCN2CG2BEBEx，DNy，CDAB4y2x4（2x 3）（3）A90，AFEAEF90EFEC，AEFBEC90AFEBEC，HFEAECABHNCDFECC当FHE与AEC相

7、似时若FHEEACBADB，AEHBECFHEECB，EACECBtanEACtanECB， ，BE ，DN 若FHEECA，作EGCN于G，交AC于O12ABHCDFENGOENEC，EGCN，12AHEG，FHE1，FHE22ECA，OEOC设OEOC3k，则AE4k，AO5kAOOC8k5，k AE ，BE ，CN3，DN1综上所述：线段DN的长为 或14（上海模拟）已知在梯形ABCD中，ABDC，AD2DE，CE2BE，ADEECD，DECE4（1）如图1，求证：DECB；（2）如图2，点F是线段EB上一动点（不与E重合），连接CF并延长交DE的延长线于点G，设EFx，DGy，求y与x

8、的函数关系式；CADEB图1CADEB图2FG（3）点P是线段AE上一动点（不与E重合），连接CP交DE于点Q，当PQE是等腰三角形时，求AP的长CADEB备用图（1）证明：ABDC，CEBECDADEECD，ADECEBAD2DE，CE2BE， ADECEB，AEDBDECB（2）解：ABDC，DECB四边形DEBC是平行四边形，DEBCDECE4，BC4CE2BE，BE2DGCB， 即 y （0x2）（3）解：当PEQE时CADEBQPPEDC， DCDQ四边形DEBC是平行四边形，DCBE2DQ2ADECEB，DECECB4，BE2AEAD8PEQEDEDQ422AP826CADEBQP

9、当PEPQ时则PQEPEQAEAD，ADEPEQPQEADE，ADPC四边形APCD是平行四边形APDC2当PQEQ时则QPEQEPCBECEB此时点P与点E重合，PQE不存在综上所述，当PQE是等腰三角形时，AP的长为6或25（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，ABDC，D90，AB3，DC6，BC5点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，且AEAF，连接EF，与边BC相交于点G（1）设BFx，DEy，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当四边形BECF是平行四边形时，求BF的长；（3）当点E在边DC上移动时，BFG能否成为等腰三角形？如果能，求BF的长；如果不能

10、，请说明理由ABDC备用图ABDCEFG解：（1）ABDC，D90，AB3，DC6，BC5AD4在RtADE中，AD 2DE 2AE 2BFx，AFABBF3xAEAF3x，DEy，4 2y 2( 3x )2y当E与D重合时，y0，则xADAB1当E与C重合时，AC 2 ，x2 31x2 3（2）BFEC，若四边形BECF是平行四边形，只需BFECx6，解得x 即BF的长为 （3）若BFBG，则BGFBFGAEFBGAE， ABCD， ，ECAB3，DEDCEC3AD4，AEAF5，BFAFAB2若BGFG，过G作AD的平行线，分别交BF、EC于点M、N则MNAB，四边形ADNM是矩形ABDC

11、EFGMNAMDN，BM BF xBGFG，ABDC，EGCGEN EC ( DCDE ) ( 6y )3 y3 xy3 y，xyx，解得x ，即BF 若BFFG，过F作FHBG于H，过E作EKGC于K则BG2BH2BFcosFBG2BFcosC2x xABDCEFGHKGC5 xBFFG，FBGFGBEGCABDC，FBGCEGCC，ECEGKC GC xcosC ，KC EC x ( 6 )，解得x 当x 时， x 0x 不合题意，应舍去综上所述，BFG能成为等腰三角形，BF的长为2或 6（上海模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB2，AD5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折

12、痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）（1）如图1，当BE 时，求AM的长；（2）当点E在BC上运动时，设BEx，ANy，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；ABDC备用图ABDC备用图ABDCNEM图1（4）连接DE，是否存在这样的点E，使AME与DNE相似？若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由解：（1）设BMa，AB2，MEAM2a在RtBME中，BM 2BE 2ME 2a 22( 2a )2，a AM （2）设BMa，BEx，a 2x 2( 2a )2a ，AM2 ABDCNEMF延长NM交CB延长线于点FFANMENM，EFENANyBFyxBFMANM， ，y 由

13、解得5 x 2函数的定义域为5 x 2（3）存在y 2 2x，即AN BEDNE90又AME90，AMMEABDCNEM若AMEDNE，则DNENNDENEDAMME，MAEMEAADBC，NDEDECBAEDEC，ABEECD ， 解得x14（舍去），x21BE1存在点E，使AME与DNE相似，此时BE的长为1NKGCEDFABPM7（上海模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）

14、当NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由解：（1）正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCDEF90O ，AEMC，MCNKAENK，KNAEAFKNAEAF， ，即 yx6（0x 6）（2）由（1）知NKAE，ANAF正方形DMNK，APNM， 1FPPM，SMNP SNPF 32S正方形DMNK 2SMNP 64y8，x2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GHAD易知：AP ，AHx，PH x，HG6；PGAPGF x当两圆外切时在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(

15、 x )26 2( x )2解得：x33 （舍去）或x33 当两圆内切时在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即( x )26 2( x )2方程无解所以，当x3 3时，两圆相切8（上海模拟）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，EAF45，连接EF（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BEx，DFy，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动试判断以E为圆心，以B

16、E为半径的E和以F为圆心，以FD为半径的F之间的位置关系；ABDCEFG图2ABDCEF图1（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G问：EGF与EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由（1）猜想：EFBEDF证明：将ADF绕点A顺时针旋转90，得ABF，易知点F、B、E在同一直线上（如.图1）ABDCEF图1F12AFAFFAE1323904545EAF又AEAE，AFEAFEEFFEBEBFBEDF（2）在RtEFC中，EC 2FC 2EF 2EC1x，FC1y，EFxy( 1x )2( 1y )2( xy )2y （0x 1）（3）当点E在点B、

17、C之间时，由（1）知EFBEDF，故此时E与F外切；当点E在点C时，DF0，F不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕点A顺时针旋转90，得ABF（如图2）则AFAF，12，BFDF，FAF90FAEEAF45又AEAE，AFEAFEEFEFBEBFBEDF此时E与F内切综上所述，当点E在线段BC上时，E与F外切；当点E在BC延长线上时，E与F内切ABDCEFG图2F12（4）EGF与EFA能够相似，只要当EFGEAF45 即可此时CECF设BEx，DFy，由（3）知EFxy在RtCFE中，CE 2CF 2EF 2( x1 )2( 1y )2( xy )2y （x 1）由CECF，得x11y

18、，即x11 化简得x 22x10，解得x11 （舍去），x21 EGF与EFA能够相似，此时BE的长为1 DBACE9（上海模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD2，AD1，连接BD，作EBCABD，交边CD于E（1）设BCx，CEy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当BECD时，求BC的长；（3）当BDE是等腰三角形时，求BC的长解：（1）延长AD、BE交于点FDFBC，FEBC，EDFECBDEFCEB， DBACEFP即 ，DF FEBC，EBCABD，FABD又AA，ABFADB ，即 ，AF4ADDFAF，1 4y （0x5且x1）DBACEGP（2）

19、当BECD时，过D作DGBC于G则DGCBEC， 即 ，解得x2 1（舍去负值）此时BC的长为2 1（3）DBEABCCDEB，DBDE当BDBE时DBACEFPABFADB， BF2BD2BE，BEEFDEFCEB，CEDE CD1即 1，解得x3当BEDE时，则BDEDBEBEC2DBE过D作DHBC于H则CABCABDDBEEBC2EBCDBEDBACEH在BEC中，BECEBCC1802DBEEBC2EBCDBE180DBEEBC60，即DBC60HC ( x1)，BH x ( x1) ( x1)DHBH ( x1)在RtDHC中，DH 2HC 2DC 2 ( x1)2 ( x1)24

20、，解得x 当BDE是等腰三角形时，BC的长为3或 10（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD2，BC6，AB3E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连接BD，BM，DM是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形BE

21、FG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围BACD备用图BACD解：（1）如图，设正方形BEFG的边长为x则BEFGBGxBACD图EFGAB3，BC6，AGABBG3xGFBE，AGFABC ，即 解得x2，即BE2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图，过D作DHBC于点H则BHAD2，DHAB3由题意得：BBHEt，HB|t2|，EC4tBACD图EFGHBMN在RtBME中，BM 2BE 2ME 22 2( 2 t )2 t 22t8EFAB，MECABC ，即 ，ME2 t在RtDHB 中，BD 2DH 2BH 23 2( t2 )2t 2

22、4t13过M作MNDH于点N则MNHEt，NHME2 tDNDHNH3( 2 t ) t1在RtDMN中，DM 2DN 2MN 2 t 2t1（）若DBM90，则DM 2BM 2BD 2即 t 2t1( t 22t8 )( t 24t13 )，解得t （）若BMD90，则BD 2BM 2DM 2即t 24t13( t 22t8 )( t 2t1 )，解得t13 ，t23 0t 4，t3 （）若BDM90，则BM 2BD 2DM 2即 t 22t8( t 24t13 )( t 2t1 )，此方程无解BACD图EFGBH综上所述，当t 或3 时，BDM是直角三角形（3）当0t 时，S t 2当 t

23、 2时，S t 2t 当2t 时，S t 22t BACD图EFGBH当 t 4时，S t 提示：当点F落在CD上时，如图FE2，EC4t，DH3，HC4由FECDHC，得 即 ，t 当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）BACD图EFGBMNt2当点G落在CD上时，如图GB2，BC6t由GBCDHC，得 即 ，t 当点E与点C重合时，t4BACD图EFGBMNPQ当0t 时，如图MFt，FN tSSFMN t t t 2当 t 2时，如图PFt ，FQ PF t1BACD图EFGBPQMNSFPQ ( t )( t1 ) t 2t SSFMN SFPQ t 2( t 2t

24、) t 2t 当2t 时，如图BM BC ( 6t )3 tGM2( 3 t ) t1S梯形GMNF ( t1 t )2t1SS梯形GMNF SFPQ ( t1 )( t 2t ) t 22t BACD图EFGBPQNM当 t 4时，如图PB BC ( 6t ) tGP2( t ) t S梯形GPQF ( t t1 )2 t SS梯形GMNF S梯形GPQF ( t1 )( t ) t DACBEF11（浙江金华、丽水）如图，在直角梯形ABCD中，A90，B120，AD，AB6在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得DEF120（1）当点E是AB的中点时，求线段DF的长；（2）若射线EF经

25、过点C，求AE的长；（3）设AEx，CFy，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围解：（1）过E作EGDF于H，则EGADDACBEFGE是AB的中点，AB6，DG3，DEG60DEF120，FEGDEG60GF3，DF6（2）过B作BGDC于G，则四边形ABGD是矩形DACBE(F)GH123BGADABDC，ABC120，BCD60BC 2在AB上截取AH1，连接DHDACBE(F)H则DH2，AHD60，DHE1201260DEC120，236013又DHEEBC120，DHEEBC， DACBEFGH设AEx，则HEx1，EB6x ，解得x12，x25若射线EF经过点C，则A

26、E的长是2或5（3）当点F在线段DC上时过F作FGBC交AB于G，在AB上截取AH1，连接DH则DH2，AHD60，DHE120，BGCFy，EG6xy，GFBC2DACBEFGH由（2）知DHEEGF， ，即 y （2x 5）当点F在DC的延长线上时DACBEFGH过F作FGBC交AB的延长线于G，在AB上截取AH1，连接DH由DHEEGF，得 y （1x 2或5x 6）12（浙江嘉兴、舟山）将ABC绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得ABC，即如图，BAB， n，我们将这种变换记为，n（1）如图，对ABC作变换60，得ABC，则SABC : SABC _；直线BC与直线B

27、C所夹的锐角为_度；（2）如图，ABC中，BAC30，ACB90，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、C在同一直线上，且四边形ABBC 为矩形，求和n的值；（3）如图，ABC中，ABAC，BAC36，BC1，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、B 在同一直线上，且四边形ABBC 为平行四边形，求和n的值BACB（图）CBACB（图）CBACB（图）C解：（1）3；60（2）四边形ABBC 是矩形，BAC90CACBACBAC903060在RtABB 是中，ABB90，BAB60n 2（3）四边形ABBC 是平行四边形，ACBB又BAC36，CACACB72CABABBBAC36，而BB

28、ABCBBA，AB 21( 1AB )AB AB0，n 13（浙江某校自主招生）如图，矩形ABOD中，AB6，AD8，M是边AD上的点，且AM : MD1 : 3点E从点A出发，沿AB运动到点B停止连接EM并延长交射线OD于点F，过M作EF的垂线交射线BO于点G，连接EG、FG（1）设AEt时，EFG的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）若P是MG的中点，在E点运动的整个过程中，点P到x轴的距离是否为定值？请说明理由；OxyBGAPFEMD（3）请直接写出E点运动的整个过程中点P的运动路线的长解：（1）当点E与点A重合时，t0SSABD 8624OxyBGAPFE

29、MDHN当点E与点A重合时，0t 6在矩形ABOD中，AADO90MDF90，AMDFAMEDMF，AMEDMF AD8，AM2在RtAME中，AEt，AM2，ME EF4ME4 过M作MNBO于N，则MNG90，AMN90MNAB63AM，AMEEMN90EMG90，NMGEMN90AMENMG，AMENMGOxyBG2AMDG1P1P2 ，MG3ME3 S EFMG 4 3 246t 2（2）过P作PHBO于H，则PHMNP是MG的中点，PH MN3点P到x轴的距离是定值3（3）点P的运动路线的长为9提示：由（2）知，在E点运动的整个过程中，点P到x轴的距离是定值3所以点P的运动路线是一条

30、平行于BG的线段分别作出E与A重合、E与B重合时P点的位置P1、P2，则P1P2即为P点运动路线的长在RtBMG2中，MG1BG2，G1MG2MBG1tanG1MG2tanMBG13，G1G23MG118P1P2是MG1G2的中位线，P1P2 G1G29即点P的运动路线的长为914（浙江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）射线ykx交折线ABC于点P，点A关于OP的对称点为A（1）当点A 恰好在CB边上时，求CA 的长及k的值；（2）若经过O、A、A 三点的抛物线恰好以A 为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；（3）如图2，当点P在AB

31、边上，点A 在CB上方时，连接AO、AP分别交CB边于点E、F是否存在实数k使AEFBPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（4）以OP为直径作M，则M与矩形OABC最多有_个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围BACxOy备用图BACxOyPA图1BACxOyPA图2EPFP12解：（1）当点A 恰好在CB边上时，连接AO、AP，如图1OAOA5，OC3BACxOyPA图1CA 4ABCBCA541设PAx，则APPAx，BP3x在RtAPB中，AB 2BP 2AP 21 2( 3x )2x 2，解得x ，P（5，）k （2）连接AO、AP、AA，设AA交射线OP于点D，如图2

32、BACxOyPA图2D则OP垂直平分AA经过O、A、A 三点的抛物线恰好以A 为顶点由抛物线的对称性可知AOAA2ADAOD30，AODAOD30PA OA ，P（5，）k 可得AOA60，AOA是等边三角形点A 的坐标为（ ，）设抛物线的解析式为为ya( x )2 把O（0，0）代入上式，得0a( 0 )2 解得a BACxOyPA图3EPFP抛物线的解析式为为y ( x )2 （3）假设存在实数k，使AEFBPF，如图3AB90，AFEBFPAEBP，AFBF设AEBPa，AFBFb则APPA3a，EFPF3ab，OE5aCE5( 3ab )b2a在RtOCE中，OC 2CE 2OE 2BACxOyP图4M3 2( 2a )2( 5a )2，解得a PA3 ，P（5，）k （4）以OP为直径的M与矩形OABC最多有6个公共点提示：OAP90当点P在AB边上时，M经过O、A、P三点，如图4COP90，M必与OC边交于另一点又M与BC边最多有2个公共点M与矩形OABC最多有6个公共点当点P在BC边上时，情况亦然BACxOyP图5DPMEP当M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5则MDBC，DEABOC，DEOC3M是OP的中点，E是OA的中点ME PA设P