2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)(一试+二试-附详细解答)(共6页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、设a, b是两个正整数, 它们的最小公倍数是24337211, 那么这样的有序正整数对(a, b)有 _ 组.2、方程16sinxcosx16x的解集合为3、三棱锥是三条侧棱两两垂直的三棱锥，是底面内的一点，那么的最小值是_4、对任意，代数式的最小值为_5、计算：_6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球

2、方式为_种7、对，函数都满足：；则_8、设个实数满足条件则的最大值为_二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足条件：试求所有这样的数对的个数10. 是椭圆1(ab0)上任意一点，是椭圆的焦点，分别交椭圆与两点，求证：是定值11. 给定大于2011的正整数，将分别填入的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)加试(考试时间：1

3、50分钟 满分：180分)姓名：_考试号：_得分：_一、（本题满分40分）设D为内的一点，作DPBC于P，DQAC于Q，DRAB于RAQDRCBP求证：是的充要条件。二、（本题满分40分）已知数列，令为中的最大值（），则称数列为“创新数列”，数列中不同数的个数称为“创新数列”的“阶数”，例如：为，则“创新数列”为，其“阶数”为3若数列由(3)构成，求能构成“创新数列”的“阶数”为2的所有数列的首项和 三、（本题满分50分）设的三边长为，分别为对应边上的高、中线和角平分线，求证：, 当且仅当是正三角形时等号成立四、（本题满分50分）求证：面积为1的凸(6)边形可以被面积为2的三角形覆盖2012年

4、全国高中数学联赛模拟卷(10)答案1、设, 则有.故有序正整数对(a, b)有=945组.2、当x0时，16x8，（x取到等号）而，(xk, kZ取到等号), 于是有当x0时，方程只有一个解x。由于奇函数的性质，可知x是方程的另一解。故方程的解集合为, 3、解：由，得，同理还有两个不等式，则W4、解：配方得，设， 点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，所以：5、解：设 ， 则是方程的根，则，令，则原式6、解：设经过次传球跑动后回到甲的不同传球方式为（2），则， 所以 7、解：由可推出 8、解： 当2时，令则，所以：9、解：由 可得对于每个，在这个范围内的整数个数为又 ， 则707, 但当时，

5、所以：数对的总数为10、证明：如图，由椭圆的定义知：， 其中为该椭圆的离心率，为该椭圆的焦准距由相似形及和分比定理得：所以：, 同理可得：所以：为定值11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有个格子为行优的另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数将棋盘的第行第（大于时，取模的余数）列中的格子填入“*”，再将填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有个AQDRCBP容易验证

6、这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为个二试题答案：一、证明：证明：先证充分性。如图，由于DPC=DQC=90，所以D，Q，P，C四点共圆。进而BCA+PDQ=180，ACD=QPD同理，由D，R，A，Q四点共圆，得CAD=QRD，BAC+QDR=180在和中应用正弦定理，得；又PQ=QR，所以，于是再证必要性。同上可得又，所以，即，所以二、解：首项，则任意排列，第一个空的位置是，则所有数列的首项和为方法二、设，首项（），则所有数列的首项和为三、证明：由角平分线公式知，所以：，由柯栖不等式得：，同理，所以：，当且仅当是正三角形时等号成立四、证明：（1）若凸边形中顶点三角形面积都小于等于，则取其顶点三角形中面积最大的，设为，作使得为各边的中点则凸边形其它顶点都在中（包括边界），否则与面积最大矛盾所以覆盖了凸边形，其面积小于等于2（2）若凸边形中存在顶点三角形面积大于，设为，如图设为直线与异侧的顶点中到直线距离最大的点；为直线与异侧的顶点中到直线距离最大的点；为直线与异侧的顶点中到直线距离最大的点；过，分别作，的平行线，得到设与的位似中心为，相似比为则 所以：，又1，得1，所以：所以：即覆盖了凸边形专心-专注-专业