全国高中数学竞赛专题-三角函数(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=,其中r是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin=,余弦函数cos

2、=,正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=

3、-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限）。定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期：2. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1，值域为-1，1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心。这里kZ.定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期：2。

4、奇偶性：偶函数。有界性：当且仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。对称性：直线x=k均为其对称轴，点均为其对称中心。这里kZ.定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函数, 最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()= 两角和与差的变式： 三角和的正切公式：定理7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos, sin-sin=2sinco

5、s,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-), cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-), sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 二倍角公式：sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=三倍角公式及变式：， ，定理9 半角公式: sin=, cos=,tan=定理10 万能公式: , ,定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为，则sin=,cos

6、=，对任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14 射影定理：在任意ABC中有，定理15 欧拉定理：在任意ABC中，其中O,I分别为ABC的外心和内心。定理16 面积公式：在任意ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长则 定理17 与ABC三个内角有关的公式： （1） （2）（3）（4）（5）（6）定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k

7、的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=t

8、anx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). 函数y=cotx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, +).定理19 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理20 若干有用的不等式：（1）若，则sinxxtanx.（2）函数在上为减函数；函数在上为增函数。（3）嵌入不等

9、式：设A+B+C=，则对任意的x,y,zR，有等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题1结合图象解题。例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2三角函数性质的应用。例2 设x(0, ), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。【解】 若，则-1cosx0，所以cos，所以sin(cosx) 0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).若，则因为sinx+cosx=sin(x+)，所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin

10、(cosx).综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)0).例6 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(x+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意xR成立。又0，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=2时，此时f(x)=sin(x+)

11、在0，上不是单调函数，综上，=或2。7三角公式的应用。例7 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值。【解】 因为-，所以cos(-)=-又因为+，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例8 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例9 求证：tan20+4cos70=【解】 tan2

12、0+4cos70=+4sin20例10 证明：分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为 从而有 评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令，展开即可.例11 已知证明：例12 证明：对任一自然数n及任意实数为任一整数），有思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.证明：同理评述：本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：.

13、例13 设的内角所对的边成等比数列，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解 设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是故选C例14 ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为（ ）A2B4C6D8解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+同理原式=选A.例15 若对所有实数，均有，则（ ）. 、；、；、；、解：记 ，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意故选D例16 已知是偶

14、函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是A B. 2 C. D. 4解：由已知条件可知，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。因此 选 A。例17 已知，直线与的交点在直线上，则 。解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。1、 。2、已知函数，则f(x)的最小值为_。3、已知，且。则的值是_ _.4、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立，则= 5、设0.8、已知9、若A，B，C为ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。10、证明：11、已知，为锐角，且x（+

15、-）0，求证：12、求证： sin1sin2sin3sin89=全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案1、解：根据题意要求，。于是有。因此。因此答案为 1。2、解：实际上，设，则g(x)0，g(x)在上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g(x2)=g(x1)。于是，而f(x)在上是减函数，所以，即f(x)在上的最小值是。3、解：4、解：令c=，则对任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取，c=，则对任意的xR，af(x)+bf(xc)=1，由此得。一般地，由题设可得，其中且，于是af(x)+bf(xc)=1可化为，即，所以。

16、由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有，若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。当c=2k时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知，所以。5、【解】因为00, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= =当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。6、思路分析：等式左边同时出现、，联想到公式.证明：评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证等.7、【证明】 由题设知an0，令an=tana

17、n, an，则an=因为，an，所以an=，所以an=又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以。又因为当0xx，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。8、分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法1： 证法2： 9、【解】 因为sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因为，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,当A=B=C=时，（sinA+s

18、inB+sinC）max=.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。10、证明： 所以，评述：类似地，有 利用上述公式可快速证明下列各式： 11、【证明】 若+，则x0，由-0得coscos(-)=sin,所以0sin(-)=cos, 所以01，所以若+，则x0，由0-cos(-)=sin0,所以1。又0sin1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。12、证明：cos6cos42cos66cos78=cos6cos54cos66sin1sin2sin3sin89=(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60=又 即 所以 专心-专注-专业