2019-2020学年高中数学选修2-1第3章《空间向量与立体几何》测试卷及答案(共15页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2019-2020学年高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在空间四边形ABCD,连接AC,BD,若BCD为正三角形,且E为其中心,则化简AB+12BC-32DE-AD的结果是()A.ABB.2BDC.0D.2DE解析:如图,F是BC的中点,E为DF的三等分点,于是32DE=DF,12BC=BF,则AB+12BC-32DE-AD=AB+BF-DF-AD=AF+FD-AD=AD-AD=0.故选C.答案:C2设平面内的两个向量

2、a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是的法向量的是()A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析:设平面的法向量为n=(x,y,z),则x+2y+z=0,-x+y+2z=0,取y=1,得n=(-1,1,-1).答案:B3如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35解析:不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1).cos=B

3、C1AB1|BC1|AB1|=0+4-153=55.故选A.答案:A4若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),a,b夹角的余弦值为89,则x等于()A.2B.-2C.-2或255D.2或-255解析:cos=ab|a|b|=6-x35+x2=89,解得x=-2或x=255.答案:C5如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,若C1EF=90,则点F的坐标为()A.2,14,0B.2,13,0C.2,12,0D.2,23,0解析:由题意可得E(2,0,1),C1(0,2,2),设F(2,y,0),则EC1=(-2

4、,2,1),EF=(0,y,-1).因为C1EF=90,所以EC1EF=2y-1=0,解得y=12,则点F的坐标为2,12,0,故选C.答案:C6已知点A(-3,4,3),O为坐标原点,则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()A.34B.35C.53D.1解析:点A在平面yOz上射影为B(0,4,3),且|OB|=5,OA与平面yOz所成角满足tan =|AB|OB|=35.答案:B7如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,若A1AB=A1AD=60,且A1A=3,则A1C的长为()A.5B.22C.14D.17答案:A8在边长为1的菱形ABCD中,ABC=6

5、0.将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的余弦值为()A.13B.12C.233D.32解析:设菱形对角线AC与BD相交于点O,则BOD为二面角B-AC-D的平面角,由余弦定理可得cosBOD=13.答案:A9如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为()A.1B.52C.62D.32解析:以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2+(1-1)2+2-222=62,故选C.答案:C10已知正三角形AB

6、C,BC平面,点A在上的射影为点A,BAC=90,则平面ABC与平面所成的二面角的正弦值等于()A.63B.134C.195D.306解析:如图所示,过点A作ADBC,垂足为D,连接AD,则易知ADA为所求二面角的平面角,令BC=a,则AB=AC=a,AB=AC=22a,AA=22a.又AD=AA+AC+CD=AA+AC+12CB=AA+AC+12(AB-AC)=AA+12AB+12AC,sin ADA=ADAA|AD|AA|=63.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C2p,3,q2共线,则p+

7、q=_.解析:由已知,得AB=(1,-1,3),AC=2p-1,-2,q2+2.ABAC,2p-11=-2-1=q2+23,p=32,q=8.故p+q=192.答案:19212在空间四边形OABC中,若OB=OC,AOB=AOC=3,则cos的值是_.解析:cos =OABC|OA|BC|=OA(OC-OB)|OA|BC|=|OA|OC|cos 3-|OA|OB|cos 3|OA|BC|=0.答案:013已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使MNAE,则CNCF=_.解析:如图,设CN=mCF,则AE=AB+BE,MN=MC+CN=12B

8、C+mCF=12BC+mAD.因为MNAE,所以AEMN=0,因此1211-12+4m=0,解得m=116,所以CNCF=116.答案:11614如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则MA1=(2,-1,2),DN=(0,2,1),MA1DN=0,故异面直线A1M与ND所成的角为90.答案:9015已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则点B与点

9、D之间的距离为_.解析:如图,过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.因为BD=BM+MN+ND,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BMMN+MNND+BMND)=322+12+322+2(0+0+0)=52,故|BD|=102.答案:102三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知a=(1,2,-2).(1)求与a共线的单位向量b;(2)若a与单位向量c=(0,m,n)垂直,求m,n的值.分析:(1)a与b共线,则b=(,

10、2,-2),根据|b|=1,可求得;(2)ac,则ac=0,且|c|=1,注意讨论解的情况.解:(1)设b=(,2,-2),而b为单位向量,|b|=1,即2+42+42=92=1,=13.b=13,23,-23或b=-13,-23,23.(2)由题意,知ac=0,|c|=110+2m-2n=0,m2+n2+02=1,解得m=22,n=22或m=-22,n=-22.17(8分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上一点,CP=m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,

11、m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).则BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).又由ACBD=0,ACBB1=0知,AC为平面BB1D1D的一个法向量.设AP与平面BB1D1D所成的角为,则sin =|cos |=|APAC|AP|AC|=22+m22 .依题意得22+m22=sin 60=32,解得m=63.故当m=63时,直线AP与平面BDD1B1所成角为60.18(9分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,P

12、A=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解: (1)如图所示,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,0,0,E12,12,0,F0,12,1.设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则nDE=0,nDF=0,即(x,y,z)0,12,0=0,(x,y,z)-12,12,1=0,解得x=2z,y=0.取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为,则sin =|

13、PAn|PA|n|=55,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为55.(2)PF=0,12,-1,n=(2,0,1),点P到平面DEF的距离d=|PFn|n|=55.19(10分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:CF平面BDE;(3)求二面角A-BE-D的大小.(1)证明如图,设AC与BD交于点G,连接EG.EFAG,且EF=1,AG=12AC=1,四边形AGEF为平行四边形,AFEG.EG平面BDE,AF平面BDE,AF平面BDE.(2)证明正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相

14、垂直,且CEAC,CE平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F22,22,1.CF=22,22,1,BE=0,-2,1,DE=-2,0,1,CFBE=0-1+1=0,CFDE=-1+0+1=0.CFBE,CFDE.又BEDE=E,CF平面BDE.(3)解由(2)知,CF=22,22,1是平面BDE的一个法向量,设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则nBA=0,nBE=0.即(x,y,z)(2,0,0)=0,(x,y,z)(0,-2,1)=0.x=0,z=2y.令y=1,则z=2

15、.n=(0,1,2),从而cos =nCF|n|CF|=32.二面角A-BE-D为锐角,二面角A-BE-D的大小为6.20(10分)如图,在四面体A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ平面BCD;(2)若二面角C-BM-D的大小为60,求BDC的大小.方法一(1)证明:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC.连接OP,OF,FQ,因为AQ=3QC,所以QFAD,且QF=14AD.因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是BDM的中位线,所以OPDM,且OP=12DM.又点M

16、为AD的中点,所以OPAD,且OP=14AD.从而OPFQ,且OP=FQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:作CGBD于点G,作CHBM于点H,连接GH.因为AD平面BCD,CG平面BCD,所以ADCG.又CGBD,ADBD=D,故CG平面ABD.又BM平面ABD,所以CGBM.又GHBM,CGGH=G,故BM平面CGH,所以GHBM,CHBM.所以CHG为二面角C-BM-D的平面角,即CHG=60.设BDC=.在RtBCD中,CD=BDcos =22cos ,CG=CDsin =22cos sin ,BG=BCsin

17、=22sin2.在RtBDM中,HG=BGDMBM=22sin23.在RtCHG中,tanCHG=CGHG=3cossin=3.所以tan =3.从而=60.即BDC=60.方法二(1)证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为AQ=3QC,所以Q34x0,24+34y0,12.因为M为AD的中点,故M(0,2,1).又P为BM的中点,故P0,0,12,所以PQ=34x0,24+34y0,0.又平面BCD的一个法向量为u=(0,0

18、,1),故PQu=0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:设m=(x,y,z)为平面BMC的一个法向量.由CM=(-x0,2-y0,1),BM=(0,22,1),知-x0x+(2-y0)y+z=0,22y+z=0.取y=-1,得m=y0+2x0,-1,22.又平面BDM的一个法向量为n=(1,0,0),于是|cos|=|mn|m|n|=y0+2x09+y0+2x02=12,即y0+2x02=3.又因为BCCD,所以CBCD=0,故(-x0,-2-y0,0)(-x0,2-y0,0)=0,即x02+y02=2.联立,解得x0=0,y0=-2(舍去)或x0=62,y0=22.所以tanBDC=x02-y0=3.因为BDC是锐角,所以BDC=60.专心-专注-专业