2009级数学分析第2学期期中考试2010-5-05解答(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学分析期中解答2010.5.5(电院)一、 填空题（每小题4分，共24分）1，； 2. ； 3. ， ； 4. ； 5. ； 6. .二、 单项选择题（每小题3分，共12分）1. 设级数收敛，则下列级数中必定收敛的是 【 A 】(A). (B). (C). (D).2. 设,在上连续，且，下列说法中【 D 】 当充分大时在上没有零点，则在上亦没有零点.反例：. 在上没有零点，则当充分大时在上亦没有零点.反例： .(A) 正确，不正确. (B) 不正确，正确. (C) 都正确. (D) 都不正确.3. 设函数项级数在内闭一致收敛于，考虑下列说法 在内一致收敛于. 在内

2、收敛于. 在处收敛于.以上说法中正确的个数是 【 C 】(A) 0个. (B) 1个. (C) 2个. (D) 3个.4. 设幂级数在处收敛，则下列断语中错误的是【 B 】(A) 在内绝对收敛. (B) 在内一致收敛.(C) 在内绝对收敛. (D) 在内绝对收敛.三、 判断及说明题(每小题6分,共12分)1. 若级数、都收敛, 则级数也收敛.解 错误 -3分反例 取,则级数、都收敛, 但级数发散. -6分2. 若,，且，则必有，.解 正确 -3分 ，由,知，有；又，故有，令，于是当时，对有，故有，. -6分四、(每小题8分，共16分)1. 将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域.解 因为 -2分

3、 -7分收敛区间 由 又当时上述级数均发散，故收敛域为 -8分2. 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛域.解 因为 -3分又，故对有 -7分由于当时均无定义，故有 . -8分五、(本题14分) 设有幂级数（1）求其和函数；（2）求数项级数之和.解 的收敛区间为， -2分 则当时有, -10分于是 -14分 六、(本题14分) 设函数（1）求在上的Fourier展开式，并写出其和函数；（2）计算与.解 由于函数为偶函数，故 -2分， -6分于是的Fourier级数为 -8分根据Parseval等式得，于是 -12分由解出 -14分七、证明题（本题8分）已知.设幂级数，证明：存在,使得.证明 根据

4、知，幂级数的收敛半径，且根据Abel第三定理知， . -4分根据Lagrange中值定理知，存在,使得 -8分得证.数学分析期中解答2010.5.5(管院)一、填空题（每小题4分，共24分）1，； 2. ； 3. ，不一致； 4. ，； 5. ； 6. .二、单项选择题（每小题3分，共12分） (A) (D) (C) (B)三、判断及说明题(每小题6分,共12分) 同电院四、(每小题8分，共16分) 同电院五、(本题14分) 同电院六、(本题14分) 设函数项级数,证明：(1) 在上绝对收敛；(2) 在上一致收敛；(3) 在上不绝对一致收敛.解 （1）对，当时有，注意到收敛，故在上绝对收敛，因此在上绝对收敛. -5分 (2) 记，易见的部分和函数列在上满足，且对每一个有为单调函数列，同时由于，表明在上一致收敛到，故在上一致收敛. -5分 （3）考虑绝对值级数，存在，对，取有，根据Cauchy收敛准则知，绝对值级数在在上不一致收敛，所以在上不绝对一致收敛. -14分七、（本题8分）同电院.专心-专注-专业