数学建模结课报告(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学建模结课报告钢管订购与运输的优化模型摘 要 本文讨论了在铺设天然气管道的过程中如何合理订购与运输钢管以使总费用最小的优化问题。问题一是在一定约束条件下以钢管订购和运输的总费用为目标函数的非线性优化问题。总费用由订购钢管的总费用、从钢厂到站点运输钢管的总费用及从站点开始铺设钢管的总费用三部分组成。订购钢管的总费用和从钢厂到站点运输钢管的总费用分别通过在各厂购买量与各厂出厂销价和在各厂购买量与从各钢厂到各站点运输单位钢管的最小费用的线性运算得到。从站点开始铺设钢管的总费用通过等差数列求和得到。在求从钢厂到站点运输钢管的总费用时，关键是采用弗洛伊德算法，用MATLAB软

2、件编程求出单位钢管从各钢厂运往各站点最小运输费用（见表3）。约束条件可由题目相应已知条件给出，故可建立钢管订购与运输的优化模型一。利用LINGO软件编程求解出此模型，得到钢管订购和运输的最小总费用为万元，并经整理分析给出钢管订购与运输方案（见表4）和钢管铺设方案（见表5）。 问题二是对问题一中模型的灵敏度分析，通过控制变量的方法即每次只让一家钢厂的销价或生产上线发生变化并且每次的变化是相同的，分别得出：钢厂钢管的销价变化对总费用影响最大，和钢厂钢管的销价变化对购运计划影响最大；钢厂钢管的产量上限变化对总费用影响最大，钢厂钢管的产量上限变化对购运计划影响最大。关键词 非线性优化；弗洛伊德算法；灵

3、敏度分析；控制变量一问题重述运输是天然气供应链中的重要环节。在我国，管道运输是天然气运输的主要方式。在铺设管道的过程中，为了降低其成本，往往需要制定一个合理的钢管订购和运输方案。现要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有，。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销

4、价1单位钢管为万元，如下表1：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表2：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划

5、，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4

6、S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一二问题分析问题一是在一定约束条件下的非线性优化问题。由题意知，目标函数是钢管订购和运输的总费用。总费用可以分为三个部分：订购钢管的

7、总费用、从钢厂到站点运输钢管的总费用及从站点开始铺设钢管的总费用。订购钢管的总费用可通过在各厂购买量与各厂出厂销价的线性运算得到 。在每个厂购买的钢管量必须不少于500km 且不超过该钢厂的生产上限，否则不在该厂购买，此为一约束条件。从钢厂到站点运输钢管的总费用同样可由在各厂购买量与从各钢厂到各站点运输单位钢管的最小费用的线性运算得到。关键要先找出各个钢厂到各个站点的最优路径，在此要把铁路和公路最优路径转换为最小费用，采用弗洛伊德算法，用MATLAB软件编程求出单位钢管从运输到的最小运输费用。在计算从站点开始铺设钢管的总费用时，为了计算方便，假设钢管从站点向两边以1km为单位进行铺设，即车到达

8、站点后先放下1km的钢管，以后每向前开1km便将1km的钢管放下。钢管运往各站点之后，从此站点向两边开始铺设，且只铺设相邻的两段，则此部分费用可以通过等差数列求和得到。由图一知，站点和只能向一个方向延伸。又从站点向右边和从站点向左边铺设的钢管长度之和等于到站点的距离，从站点向左右两边铺设的钢管长度之和等于站点从7个钢厂总共购买的钢管数量，且铺设长度自然是大于或等于零，由此又得几个约束条件。经过以上分析便可以建立钢管订购与运输的优化模型一。问题二即为对问题一中模型的灵敏度分析，通过分析知：不同钢厂向不同站点销售钢管，不同钢厂对钢管有不同销价，任意一个钢厂销价发生变化都可能会影响购运计划和总费用，

9、而不同钢厂销价发生相同变化，对购运计划和总费用的影响程度不同。因此，可以通过控制变量的方法即每次只让一家钢厂的销价或生产上线发生变化并且每次的变化是相同的，由此找出哪个钢厂钢管的销价变化对购运计划和总费用的影响最大。三基本假设1.假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路，即在计算运费时，沿管道铺设路线上的公路与其它普通公路相同（1单位钢管每公里0.1万元）；2.假设运输费只按铁路、公路里程收取，即不考虑火车、汽车由于停靠站等其他因素带来的费用；3.假设所有钢管在指定期限内都能按时生产并运到指定地点；4.假设钢管可由铁路、公路运往铺设路线任一地点；5.假设订购的钢管总数恰等于需要铺设的管道总数

10、；6.假设钢管在铺设过程中以1km为单位进行铺设；7.假设钢管在铺设过程中由站点向左右两边进行铺设，且只铺设相邻两段。四符号说明符号表示意义站点在钢厂订购的钢管数量钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量钢厂每单位钢管的出厂销价从钢厂到站点运输单位钢管的最小费用从站点开始向右边铺设的距离从站点开始向左边铺设的距离站点到之间的管道距离订购钢管的总费用从钢厂到站点运输钢管的总费用从站点开始铺设钢管的总费用钢管订购和运输的总费用五模型建立、求解与结果分析在钢管订购和运输时，有不同的钢厂和站点，根据距离的远近和价格的不同，不同钢厂和站点要选择不同的路径来订购和运输钢管。如何选择最佳路径使得总费用最小是这

11、个过程中面临的一个实际问题。为了合理解决这个问题，要建立最优订购和运输模型。5.1钢管订购与运输的优化模型一在钢管订购与运输过程中，目标函数为所花总费用。通过对题目的分析，总费用可以分为三个部分：订购钢管的总费用、从钢厂到站点运输钢管的总费用及从站点开始铺设钢管的总费用，即： （1）从题目条件知输送天然气主管道有，15个不同站点，有，7个不同的钢厂可以生产该钢管。由表1知不同钢厂有不同的出厂销价和不同的生产上限。因此可以得到第个站点向第个钢厂订购钢管的费用为，故订购钢管的总费用为： （2）又由题意知，15个站点或者都不向钢厂订购钢管，或者订购钢管数量介于其生产下限500个单位和生产上限个单位之

12、间，即： （3）其中表示15个站点都不向钢厂订购钢管，表示有站点向钢厂订购钢管。由图一知从各钢厂到各站点运输钢管有多条不同的路径，且运输途中单位钢管公路和铁路运价计费方式不同，所以需要寻找最优路径，使得单位钢管从运输到的运输费用最小。在此要把铁路和公路最优路径转换为最小费用，采用弗洛伊德算法，用MATLAB求解出最小运输费用，具体数据如下表3所示：表3 问题一单位钢管从运输到的最小运输费用（单位：万元）170.7215.7230.7260.7255.7265.7275.7160.3205.3220.3250.3245.3255.3265.3140.2190.2200.2235.2225.223

13、5.2245.298.6171.6181.6216.6206.6216.6226.638.0111.0121.0156.0146.0156.0166.020.595.5105.5140.5130.5140.5150.53.186.096.0131.0121.0131.0141.021.271.286.2116.2111.2121.2131.264.2114.248.284.279.284.299.292.0142.082.062.057.062.077.096.0146.086.051.033.051.066.0106.0156.096.061.051.045.056.0121.2171.21

14、11.276.271.226.238.2128.0178.0118.083.073.011.026.0142.0192.0132.097.087.028.02.0对表3中的数据分析可以得到从钢厂到站点运输钢管的总费用： （4）从假设知沿铺设管道或者原来有公路，或者建有施工公路，因此，站点铺设的费用全部以公路的运价计算，即1单位钢管每公里0.1万元。钢管运往各站点之后，从此站点向两边开始铺设，且只铺设相邻的两段。为了计算方便，假设钢管从站点向两边以1km为单位进行铺设。故根据等差数列求和可以得到从站点开始铺设钢管的总费用为： （5）由图一知，站点和只能向一个方向延伸。又从站点向右边和从站点向左边

15、铺设的钢管长度之和等于到站点的距离，从站点向左右两边铺设的钢管长度之和等于站点从7个钢厂总共购买的钢管数量，且铺设长度自然是大于或等于零，即： （6）通过以上分析可以得到钢管订购与运输的优化模型一如下：目标函数即钢管订购和运输的总费用为： 其约束条件为： 利用LINGO软件编程求解出此模型，可以得到钢管订购和运输的最小总费用为万元。经过整理分析得钢管订购与运输方案（见表4）和钢管铺设方案（见表5）。表4 问题一钢管订购与运输方案订购量8008001000012971273000000000179000000112.9880307.100158.1140.6169.20000176.467.57

16、8.80292.900200000000265.50000000300000000066400000000282690000041500000008600000033300000078600000000在问题一钢管铺设方案中，由已知条件从站点向右边和从站点向左边铺设的钢管长度之和等于到站点的距离知，平衡点的含义即在和之间铺设钢管时的汇合点。表5 问题一钢管铺设方案平衡点距离前一点的距离0104226468606184.5189.51255053212707519928605.2 钢管订购与运输的优化模型一的灵敏度分析针对钢管订购与运输的优化模型一进行分析可知：不同的钢厂向不同的站点销售钢管，不

17、同的钢厂对钢管有不同的销价，任意一个钢厂的销价发生变化都可能会影响购运计划和总费用，而不同钢厂的销价发生相同的变化，对购运计划和总费用的影响程度不同。因此，可以通过控制变量的方法即每次只让一家钢厂的销价发生变化并且每次的变化是相同的，找出哪个钢厂钢管的销价变化对购运计划和总费用的影响最大。先通过控制变量的方法将每个钢厂的销价增加1万元，由LINGO可得出相应的总费用和购运计划的变化情况如表6所示：钢厂总费用总费用变化量订购计划变化量运输计划变化量283002830048300517 0049029778768527375851700通过同样的方法将每个钢厂的销价减少1万元，可得总费用和购运计划

18、的变化情况如7所示：钢厂总费用总费用变化量订购计划变化量运输计划变化量1317001317001517005170018867419602081298237951700从表6和表7观察分析可知，钢厂钢管的销价变化对总费用的影响最大，钢厂钢管的销价变化对购运计划的影响最大。同理可知，可用控制变量的方法找出哪一家钢厂钢管产量的上限变化对购运计划和总费用的影响最大。先通过控制变量的方法将每一家钢厂的生产上限增加100个单位的钢管，可得总费用购运计划的变化情况如8所示：钢厂原来总费用总费用变化量订购计划变化量运输计划变化量1081710010917397710041173017973114517051

19、75173052851745135170517通过同样的方法将每一家钢厂的生产上限减少100个单位的钢管，可得总费用、订购计划和运输计划的变化情况如表9所示：钢厂总费用总费用变化量订购计划变化量运输计划变化量97831009883298310030831983100208351705175177524517304875170517由表8和表9观察分析可得：钢厂钢管的产量上限变化对总费用影响最大，钢厂钢管的产量上限变化对购运计划影响最大。 利用LINGO软件编程求解出此模型，可以得到钢管订购和运输的最小总费用为万元，和问题一中模型的求解结果相比较，虽然最小总费用增加了万元，但是问题三中给出的条件

20、更符合实际情况，具有更大的现实意义。 现经过整理分析得钢管订购与运输方案（见表11）和钢管铺设方案（见表12）。六模型推广问题三实际上就是对模型的推广，站点向左右两边铺设变为向三个方向铺设，由此建立出来的模型相对更符合实际情况。另外，本文的建模思想不仅可以用于钢管的运输来进行天然气管道的铺设，还可以用于其他领域诸如煤炭的运输来提供电力等。对数学建模的看法我选修了数学建模这门课，因为我感觉数学建模是非常有用的一门课，而且我对数学建模也非常感兴趣。在学习的过程中，我获得了很多知识，对我有非常大的提高。同时我有了一些感想和体会。数学建模属于一门应用数学，学习这门课要求我们学会如何将实际问题经过分析、

21、简化转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。在学习中，我知道了数学建模的过程，其过程如下：（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。(3)模型建立：在假设的基础上

22、，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。(7)模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。我还了解到学习数学建模的意义是：1、培养创新意识和创造能力2、训练快速获取信息和资料的能力3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能4、培养团队合作意识和团队合作精神一学期的学习，对数学建模有初步的了解，以及老师上课讲的很好，让我们受益匪浅。参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型M，北京：高等教育出版社，2011。2 宗容，施继红，尉洪，李海燕，数学实验与数学建模M，云南：云南大学出版社，2009。3 谢金星，薛毅，优化建模与LINGO/LINGO软件M，北京：清华大学出版社,2005。4陈宝林，最优化理论与算法M，北京：清华大学出版社,1989。专心-专注-专业