2022年最新勾股定理逆定理讲义.pdf

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1、精品文档精品文档XX教育一对一个性化教案授课日期：2014 年月日学生姓名许 XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。教学步骤及突出教学方法一、知识归纳1、勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状， 在运用这一定理时， 可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们

2、相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。2、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如

3、3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档DCBA题型一：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 1. 已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt1.5a，2b，2.

4、5c54a，1b，23c分析：由勾股定理的逆定理， 判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于 最大边的平方。解：22221.526.25ab，222.56.25cABC是直角三角形且90C22139bc，22516a，222bcaABC不是直角三角形例 2. 三边长为a，b，c满足10ab，18ab，8c的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264ababab，且264c222abc所以此三角形是直角三角形例3. 如果 ABC 的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数） ，则ABC 是直角三角形吗？

5、分析：先来判断a,b,c 三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c 最大。解： （ m2-n2）2+（ 2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2， a2+b2=c2，能 成为 直角 三 角形 的三 边长题型二：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 4. 已知ABC中，13ABcm，10BCcm，BC边上的中线12ADcm，求证：ABAC证明：AD为中线，5BDDCcm在ABD中，22169ADBD，2169AB222ADBDAB，90ADB，222169ACADDC，13ACcm，ABAC

6、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例 5. （ 1 ）如 图， 在 ABC中 ，D 是 BC上一 点， AB=10，BD=6， AD=8，AC=17，求 ABC的面积 （2） 在 ABC中， 若 AB=15，AC=13，高 AD=12，求 ABC的周 长分 析 ： （ 1）根 据 AB=10，BD=6，AD=8，利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 求 证 ABD是 直 角 三 角 形 ，再 利 用 勾 股 定

7、理 求 出CD 的 长 ， 然 后 利 用 三 角 形 面 积 公 式 即 可 得 出答 案 （ 2） 本 题 应 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： 当 ABC 为 锐 角 三 角 形 时 ， 在 Rt ABD和 Rt ACD中 ， 运 用 勾 股定 理 可 将 BD和 CD的 长 求 出 ， 两 者 相 加 即 为 BC的 长 ， 从 而 可 将 ABC的 周 长 求 出 ； 当 ABC 为 钝 角 三 角 形 时 ，在 Rt ABD和 Rt ACD中 ，运 用 勾 股 定 理 可 将 BD和 CD的长 求 出 ， 两 者 相 减 即 为 BC 的 长 ， 从 而 可 将 ABC的 周

8、 长 求 出 解 ： （ 1） BD2+AD2=62+82=102=AB2， ABD是 直 角 三 角 形 ， AD BC ，在 Rt ACD中 ， CD=15，（2）分 两 种 情 况 ： 当 ABC为 锐 角 三 角 形 时 ， 在 Rt ABD中 ， BD=9， 在 Rt ACD中 ， CD=5， BC=5+9=14 ABC的 周 长 为 ： 15+13+14=42 ； 当 ABC为 钝 角 三 角 形 时 ，在 Rt ABD中 ， BD=9， 在 Rt ACD中 ， CD=4， BC=9-5=4 ABC的 周 长 为 ： 15+13+4=32 当 ABC为 锐 角 三 角 形 时 ，

9、ABC的 周 长 为 42； 当 ABC为 钝 角 三 角 形 时 ， ABC的 周长 为 32例 6：如图，在正方形ABCD中，F 为 DC的中点， E为 BC上一点，且EC=14BC ，求证： AF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档EF思路点拨：要证AFEF，需证 AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了基础练习：若 ABC的三边 a，b，c 满足条件a2+b2+c2+3

10、38=10a+24b+26c，试判定 ABC的形状（提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c 的等式入手，找出a，b，c 三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5 ）2+（b-12）2+（c-13 ）2=0，求出 a=5，b=12 ，c=13 ， a2+b2=c2，? ABC 是 Rt）二、提高例题例 1.一根 30 米长的细绳折成3 段，围成一个三角形， 其中一条边的长度比较短边长7 米，比较长边短1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角

11、形。【提高练习】1 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、 乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向ENABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向？2一根 24 米绳子， 折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。3

12、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米， BC=3 米， CD=13米， DA=12 米，又已知 B=90。三、能力培养例 1 已知：如图，四边形ABCD ，AD BC ，AB=4 ，BC=6， CD=5，AD=3 。求：四边形ABCD 的面积。分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、 5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离。作 DEAB ，连结 BD，则可以证明ABD EDB（ASA ） ；DE

13、=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB=3 ；在 DEC 中， 3、4、5 勾股数， DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 2 已知：如图，在ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且CD2=AD BD。DCABABCDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档求证： ABC 是直角三角形。分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。AC2=AD2+CD2，BC2=

14、CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD BD+BD2=（ AD+BD ）2=A B2【能力训练】1若 ABC 的三边 a、b、c，满足（ a b） （a2b2c2）=0，则 ABC 是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若 ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断 ABC 的形状。3已知：如图，四边形ABCD ，AB=1 ， BC=43， CD=413， AD=3 ，且ABBC。求：四边形ABCD 的面积。4已知：在 ABC 中， ACB=90 ， CDAB 于 D，且 CD2=AD BD。求证

15、： ABC 中是直角三角形。5若 ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，求 ABC 的面积。BACDABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档6在 ABC 中，AB=13cm ，AC=24cm ，中线 BD=5cm 。求证： ABC 是等腰三角形。7已知 ABC 的三边为a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c=14，试判定 ABC 的形状。勾股定理及逆定理测试题一、选择题

16、1在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）. A12，15，17 B 9，16，25 C 5a，12a，13a（a0） D 2，3，4 2在 ABC中， A、B、 C 的对边分别是a、b、c，AB8，BC15，CA 17，则下列结论不正确的是（）. A ABC是直角三角形，且AC为斜边 B ABC是直角三角形，且ABC 90C ABC的面积是 60 D ABC是直角三角形，且A603在 ABC中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，且 a：b：c1：3：2，则下列说法错误的是（）. A C 90 B c2a2b2 C c22a2 D 若 ak，则 c2k（k0）4下列定理中 ,

17、没有逆定理的是（）. A两直线平行，内错角相等 B 直角三角形两锐角互余C对顶角相等 D同位角相等，两直线平行5在 ABC中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c. 则满足下列条件但不是直角三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档B A 图 3 3220BA的是（）. A A BC B A： B： C 1：1：2 Ca：b：c4：5：6 Da2c2b2 6、已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8

18、100abc，则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.直角三角形二、填空题7若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13 的边上的高是 . 8若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm2. 9. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为 60cm，对角线为100cm ，则这个桌面（填“合格”或“不合格”） ；10. 如图 1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线 . 拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分） ，则电线杆

19、与地面（填“垂直”或“不垂直” ）11一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图 2 放入杯中，露在杯口外的长度为2cm ，则这玻璃杯的形状是体. 12. 写出一组全是偶数的勾股数是 . 13. 如图 3：是一个高 12cm，底面半径 3cm的圆柱， 在圆柱下底的A点有一只蚂蚁， 它想吃到上底面与A点相对的 B点处的食物， 需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是_。14. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、 3dm、2dm ，?A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到

20、B点的最短路程是 . 图 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档15. 如右图所示，长方形ABCD中， AB=3 ，AD=9 ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 AE的长为。三、解答题 (11 题 20 分,12 、13、14 每小题 10 分，共 50 分) 16. 判断由下列各组线段a、b、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. （1）a6.5 ，b7.5 ，c4

21、；（ 2）a11，b60，c61；（3）a38，b2，c310；（4）a433，b2，c414；17. 在ABC中， A、 B、 C的对边分别是a、b、 c. an216，b8n，cn2+16（n4）. 求证: C=90 . 18. 如图 3，AD=7 ，AB 25，BC 10，DC 26，DB 24，求四边形ABCD 的面积 . 19. 如图 4，已知在 ABC中， CD AB于 D，AC 20，BC 15，DB9. (1) 求 DC的长 . (2) 求 AB的长 . (3) 求证: ABC是直角三角形 . 图 3 C A B D 图 4 A B C D 精品资料 - - - 欢迎下载 -

22、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档20、在数轴上作出10的点（保留痕迹） 。21. 如图，一架 2.5 米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为 0.7 米，如果梯子顶端下滑0.4 米，则梯子将滑出多少米？22.如图 9， 在海上观察所A, 我边防海警发现正北6km的 B处有一可疑船只正在向东方向8km的 C 处行驶 . 我边防海警即刻派船前往C处拦截 .若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？0 1 3 1 3 A B ABO 8km C A B 6km 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -