2022年最新北京中考专题复习--几何综合.pdf

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1、精品文档精品文档知识框架几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。涉及初中数学九大几何模型：1、中点类辅助线2、角平分线、垂直平分线类辅助线3、相似模型4、旋转之手拉手模型5、旋转之对角互补模型6、旋转之半角模型7、旋转之构造等边三角形8、旋转之费马点模型9、最短距离问题解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。知识梳理中点类辅助线见中点 -倍长中线：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线， 倍长中线的目

2、的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。在ABC 中, AD 是 BC 边中线。方式 1：直接倍长， (图 1)： 延长 AD 到 E，使 DE=AD ，连接 BE 几何综合精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例：已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证： AF=EF 方式 2：间接倍长1) （图 2）作 CFAD 于 F

3、，作 BEAD 的延长线于 E, 连接 BE 2) （图 3）延长 MD 到 N，使 DN=MD ，连接 CD 例：如图， ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较BE+CF 与 EF的大小 . 方式 3：平行线间线段有中点如图： ADBE，F为 DE 中点。可构造 8字全等 ADFHEF。例：如图，在矩形ABCD 中，BD=BE，F为 DE 中点。试探究 AF 与 CF之间的位置关系。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - -

4、 - - - - - 精品文档精品文档例：如图，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB，M 为 AD 中点， CEAB。求证： EMD=3MEA 。见多个中点 -构造中位线：已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.例：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E、F 分别是 BC 、AD的中点， BA 、CD的延长线分别交 EF的延长线 G 、H。求证： BGE= CHE 。见等腰三角形底边中点 -连接顶点与中点，构造三线合一直角三角形斜边中线 ：直角三角形中， 有斜边中点时常作斜边

5、中线； 有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在 RtABC 中，D 为斜边 AB 的中点，连接 CD，则得 CD=AD=BD ，从而构造出等腰三角形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档角平分线、垂直平分线类辅助线角平分线 ：a、对称性； b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。 由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。 以角的平分线为轴，将

6、图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。 当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“ 三线合一 ” 过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形“ 角平分线 +平行，必出等腰”例： 如下图，在ABC 中， A 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 且 AB=AD ， CMAD交 AD 的延长线于点 M. 垂直平分线：a、对称性； b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。例：如图， Rt ABC 中， ACB =90，AD平分 BAC ， 作 AD的垂直平分线 EF交 AD于点 E，交 BC的延长线于点 F，交 AB于点

7、 G ，交 AC于点 H（1）依题意补全图形（2）求证：BAD=BFG （3）试猜想 AB ，FB和 FD之间的数量关系并进行证明DABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档相似模型平行 A 字型、 8 字型：斜交 A 字型、 8 字型：共享型（母子型）：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 -

8、- - - - - - - - - 精品文档精品文档双共享型：双 A 字型：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档一线三等角型：旋转之手拉手模型手拉手全等特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论： （1）ABC AB C （2）BOB =BAB （3）OA 平分 BOC例： 如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD 与BCE， 连结 AE 与CD，证明： （1）DBCABE（2）DCAE

9、（3）AE与DC之间的夹角为60（4）DFBAGB（5）CFBEGB（6）BH平分AHC（7）ACGF /精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档手拉手相似特点：由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点结论： （1）AOCBOD （2）AEB=AOB 例：如图，两个正方形ABCD 与 DEFG,连结 CE、AG,二者相交于点 H。求： （1）AG=CE （2）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（3）HD 平

10、分 AHE 旋转之对角互补模型对角互补，邻边相等。（全等型 90 ）【条件】 ： AOB= DCE=90 ； OC 平分 AOB 【结论】 ：CD=CE ；OD+OE=2OC ；2OCEOCDDCEOC21SSSOABCEDNOMABCED精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档当DCE 的一边交 AO的延长线于 D时：以上三个结论： CD=CE ；OE-OD=2OC ；2OCDOCEOC21SS（全等型 120 ）（全

11、等型 任意角）【条件】 ： AOB=2DCE=120； OC 平分 AOB 【结论】 ：CD=CE；OD+OE=OC；2OCEOCDDCEOC43SSS对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意 OC平分 AOB 时，CDE= CED= COA= COB 如何引导？AOBCDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档旋转之半角模型

12、角含半角要旋转：构造两次全等【条件】 ：正方形 ABCD； EAF=45；【结论】 ：EF=DF+BE； CEF的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：【条件】 ：正方形 ABCD；EF=DF+BE；【结论】 ： EAF=45；【条件】 ：正方形 ABCD； EAF=45；【结论】 ：EF=DF-BE；【条件】 ：RtABC； DAE=45；【结论】 ：222DECEBD；若DAE 旋转到 ABC 外部时，结论222DECEBD仍然成立FEDCBAGFEDCBAABCDEABCDEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

13、- - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档旋转之构造等边三角形等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据 ,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键. 例：在四边形 ABCD 中， ABC=60，AB=BC，ADC=30证明：222ADCDBD。分析： 待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD、CD（作为直角边）和 BD（作为斜边）集中到一个直角三角形 中。CDABECBADECBADECBADECBAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

14、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例: 如图，ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD = CE，连接BD，AE相交于点F（1）BFE的度数是（2）如果21ACAD，那么BFAF（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明例: 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F（1）求AFB的度数（2）求证：BF=EF（3）连接CF，直接用等式表示线段 AB，CF，EF的数量关系nACAD1ADCB

15、FEFEBCAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档旋转之费马点模型“ 费马点 ” 是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点. 若给定一个三角形 ABC 的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小 .这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个 . 问题： 如图1，如何找点P 使它到 ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？图文解析：如图 1，把

16、APC 绕C 点顺时针旋转 60 得到AP C，连接 PP则CPP为等边三角形， CP= PP，PA =PA， PA+PB+PC= P A+ PB+ PP B C 点 A可看成是线段 CA 绕 C 点顺时针旋转 60而得到的定点， BA 为定长。当 B、 P、P 、 A 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小。 APC= A PC=180 - CP P=180 -60 =120 ，BPC =180- P PC=180-60 =120， APC=360 - BPC- APC=360 -120 -120 =120 .因此，当ABC 的每一个内角都小于120 时，所求的点 P 对三角形每边的张角

17、都是 120 ， 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或等于120 时，所求的 P 点就是钝角的顶点费马点问题 告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用 旋转变换 例：四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD（不含B 点） 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转600 得到 BN， 连接 EN、 AM 、CM. （1）求证 :AMB ENB；（2）当 M 点在何处时， AM BMCM 的值最小，并说明理由；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

18、- - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档最短距离问题三角形-两边之和大于第三边型1.直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。2.直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PA+PB最小。3.点 P是MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点 A，B。使PAB的周长最小。两点之间的距离 -线段最短型精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25

19、 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档4.点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB的周长最小。点到直线的距离 -垂线段最短型5. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA与点 P到射线ON 的距离之和最小。典例精讲【2018 西城期末】如图1，在 RtAOB 中， AOB=90， OAB=30，点 C在线段 OB 上， OC=2BC，AO 边上的一点 D 满足 OCD=30将 OCD 绕点O 逆时针旋转 度（90 180）得到OCD，C，D 两点的对应点分别为点C，D，连接AC，BD，取AC的中

20、点 M，连接 OM（1）如图 2，当C DAB时， =_，此时 OM 和BD之间的位置关系精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档为_；（2）画图探究线段 OM 和BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明【2018海淀期末】在 ABC 中，A90，ABAC（1）如图 1，ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 Q，请判断“2QBQA”是否正确： _（填“是”或“否”） ；（2）点 P 是ABC 所在平面内的一点，连接P

21、 A，PB，且 PB2PA如图 2，点 P 在ABC 内， ABP30，求 PAB 的大小；如图 3，点 P 在ABC 外，连接 PC，设APC ，BPC ，用等式表图 1 图 2 备用图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档示 ， 之间的数量关系，并证明你的结论图 1图 2图 3【2018昌平期末】已知， ABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D 为 BC 边上的一点. （1）以点 C 为旋转中心，将ACD 逆

22、时针旋转 90，得到 BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长 AD 交 BE于点 F，求证： AFBE；（3）若 AC= ，BF=1，连接 CF，则 CF 的长度为 . PPEDQB CAB CAB CA5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档备用图AACDBBDC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共

23、25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档【2018丰台期末】如图， BAD=90，AB=AD，CB=CD，一个以点 C 为顶点的 45角绕点 C 旋转，角的两边与BA，DA 交于点 M，N，与 BA，DA的延长线交于点 E，F，连接 AC. （1） 在FCE旋转的过程中，当 FCA=ECA时， 如图 1， 求证： AE=AF；（2）在 FCE 旋转的过程中，当FCAECA 时，如图2，如果B=30，CB=2， 用等式表示线段AE，AF 之间的数量关系，并证明 . EMNFBADCEMNFBADC图 2 图 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

24、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档【2018门头沟期末】如图 27-1 有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60，为了探究 AD、CB 与 CD( 或 AB) 之间的关系， 小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得ADBC，如图 27- 2，将线段 AB 沿 AD 方向平移 AD 的长度， 得到线段 DE, 然后联结 BE, 进而利用所学知识得到AD、CB 与 CD( 或 AB) 之间的关系： _ ；( 直接写出结果 ) （2）根据

25、小亮的经验，请对图27-1 的情况（ AD 与 CB 不平行）进行尝试，写出 AD、CB 与 CD(或 AB)之间的关系，并进行证明；（3）综合（ 1） 、 （2）的证明结果，请写出完整的结论: _-_. DABCEDABC图 27-1图 27-2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档CBA【2018 怀柔期末】在等腰 ABC 中，AB=AC，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转到BD，使 BDAC 于 H，连结 AD

26、 并延长交 BC 的延长线于点 P. ( 1)依题意补全图形；( 2)若BAC=2 ，求 BDA 的大小（用含 的式子表示）；( 3)小明作了点 D 关于直线 BC 的对称点点 E， 从而用等式表示线段DP 与 BC 之间的数量关系 . 请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与 BC 之间的数量关系. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档【2018平谷期末】如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC在平面

27、内任取一点 D，连结 AD（ADAB） ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90，得到线段AE，连结 DE，CE，BD（1）请根据题意补全图1；（2）猜测 BD 和 CE 的数量关系并证明；（3）作射线 BD，CE 交于点 P，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC=90，AB=2，AD=1 时，补全图形，直接写出PB 的长CAB备用图CABD图 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档【2018朝阳期末】精品资料 -

28、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档【2018通州期末】如图 1，在矩形ABCD中，点 E为 AD 边中点，点 F 为BC边中点；点G，H 为 AB 边三等分点， I ，J为CD边三等分点 . 小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图 3 所示. 那么，图 2 中四边形GKLH的面积与图 3 中四边形KPOL的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下图 1图 2图 3在图 2 中，小瑞发现，ABCDGKLHSS_；在图

29、3 中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下 . 请你将小瑞的思路填写完整：设aSDEP，bSAKGAFECDAKDEP ，且相似比为2:1，得到aSDAK4BIGD ABMAGK ，且相似比为3:1，得到bSABM9又ABCDDAGSbaS614，ABCDABFSabS419abbaSABCD436624精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档ba_，bSABCD_，bSKPOL_ABCDKPOLSS_， 则G KL HK P O LSS_（填写“”，“”或“”）（2）小瑞又按照图4 的方式连接矩形ABCD对边上的点 . 则ABCDANMLSS_. 图 4【2018东城期末】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - - -