2022年最新北京届海淀高三二模数学理科试题及答案.pdf

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1、精品文档精品文档海淀区高三年级第二学期期末练习数学 （理科） 2013.5 一、选择题：本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项 .1. 集合|(1)(2)0Axxx，B0 x x，则ABA(,0 B(,1 C 1,2 D 1,)2. 已知数列na是公比为q的等比数列，且134aa，48a，则1aq的值为A3 B2 C3或2 D3或33. 如图，在边长为a的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,m n，则图形面积的估计值为A.man B.nam C. 2man D. 2nam4. 某空

2、间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.180 B.240 C.276 D.3005. 在四边形ABCD中， “R，使得,ABDC ADBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，且5 不排在百位，2，4 都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B. 36 C. 42 D.487. 双曲线C的左右焦点分别为12,F F，且2F恰为抛物线24yx的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若12AF F是以1AF为底边的等腰三

3、角形，则双曲线C的离心率为A. 2 B.12 C.13 D.238. 若数列na满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有n Tnaa成立，则称数列na为周期数列，周期为T. 已知数列na满足1(0)amm，11,1=1, 01.nnnnnaaaaa，则下列结论中错误的是666左视图5俯视图主视图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档A. 若34a，则m可以取 3 个不同的值B. 若2m，则数列na是周期为3的数列C.T*

4、N且2T，存在1m，na是周期为T的数列D.Qm且2m，数列na是周期数列二、填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分. 9. 在极坐标系中，极点到直线cos2的距离为 _. 10. 已知1211ln,sin,222abc，则, ,a b c按照从大到小排列为 _. 11. 直线1l过点( 2,0)且倾斜角为30，直线2l过点(2,0)且与直线1l垂直，则直线1l与直线2l的交点坐标为_. 12. 在ABC中，30 ,45 ,2ABa，则_;bC_.ABS13. 正 方 体1111A B C DA B C D的 棱 长 为1， 若 动 点P在 线 段1BD上 运 动

5、， 则D CAP的 取 值 范 围 是_. 14. 在平面直角坐标系中，动点( , )P x y到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W. (I) 给出下列三个结论：曲线W关于原点对称；曲线W关于直线yx对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_; ( ) 曲线W上的点到原点距离的最小值为_. 三、解答题 : 本大题共 6 小题 , 共 80 分. 解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题满分13 分）已知函数cos2( )12sin()4xf xx. （）求函数( )f x的定义域；(

6、 ) 求函数( )f x的单调递增区间. 16. （本小题满分13 分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业, 现在福彩中心准备发行一种面值为5 元的福利彩精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50% ； （2）每张中奖彩票的中奖奖金有5 元， 50 元和 150元三种；（ 3）顾客购买一张彩票获得150 元奖金的概率为p，获得 50 元奖金的概率为2%. (I

7、) 假设某顾客一次性花10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围 . 17. （本小题满分14 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，90ABCDAB，30CAB，2BC，4AD. 把DAC沿对角线AC折起到PAC的位置 , 如图 2 所示 , 使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB, 点,E F分别为线段,PA AB的中点 (I) 求证：平面/EFH平面PBC；(II)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；(III)在 棱PA上 是 否 存 在 一 点M, 使 得M到 点,P HA F四点的距离相等？请说明

8、理由. 18. （本小题满分13 分）已知函数( )exf x, 点( ,0)A a为一定点 , 直线()xt ta分别与函数( )fx的图象和x轴交于点M,N, 记AMN的面积为( )S t. （I ）当0a时, 求函数( )S t的单调区间；（II ）当2a时, 若00,2t,使得0( )eS t, 求实数a的取值范围 . 19. （本小题满分14 分）已知椭圆:M22221(0)xyabab的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点. （I ）求椭圆M的方程；（II ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点1(0,)2，求AOB（O为原点）面积的最大值

9、. 20. （本小题满分13 分）设A是由 mn 个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. ( ) 数表A如表 1 所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；( ) 数表A如表 2 所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；( ) 对由 mn 个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非

10、负整数？请说明理由. 1 2 3 721 0 1 CDBA图1HECPBAF图 222221212aaaaaaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档海淀区高三年级第二学期期末练习数学 （理） 20135 参考答案说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8 小题 , 每小题 5分 , 共 40 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B D C B C A B D 二、填空题（本大题共

11、6 小题, 每小题 5 分, 有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，共 30 分）9 2 ；10cba；11. (1, 3)；123122，；130,1；14 ;22三、解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 80 分) 15 （本小题满分13 分）解： （I ）因为sin()04x所以 ,4xkZk2 分所以函数的定义域为| +,4x xkZk4分（II ）因为22cossin( )1sincosxxf xxx6 分= 1+(cossin)xx= 12sin()4x8 分又sinyx的单调递增区间为(2 ,2 )22kk，Zk令2 2 242kxk解得32 2 44kxk11 分又注意到

12、+,4xk所以( )f x的单调递增区间为3(2 ,2 )44kk，Zk13 分16. 解： （I）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A4 分 (II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为则可以取5,0, 45, 1456 分的分布列为5045145P50%50%2%p2%p精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档8 分所以的期望为550%0(50%2%)( 45)2%( 145)Epp2.590%14

13、5p11 分所以当1.61450p时，即8725p12 分所以当80725p时，福彩中心可以获取资金资助福利事业13 分17. 解： （I ）因为点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上所以PH平面ABC，所以PHAC1 分因为在直角梯形ABCD中，90ABCDAB，30CAB，2BC，4AD所以4AC，60CAB，所以ADC是等边三角形，所以H是AC中点，2 分所以/ /HEPC3 分同理可证/EFPB又,HEEFE CPPBP所以/ /EFHPBC平面PBC5 分（II ）在平面ABC内过H作AC的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0, 2,0)A，(0,0,23)P，( 3,1,0)

14、B6 分因为(0, 1, 3)E，(0, 1, 3)HE设平面PHB的法向量为( , , )nx y z因为( 3,1,0)HB，(0,0,23)HP所以有00HB nHP n，即300 xyz，令3,x则3,y所以( 3, 3,0)n8 分33cos,4| |2 2 3n HEn HEnHE10 分所以直线HE与平面PHB所成角的正弦值为3411 分(III)存在，事实上记点E为M即可12 分因为在直角三角形PHA中，122EHPEEAPA，13 分FzyxHECPBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

15、- - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档在直角三角形PHB中，点4,PB122EFPB所以点E到四个点,P O C F的距离相等14 分18. 解: (I) 因为1( )|e2tS tta，其中ta2 分当0a，1( )| |e2tS tt，其中0t当0t时，1( )e2tS tt，1( )(1)e2tS tt，所以( )0S t，所以( )S t在(0,)上递增，4 分当0t时，1( )e2tS tt，1( )(1)e2tS tt，令1( )(1)e02tS tt， 解得1t，所以( )S t在(, 1)上递增令1( )(1)e02tS tt

16、， 解得1t，所以( )S t在( 1,0)上递减 7 分综上，( )S t的单调递增区间为(0,)，(, 1)( )S t的单调递减区间为( 1,0)（II ）因为1( )|e2tS tta，其中ta当2a，0,2t时，1( )()e2tS tat因为00,2t，使得0( )eS t，所以( )S t在0,2上的最大值一定大于等于e1( )(1)e2tS tta，令( )0S t，得1ta8 分当12a时，即3a时1( )(1)e02tS tta对(0,2)t成立，( )S t单调递增所以当2t时，( )S t取得最大值21(2)(2)e2Sa令21(2)ee2a，解得22ea，所以3a10

17、 分当12a时，即3a时1( )(1)e02tS tta对(0,1)ta成立，( )S t单调递增1( )(1)e02tS tta对(1,2)ta成立，( )S t单调递减所以当1ta时，( )S t取得最大值11(1)e2aS a令11(1)ee2aS a，解得ln22a所以ln223a12 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档综上所述，ln22a13 分19. 解: (I)因为椭圆:M22221(0)xyabab

18、的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1ab,椭圆M的方程为2213xy4 分(II)设1122(,),(,),A xyB xy因为AB的垂直平分线通过点1(0,)2， 显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时,则AB的垂直平分线为y轴,则1212,xxyy所以22222111111111111=|2| | |1(1)(3)2333AOBxxSxyxyxxxx因为22221111(3)3(3)22xxxx，所以32AOBS，当且仅当16|2x时，AOBS取得最大值为32 6 分当直线AB的斜率不为0时,则设AB的方程为ykxt所以2213ykxtxy，代入得到2

19、22(31)6330kxktt当224(933 )0kt, 即2231kt 方程有两个不同的解又122631ktxxk，1223231xxktk9 分所以122231yytk，又1212112202yyxxk，化简得到2314kt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档代入，得到04t10 分又原点到直线的距离为2| |1tdk22221224(933 )|1|131ktABkxxkk所以222224(933 )11| |

20、=|122311AOBkttSABdkkk化简得到21=3(4)4AOBStt12 分因为04t，所以当2t时，即73k时，AOBS取得最大值32综上，AOB面积的最大值为3214 分20.（I）解：法 1：42123712371237210121012101改变第 列改变第 行法 2：24123712371237210121012101改变第 行改变第 列法 3：14123712371237210121012101改变第 列改变第 列3 分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2，0，每一行所有数之和分别为1，1; 如果首先操作第三列，则22221212aaaaaaaa则第一行之和为21a

21、，第二行之和为52a，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a或52a当12a时，则接下来只能操作第一行，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档22221212aaaaaaaa此时每列之和分别为2222 ,22,22 ,2aaaa必有2220a，解得0, 1a当52a时，则接下来操作第二行22221212aaaaaaaa此时第 4 列和为负，不符合题意. 6 分 如果首先操作第一行22221212aaa

22、aaaaa则每一列之和分别为22a，222a，22a，22a当1a时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a时，22a，22a至少有一个为负数，所以此时必须有2220a，即11a，所以0a或1a经检验，0a或1a符合要求综上：0, 1a9 分（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：记数表中第i行第j列的实数为ijc（1,2,;1,2,im jn） ，各行的数字之和分别为12,ma aa，各列的数字之和分别为12,nb bb，12mAaaa，12nBbbb，数表中mn 个实数之和为S，则SAB。记112211221min11(1

23、,2, )0|iin inliinini mKk ck ck cklnk ck ck c或且1 1221 1221min11(1,2,)0|jjmmjsjjmmjj nTt ct ct ctsmt ct ct c或且min,K T按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（和B）增大，从而也就使得S增加，增加的幅度大于等于2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S必然小于等于最初的数表中mn 个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。13 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -