第一章-第一节-n阶行列式的定义和性质(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。1.1 阶行列式定义和性质一、 二、三阶行列式定义的引出1. 二阶行列式例1：二阶线性方程组 且.解：利用加减消元可求得取 ，得 定义1 二阶行列式 由个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号） 称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数称为行列式的元素,它的第一个下标称为行标,表明该元素位于第行,第二个下标称为列标, 表明该元素位于第列.位于第行

2、第列的元素称为行列式的元。2阶行列式由个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有项，且正负项的各数相同。应用：解线性方程例2：解方程组解 因故所给方程组有唯一解2.三阶行列式定义2由个数排成3行3列所组成下面的式子（符号）= 称为三阶行列式。3阶行列式由个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式；若是多项式则必有项，且正负项的各数相同。其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。应用：解三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组记= = =若系数行列式，则该方程组有唯一解：例3. 计算三阶行列式解 例4 ( 解三元线性方程组解 由于方程组的系数

3、行列式故所求方程组的解为: 再看三阶行列式= = =二、阶行列式的定义1. 阶行列式的定义定义3 由个数排成行列的式子， 称 为阶行列式。注意：阶行列式|是一个算式（多项式）。当时，|；当时，其中， 并称为元素的余子式，为元素的代数余子式；其中, 求和式中共有项2.几个特殊行列式上三角行列式，下三角行列式和对角行列式, .例5 计算解：利用数学归纳法可以证明。 结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积例6 证明证明：利用行列式的定义反复利用行列式的定义，可得 结论：以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号特例：，3. 全

4、排列和逆序数定义4 把个不同的元素排成一列组成的一个有序数组称为这不同数的一个全排列(简称排列).显然，由组成的是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称自然排列。标准排列：对个不同的自然数从小到大构成的排列注：个不同的元素按照某种约定次序构成的排列例如, 自然数1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3！=6） ；自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种；那么互异元素构成的不同排列？有种定义5在一个全排列中，如果某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）之间有（存在）1个逆序一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列的逆序数

5、记为.注意：逆序是对元素来说的，而逆序数是对一排列来说的。算法：固定, 当时, 满足的“”的个数记作（称为的逆序）, 那么.例 求排列的逆序数, 定义6对一排列来说，逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.4.排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部排列两两配对，使每两个配成对的排列在这个对换下互变.定理 1对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.相邻对换： 一般对换：推论 在全部各排列中，奇、

6、偶排列的个数相等，各有个.5. n阶行列式的另一定义在行列式的定义中，虽然每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中个元素(譬如)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素. 看一下二阶和三阶行列式的定义.我们有, (1) (2)从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，每一项都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，每一项都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成, (3)其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号. 定义7 阶行列式 (4

7、)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 (5)的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成, (6)这里表示对所有排列求和.为了计算阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，阶行列式是由项组成的.三、 阶行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. 阶行列式一共有项，计算它就需做个乘法.当较大时，是一个相当在的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有

8、必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算.性质1 行列互换，行列式不变.即= 证明：（略） 设, 则称是的转置，即证 令, 则 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如下三角形的行列式性质2 行列式对任意一行按下式展开，其值不变。其中，是划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个阶行列式 称为元素的余子式，记作，称为的代数余子式。证明：（略） 利用数学归纳法可以证明。 性质3（i）这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行所有元素相当于用这个数乘此行列式.证明：左= 右=所以，成立。若，就有如

9、果行列式中一行为零，那么行列式为零.即得 推论1 某行元素全为零的行列式其值为零。 （ii）.这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.证明：利用行列式的定义可以证明。性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.即 当证明：利用数学归纳法当时，结论显然成立，即；假设结论对阶行列式成立；在阶的情况下，对行展开，且则， 又因为是阶行列式，由假设，所以 即.推论2 行列式中两行对应元素成比例，其值为零。性质 5 在行列式中，把某一行各元素分别乘以非零常数，再加到另一行的对

10、应元素上，行列式的值不变。（对行列式做倍加行变换，其值不变）。即 证明：右式=性质6 （反对称性）行列式的两行对换，行列式的值反号。即证明：反复利用性质5. .性质7 行列式某一行的元素乘以另一行对应元素的代数余子式之和等于零 证明：由性质2，=再有性质4，故 结论：当时， 当时，故可写成 其中 .复习1. 二阶行列式 .2. 三阶行列式 =3. n阶行列式 其中， 并称为元素的余子式，为元素的代数余子式；, 这里表示对所有排列求和.4. n阶行列式的性质 性质1 性质2 性质3（i）推论1 某行元素全为零的行列式其值为零。 （ii）.性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.性质 5

11、性质6 （反对称性）行列式的两行对换，行列式的值反号。即性质7 行列式某一行的元素乘以另一行对应元素的代数余子式之和等于零 证明：因为 ， 所以 性质7成立1.2 阶行列式的计算利用行列式的定义和性质，计算n阶行列式。例1 计算解：. 注：方法一，降阶法 方法二，上三角法例2 ，求解：解法1令 的第1列元素的代数余子式求和相同 而，所以按第1列展开可得0. 解法2 因为|的第3列元素与|的第1列元素的代数余子式相乘得=0 所以 0. 例3 如果行列式的元素满足 就称是反对称行列式.（其中即）证明 奇数阶反对称行列式的值为零.证：设 因为，由是奇于数，所以，故，.例4 证明：证: 方法1，左边=

12、 方法2，方法3，例5 计算n阶行列式 解： 例6 计算，且解：将化成上三角行列式，第一行乘加到各行，第列乘加到第一列=推广 例7 计算解 从第4行开始，后一行减前一行： 例8 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中记号“”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.|当时(1)式成立. 假设(1)式对于时成立，则|例9 |， 证明 （）证 ：利用数学归纳法 对的阶数做数学归纳法， 当时，对按第一行展开，得，结论成立。假设，为阶行列式时，结论成立。下面证明为阶行列式的情形，将对按第一行展开，得 （1）其中，是在中的余子式也是式类型的行列式，而且它的左上角是阶的。由归纳法的假设 （2）其

13、中是在中的余子式，将上式（2）代入（1）得，故，为阶时，（）成立。所以，为任意阶时，（）成立。证法2 对作运算对作运算可分别把和|化为下三角形行列式.| |对|的前行作与对|相同的运算再对后列作与对|相同的运算即把|化为下三角形行列式，且| 证毕.推广：若。 若 分别是的阶数。例10 设 D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.解 注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即 又按定义知, 例11 计算阶行列式(其中未写出的元素为0).解 把中的第行依次与第行,第2行对调(作次相邻对换),再把第列依次与第列, ,第2列对调,得以此作递推公式,得1.3克莱姆法则我们先介绍有关n元线性方程组的概

14、念。含有n个未知数的线性方程组 简记 称为n元线性方程组.当其右端的常数项不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即线性方程组(1)的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式，即 .克莱姆法则定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为 (3)其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式.证明：证明的步骤是：1. 把代入方程组，验证它确是解.2. 假如方程组有解，证明它的解必是公式(3)的形式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的

15、数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式则齐次线性方程组(2)只有零解.定理 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组(2)有非零解.专心-专注-专业