2022年华数思维训练导引四级组合问题构造与论证2.pdf

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1、华数思维训练导引四年级组合问题构造与论证1、有一把长为9 厘米的直尺，你能否在上面只标出3 条刻度线，使得用这把直尺可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度？分析： 可以。（ 1）标 3 条刻度线，刻上A，B ，C厘米（都是大于1 小于 9 的整数），那么， A，B，C，9 这 4 个数中，大减小两两之差，至多有6 个： 9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这 4 个数本身，至多有10 个不同的数，有可能得到1 到 9 这 9 个不同的数。 （ 2）例如刻在1，2， 6 厘米处，由1，2，6，9 这 4 个数，以及任意2 个的差，能够得到从1到9 之间的所有整数：1，2

2、，9-6=3 ，6-2=4 ，6-1=5 ，6， 9-2=7， 9-1=8， 9。（ 3）除 1，2，6之外，还可以标出1，4，7 这 3 个刻度线： 1，9-7=2 ，4-1=3 ，4，9-4=5 ，7-1=6 ，7，9-1=8 ，9。另外，与1， 2，6 对称的，标出3，7，8；与 1，4，7 对称的，标出2，5，8 也是可以的。2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241 被 352 吃掉， 123 被 123 吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但 240 和 223 互相都不能被吃掉。现请你设计6 个三位数

3、，它们当中任何一个都不能被其它5 个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。问这 6个三位数分别是多少？分析： 6 个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2 个数位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3 个数百位是1，另外 3 个数百位数是2。百位是1 的 3 个数，分别配上十位1，2，3；百位是 2 的 3 个数同样。这样先保证前两位没有完全一样的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23* 。11* 最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5 个数个位均小于4。114 12* 较小，个位应取3，它要求前两位能吃12*的数，个位小于3。12

4、3 13* 个位取 2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*的数个位小于2。132 21* 较小，个位应取3，才能不被 23* 和 22*吃。 213 22*个位取2 即可。 222 23* 各位必须取1。231 所以这 6 个数是 114，123，132，213，222，231。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3、盒子里放着红、黄、绿3 种颜色的铅笔，并且规格也有3 种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3 种规

5、格都齐全。问是否一定能从中选出3 支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？分析： 如果能选出3 支笔，使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同，则这 3 支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6 个因子，即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有4 种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3 种颜色和3 种规格都齐全，由于红和黄只出现1 次，必须选， 但是这时短已经出现2 次，必然无法满足3 支笔 6 个因子的要求。所以，不一定能选出。4、一个立方体的12 条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？分析： 立方体的 12 条棱位于它的6

6、 个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有 3 条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。如图就是一种。5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走， 为了控制一个44 的棋盘至少要放几个皇后？分析： 22 棋盘， 1 个皇后放在任意一格均可控制22=4 格；33 棋盘， 1 个皇后放在中心格里即可控制33=9 格；44 棋盘， 中心在交点上， 1 个皇后不能控制两条对角线，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 还需要 1

7、 个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放2 个皇后。如图所示。6、在如图 10-1 所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数， 使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5 个数字各是几？分析： 设第二行从左到右填入A，B，C，D，E，则 A+B+C+D+E=5 若 E大于 0，如 E=1 ，则 B=1，A+C+D=3 ，小于 4，矛盾，可得：E=0，A大于 0 小于 4； 若 D大于 0，如 D=1，则 B大于 0，因 A大于 0，则 A和 C无法填写，所以D=0，A必等于 2； A=2，可知 B+C=3 ，只有当 B=1，C=2时， ABCDE=21200 ，符合

8、要求。所以第二行的5 个数字是2，1，2，0，0。7、在 100 个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。分析： 给 100 个人分别编号1-100 ，他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50号每人给 1 号打 1 次电话，共49 次， 1，50 号得到 1-50 号消息。同时，52-100 号每人给51 号打 1 次电话，共49 次， 51，100 号得到 51-100 号消息。（2）1 号和 51 号通 1 次电话

9、， 50 号和 100 号通 1 次电话，这时1，50，51， 100 号这 4 个人都知道了1-100 号消息。（3）2-49 号， 52-99 号，每人与1 号（或者 50，51， 100 号中的任意1 人）通 1 次话，这96 人也全知道了1-100 号消息。这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 8、有一张 88的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使

10、得每个34 小长方形（不论横竖）的12 个方格中都恰有4 个红格和8 个蓝格？分析： 能。34=12，有4 红 8 蓝，即红 1 蓝 2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。9、桌上放有 1993 枚硬币， 第一次翻动1993 枚，第二次翻动其中的1992 枚，第三次翻动其中的 1991 枚， 依此类推， 第 1993 次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？分析： 可以。按要求一共翻动1+2+3+ +1993=1993 997，平均每个硬币翻997 次，是奇数。 而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。因为：1993997=1993

11、+（1992+1）+（1991+2）+（ 997+996） 所以，可以这样翻动：第 1 次翻 1993 个，每个全翻 1 次； 第 2 次与第 1993 次（最后 1 次）一共翻 1993 次，等于又把每个翻了一遍；第3 次与第 1992 次（倒数第 2 次），第 4 次与第 1991 次， 第 997 次与第 998 次也一样，都可以把每个硬币全翻1 次。这样每个都翻动了997 次，都把原先朝下的一面翻成朝上。10、能否在 55 方格表的各个小方格内分别填入数1，2， 24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？分析： 不能。假设可以使每行中都可以选择若干个

12、数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5 行之和也必定为偶数。 1+2+3+ +25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 11、把图 10-2 中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？分析： 不能。假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈

13、算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。12、在 99 枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99 枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。分析： 已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99 个硬币总重量恰等于99 枚真币的重量，说明伪币数为偶数。如果拿出 1 个真币， 剩下的 98 个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上， 重量之差必为偶数。如果拿出 1 个伪币， 剩下的 98 个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上

14、，重量之差必为奇数。所以，只要把98 个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。13、在象棋比赛中，胜者得1 分；败者扣1 分；若为平局，则双方各得0 分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。现知，其中一个学生共得7 分，另一个学生共得20 分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。分析： 设 7 分者胜 X局，负 Y局； 20 分者胜 M局，负 N局，则有X-Y=7，M-N=20 假设没有 1 次平局，那么由于比赛局数相同，得到：X+Y=M+N ，X+Y+M+N 为偶数。另一方面，因为 X-Y=7，X和 Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M

15、-N=20，可知 M和 N奇偶性相同，那么M+N为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N 之和为奇数。矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。14、如图 10-3 ，在 33 的方格表中已经填入了9 个整数。如果将表中同一行同一列的3 个数加上相同的整数称为一次操作。问：你能否通过若干次操作使得表中9 个数都变为相同的数？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 分析： 不能。如果进行操作后，表中9 个数能变为相同的数，

16、其和必能整除3；因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同的整数，增加的数也能整除3。那么，原来表中的 9 个数的和也必能整除3。把表中的9 个数相加， 2+3+5+13+11+7+17+19+23=100， 100不能整除 3，与假设矛盾，所以不能实现。15、今有长度为1，2，3， 198，199 的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成（1）一个正方体框架？（2）一个长方体框架？分析： （1）不能。正方体有 12 条棱，金属杆长度之和能被12 整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。 1+2+3+ +199=19900 ，1+9+9=19，19 不能整

17、除 3，所以长度之和不是 12 的整数倍。（2）可以。（1+198） + （2+197） + （3+196） +199，可以组成 100 个 199， 所以可以构成一个长19912，宽 19912，高 199 的长方体框架，棱长共（ 19912+19912+199）4=199100；也可以构成一个长19920，宽 1993，高 1992 的长方体框架，棱长共（19920+1993+1992）4=199100；等等。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -